2. Transformationer, Matriser och Operationer.

More documents

Recommendations

Info

22 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 ˆxj = ˆx ′ 1(ˆx ′ 1 · ˆxj)+ ˆx ′ 2(ˆx ′ 2 · ˆxj)+ ˆx ′ 3(ˆx ′ 3 · ˆxj) = 3 i=1 x ′ i = λi1x1 + λi2x2 + λi3x3 = ⇓ ⇓ ˆx ′ iλij med λij = ˆx ′ i · ˆxj = ˆx ny i · ˆx gammal j λijxj j=1 (2.2.2) (2.2.3) Transformations eller Rotationsmatrisen ⎛ x ⎜ ⎝ ′ 1 x ′ 2 x ′ ⎞ ⎛ λ11 ⎟ ⎜ ⎠ = ⎝ λ21 3 λ31 λ12 λ22 λ32 ⎞ λ13 ⎟ λ23 ⎠ λ33 ⎛ ⎞ x1 ⎜ ⎟ ⎝ x2 ⎠ x3 {with λij = ˆxi · ˆxj} (2.2.4) Betrakta rotationsmatrisen i ekv.(2.2.4) i det fall vi roterar xy-axlarna en vinkel θ men beh˚aller en identisk z−axel. D˚a gäller att Matrisers egenskaper ^ y ' ^ y ^ z z ^' ^' x ⎧ ⎪⎨ λ11 = ˆx ′ · ˆx = cos θ ; λ12 = ˆx ′ · ˆy = sin θ ⎪⎩ λ13 = ˆx ′ · ˆz = 0 ; λ21 = ˆy ′ · ˆx = − sin θ ⇒ ⎛ cos θ ⎜ λ(θxy) = ⎝ − sin θ sin θ cos θ ⎞ 0 ⎟ 0 ⎠ 0 0 1 Ā = (Aij) • Transposition : Aij ↔ Aji (ger : Ā T ) • Symmetrisk : Aij = Aji ( Ā = Ā T ) ^ x etc.
23 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2 • Anti-symmetrisk : Aij = −Aji ( Ā = −Ā T ) • Diagonal : Aij = Aji = Aiiδij ⇒ Ā = ¯d • Enhets : Aij = Aji = 1 δij ⇒ Ā = Ī - Om ∃ en matris Ī i en mängd av kvadratiska matriser och det till en matris Ā i mängden finns matris Ā −1 s˚adan att s˚a kallas matrisen Ā −1 för matrisen Ā:s invers. ĀĀ −1 = Ī = Ā −1 Ā (2.2.5) - En kvadratisk matris Ā vilken saknar invers kallas singulär. - Summan av diagonalelementen i en kvadratisk matris benämnes sp˚aret (Eng. Trace ) 3 Sp Ā = (TrĀ) = Aii. (2.2.6) - För en ortogonal matris är dess invers = transponerade matris d.v.s i=1 Ō T = Ō −1 ⇔ (Ō T Ō)ij = δij = (ŌŌ T )ij (2.2.7a) k OkiOkj = δij = OikOjk k (2.2.7b) - Jämför detta med vektorer ! Ovanst˚aende uttryck kallas ortogonalitetsrelationer. - En matris vars Hermitkonjugerade matris är dess invers kallas unitär. d.v.s Ū † = Ū −1 ⇔ (Ū † Ū)ij = δij = (UU † )ij (2.2.8a) k U ∗ kiUkj = δij = UikU k ∗ jk Ekv.(2.2.8) kallas för en unitaritetsrelation. (2.2.8b) - Matriser kommuterar i regel inte. En mängd matriser av given ordning ( n×n) bildar en s.k icke-kommutativ algebra. Exempel : Paulis spinnmatriser är fyra stycken. (se boken). Transformationsmatriser D˚a dessa operationer är reversivbla ⇒ är motsvarande matriser inverterbara genom att byta gamla → nya index (¯λ −1 )ij = ˆx gammal i · ˆx ny j = ˆxny j · ˆx gammal i = λji = (¯λ T )ij (2.2.9)
Page 1: 21 Fysikens matematiska metoder. Ve
Page 5 and 6: 25 Fysikens matematiska metoder. Ve

2. Transformationer, Matriser och Operationer.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?