2. Transformationer, Matriser och Operationer.
2. Transformationer, Matriser och Operationer.
2. Transformationer, Matriser och Operationer.
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
30 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
- ei är en normerad egenvektor svarande mot egenvärdet λi med egenskapen<br />
e T i ei = 1 (<strong>2.</strong>5.6)<br />
<strong>2.</strong>6 Generaliserade matrisegenvärdesproblem.<br />
L˚at ¯K <strong>och</strong> ¯M vara n × n-matriser <strong>och</strong> studera egenvärdesproblemet<br />
- En icke-trivial lösning kräver att<br />
( ¯K − λ ¯M)u = 0 (<strong>2.</strong>6.1)<br />
φ(λ) = det ( ¯K − λ ¯M) = 0 (<strong>2.</strong>6.2)<br />
- Detta behöver för ett generaliserat egenvärdesproblem ej längre vara ett polynom<br />
av grad n. Det kan ha lägre grad.<br />
- Om ¯M har m noll-egenvärden finns det bara n − m lösningar till ekv.(<strong>2.</strong>6.2).<br />
<strong>2.</strong>7. Hermitska matriser.<br />
DEF : En matris är Hermitsk om :<br />
H †<br />
ij ≡ (H∗ ij) T = Hji ⇔ ¯H † ≡ ( ¯H ∗ ) T = ¯H (<strong>2.</strong>7.1)<br />
- Spec: Om ¯H är reell s˚a följer av ekv.(<strong>2.</strong>7.1) att den är symmetrisk<br />
¯H T = ¯H (<strong>2.</strong>7.2)<br />
• Hermitska matriser har följande egenskaper<br />
1. De kan vara komplexa eller reella.<br />
<strong>2.</strong> Deras egenvärden är reella.<br />
3. Egenvektorer svarande mot olika egenvärden är ortogonala. (Motsvarande skalärprodukt<br />
är e †<br />
i ej )<br />
4. Egenvektorer som hör till degenererade egenvärden kan ortogonaliseras.<br />
5. Tillhörande skalärprodukt ger en reell norm<br />
e †<br />
i ei = (e ∗ i) T ei > 0<br />
Om λi = λj s˚a spänner motsvarande egenvektorer upp ett 2-dimensionellt rum.<br />
Diagonalisering.<br />
L˚at de ortonormaliserade egenvektorerna till en hermitsk matris ¯H bilda en matris<br />
Ū.<br />
⎛<br />
⎜<br />
Ū = ⎜<br />
⎝<br />
e11 . . . en1<br />
. .<br />
. .<br />
. .<br />
e1n . . . enn<br />
⎞<br />
⎟ , den har egenskapen<br />
⎟<br />
⎠<br />
Ū † Ū <br />
ij<br />
= e†<br />
i ej = δij (<strong>2.</strong>7.3)