2. Transformationer, Matriser och Operationer.

More documents

Recommendations

Info

30 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 - ei är en normerad egenvektor svarande mot egenvärdet λi med egenskapen e T i ei = 1 (2.5.6) 2.6 Generaliserade matrisegenvärdesproblem. L˚at ¯K och ¯M vara n × n-matriser och studera egenvärdesproblemet - En icke-trivial lösning kräver att ( ¯K − λ ¯M)u = 0 (2.6.1) φ(λ) = det ( ¯K − λ ¯M) = 0 (2.6.2) - Detta behöver för ett generaliserat egenvärdesproblem ej längre vara ett polynom av grad n. Det kan ha lägre grad. - Om ¯M har m noll-egenvärden finns det bara n − m lösningar till ekv.(2.6.2). 2.7. Hermitska matriser. DEF : En matris är Hermitsk om : H † ij ≡ (H∗ ij) T = Hji ⇔ ¯H † ≡ ( ¯H ∗ ) T = ¯H (2.7.1) - Spec: Om ¯H är reell s˚a följer av ekv.(2.7.1) att den är symmetrisk ¯H T = ¯H (2.7.2) • Hermitska matriser har följande egenskaper 1. De kan vara komplexa eller reella. 2. Deras egenvärden är reella. 3. Egenvektorer svarande mot olika egenvärden är ortogonala. (Motsvarande skalärprodukt är e † i ej ) 4. Egenvektorer som hör till degenererade egenvärden kan ortogonaliseras. 5. Tillhörande skalärprodukt ger en reell norm e † i ei = (e ∗ i) T ei > 0 Om λi = λj s˚a spänner motsvarande egenvektorer upp ett 2-dimensionellt rum. Diagonalisering. L˚at de ortonormaliserade egenvektorerna till en hermitsk matris ¯H bilda en matris Ū. ⎛ ⎜ Ū = ⎜ ⎝ e11 . . . en1 . . . . . . e1n . . . enn ⎞ ⎟ , den har egenskapen ⎟ ⎠ Ū † Ū ij = e† i ej = δij (2.7.3)
31 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2 Den Hermitska matrisen ¯H kan diagonaliseras med hjälp av Ū. Betrakta matrisen ¯D med element ( ¯D)ij = (Ū † ¯HŪ)ij = (2.7.4) Men enligt def. av Ū enligt ekv.(2.7.3) s˚a är kl (Ū † )ikHklUlj Dij = e † i Hej = λje † i ej = λjδij • Den Hermitska matrisen ¯H kan s˚aledes diagonaliseras med hjälp av Ū Ū † ⎛ λ1 ⎜ 0 ⎜ ¯HŪ = ¯D = ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎝ . . λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ⎞ ⎟ ⎠ 0 . . . 0 λn Funktioner av matriser För matriser med egenskapen (2.7.6) kan vi definiera funktioner f( ¯H) = Ūf( ¯D)Ū † ⎛ f(λ1) ⎜ 0 ⎜ ≡ Ū ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎝ . . f(λ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ⎞ ⎟ Ū ⎟ ⎠ 0 . . . 0 f(λn) † Hermitska matrisers generaliserade egenvärdesproblem. L˚at ¯K och ¯M vara hermitska matriser. Betrakta egenvärdesproblemet ¯Kei = λi ¯Mei Antag att ¯M:s alla egenvärden λ M i > 0, d.v.s. att ¯M är positivt definit. ⇐ ∃ ¯M −1/2 enligt ekv.(2.7.7). Ekv.(2.7.8) kan d˚a skrivas som = λi ¯M −1/2 ¯Kei = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 ¯M 1/2 ei eller (2.7.5) (2.7.6) (2.7.7) (2.7.8) (upphöjt till −1/2 ) (2.7.9) ¯K ′ bi = λibi Lägg märke till att även ¯K ′ är hermitsk d˚a ¯M 1/2 ei ( ¯K ′ ) † = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 † = ¯M −1/2 † ¯K † ¯M −1/2 † med ¯K ′ = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 (2.7.10a) (2.7.10b) = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 = ¯K ′ (2.7.11) D˚a för en hermitsk matris gäller att egenvektorerna till tv˚a olika egenvärden är ortogonala s˚a har vi här att λi = λj ⇒ b † i bj = 0 (2.7.12)
Page 1 and 2: 21 Fysikens matematiska metoder. Ve
Page 9: 29 Fysikens matematiska metoder. Ve

2. Transformationer, Matriser och Operationer.

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?