2. Transformationer, Matriser och Operationer.

More documents

Recommendations

Info

28 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 • (n−r) st av de linjärt beroende kolumnvektorerna kan tas bort utan att det p˚averkar underrummet som spänns genom ¯B. ⇒ ∃ en matris ¯R med Dim ( ¯R) = r × r och det ( ¯R) = 0. • Exempel : Betrakta matrisen ⎛ 1 ¯B ⎜ = ⎝ 2 ⎞ 3 ⎟ ⎠ 4 5 6 Denna byggs upp av tv˚a linjärt oberoende radvektorer. Detta innebär att enbart tv˚a av de tre kolonvektorerna är linjärt oberoende. Den tredje kolonvektorn är en linjärkombination av de tv˚a övriga : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b3 = ⎝ ⎠ = − ⎝ ⎠ + 2 ⎝ ⎠ = −b1 + 2b2 6 4 5 Detta innebär att den inverterbara matrisen ¯R är ⎛ ⎞ 1 2 ¯R ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 4 5 DEF : Ordningen hos den största ickesingulära ( det ¯R = 0) submatrisen ¯R i en matris Ā definierar en matris ( Ā ) rang. ˚Atervänd till ekv.(2.4.14). ¯Bx = 0 ⇒ (¯Bx)i = ⇒ r j=1 n j=1 bjxj = − Bijxj = 0 ⇒ n k=r+1 bkxk n j=1 bjxj = 0 (2.4.16) • En godtycklig lösning till denna ekvation är ocks˚a en lösning till Āx = 0 d˚a ¯B inneh˚aller alla linjärt oberoende vektorer i Ā. - Ekv.(2.4.16) kan nu lösas. (1) först den triviala lösningen x = 0. Antag att alla xk = 0. (2.4.16) → ¯Rx ′ = 0 med x ′ ⎛ ⎞ x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x2 . xr ⇒ x = 0 (2.4.17)
29 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2 Antag att alla xk = 0 utom( för ett värde p˚a l ) : xl ; r + 1 ≤ l ≤ n ; k = l. Om ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ y1 x1/xl ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y = ⎜ yj ⎟ = ⎜ xj/xl ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ yr xr/xl blir en unik riktning. ⇒ ¯Ryl = −bl ⇒ yl = − ¯R −1 bl ⇒ el = e(yl) (2.4.18) • Genom att efter varandra l˚ata ℓ = r + 1, · · · , ℓ = n kan vi p˚a detta sätt konstruera (n − r) linjärt oberoende riktningar ek med k = r + 1, · · · , k = n. Dessa vektorer spänner hela det (n − r)−dimensionella rummet Sx ⊥ Sa • Sa inneh˚aller de r linjärt oberoende radvektorerna i ¯B. • D˚a ek k = r + 1, · · · , k = n är linjärt oberoende genom v˚ar konstruktion kan varje annan lösning till Ā skrivas som x = n k=1 ekxk (2.4.19) 2.5. Matrisegenvärdesproblem ( ÄVEN DETTA SKALL NI KUNNA !!!!) L˚at ¯B vara en n × n matris och Ī motsvarande enhetsmatris. Betrakta egenvärdesproblemet ¯Bu − λĪu = 0 (2.5.1) - Lösningen : λν är ett egenvärde eller karaktäristiskt värde - Lösningen : uν = 0 är motsvarande egenvektor. (¯B − λĪ)u = 0 (2.5.2) är ett homogent ekvationssystem som alltid ( för alla λ ) har den triviala lösningen - Villkor för icke trivial lösning: u = 0 (2.5.3) φ(λ) = det (¯B − λĪ) = 0 (2.5.4) Ekv.(2.5.4) kallas den karaktäristiska ekvationen. φ är ett polynom av grad n =⇒ n rötter λ1, λ2, ...λn vars värde kan sammanfalla. - Om λ = λi = egenvärde kan det homogena ekvationssystemet (2.5.2) lösas , d.v.s ∃ en egenvektor ei s˚a att (¯B − λi Ī)ei = 0 (2.5.5)
Page 1 and 2: 21 Fysikens matematiska metoder. Ve
Page 7: 27 Fysikens matematiska metoder. Ve

2. Transformationer, Matriser och Operationer.

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?