2. Transformationer, Matriser och Operationer.

More documents

Recommendations

Info

24 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 2.3. Determinanter och Matrisinversion. ( DETTA SKALL NI REDAN KUNNA !!!) DEF : Determinanten av en kvadratisk matris Ā av ordningen n definieras av A11 A12 · · · A1n A21 A22 · · · A2n det A = = . . . . An1 An2 · · · Ann ɛij···lAi1Aj2 · · · Aln, (2.3.1) ij···l där ɛij···l är en permutationssymbol enl. vad som kan generaliseras fr˚an ekv.(1.3.5). Egenskaper : • Determinanten av den transponerade matrisen • Multiplikation av en kolumn det det Ā = det Ā T (2.3.2) ⎛ ⎞ kA11 A12 · · · A1n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ kA21 A22 · · · A2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = k det Ā (2.3.3) ⎜ ⎟ ⎜ . . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ kAn1 An2 · · · Ann • Om matriserna Ā och ¯B enbart skiljer sig genom att tv˚a rader eller kolumner har bytt plats s˚a gäller att • L˚at det Ā = − det ¯B ur (2.3.1) (2.3.4) ¯C = Ā¯B ⇒ det ¯C = det (Ā¯B) = (det Ā)(det ¯B) = det (¯BĀ) (2.3.5) • En Laplaceutveckling exemplifieras av det ⎛ ⎞ A11 A12 A13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A21 A22 A23 ⎟ = A11 A22 A23 ⎜ ⎟ − A21 A12 A13 + A31 A12 A13 A32 A33 A32 A33 A22 A23 ⎝ ⎠ A31 A32 A33 (2.3.6)
25 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2 och definieras genom det Ā = AkqCkq med Kofaktorn Ckq ( qför kolumn (2.3.7) vilken är definierad genom k Ckq = ′ ij···l ,=k s˚a att den inte inneh˚aller elementet Akq. ɛij···l(Ai1 · · · Aln) ′ (2.3.8) - Kofaktorn Ckq kan konstueras ur den reducerade determinanten eller minoren Mkq (av ordning n−1 ) vilken erh˚alles genom att den k :te raden och den q :te kolumnen tas bort ur det Ā. Det gäller att Ckq = (−1) k+q Mkq ⇒ n det Ā = Akq(−1) k=1 k+q Mkq (2.3.9) Matrisinversion. Betrakta en kvadratisk matris Ā. L˚at ¯C vara motsvarande kvadratiska matris best˚aende av kofaktorer till Ā. D˚a gäller att Ā −1 = 1 det Ā D˚a ¯C enligt ekv.(2.3.8) alltid ∃ ⇒ ∃ Ā −1 om det (Ā) = 0. Linjära ekvationssystem. Antag att vi har att lösa ett linjärt ekvationssystem av formen ¯C T (2.3.10) A11x1+ . A12x2+ . · · · + . A1nxn . = c1 . ⇐⇒ Āx = c (2.3.11) An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = cn där Ā är en n×n matris och x1, · · · , xn är okända i form av kolumnvektorer x. ci bildar ocks˚a en kolumnvektor c. I matrisform är om Ā −1 ∃ lösningen En enskild lösning ( kallad Cramers regel ) ges av xi = (Ā −1 c)i = x = Ā −1 c (2.3.12a) j ( ¯C T )ijcj det Ā = 2.4. Homogena ekvationer och linjärt beroende. Betrakta ett linjärt ekvationsystem j cjCji det Ā (2.3.12b) A11x1+ . A12x2+ . · · · + . A1nxn . = 0 . ⇐⇒ Āx = 0 (2.4.1) An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = 0
Page 1 and 2: 21 Fysikens matematiska metoder. Ve
Page 3: 23 Fysikens matematiska metoder. Ve

2. Transformationer, Matriser och Operationer.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?