2. Transformationer, Matriser och Operationer.

23 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2
• Anti-symmetrisk : Aij = −Aji ( Ā = −Ā T )
• Diagonal : Aij = Aji = Aiiδij ⇒ Ā = ¯d
• Enhets : Aij = Aji = 1 δij ⇒ Ā = Ī
- Om ∃ en matris Ī i en mängd av kvadratiska matriser och det till en matris Ā i
mängden finns matris Ā −1 s˚adan att
s˚a kallas matrisen Ā −1 för matrisen Ā:s invers.
ĀĀ −1 = Ī = Ā −1 Ā (2.2.5)
- En kvadratisk matris Ā vilken saknar invers kallas singulär.
- Summan av diagonalelementen i en kvadratisk matris benämnes sp˚aret (Eng.
Trace )
3
Sp Ā = (TrĀ) = Aii. (2.2.6)
- För en ortogonal matris är dess invers = transponerade matris
d.v.s
i=1
Ō T = Ō −1 ⇔ (Ō T Ō)ij = δij = (ŌŌ T )ij (2.2.7a)
k
OkiOkj = δij =
OikOjk
k
(2.2.7b)
- Jämför detta med vektorer ! Ovanst˚aende uttryck kallas ortogonalitetsrelationer.
- En matris vars Hermitkonjugerade matris är dess invers kallas unitär.
d.v.s
Ū † = Ū −1 ⇔ (Ū † Ū)ij = δij = (UU † )ij (2.2.8a)
k
U ∗ kiUkj = δij =
UikU
k
∗ jk
Ekv.(2.2.8) kallas för en unitaritetsrelation.
(2.2.8b)
- Matriser kommuterar i regel inte. En mängd matriser av given ordning ( n×n)
bildar en s.k icke-kommutativ algebra. Exempel : Paulis spinnmatriser är fyra
stycken. (se boken).
Transformationsmatriser
D˚a dessa operationer är reversivbla ⇒ är motsvarande matriser inverterbara genom
att byta gamla → nya index
(¯λ −1 )ij = ˆx gammal
i
· ˆx ny
j
= ˆxny
j · ˆx gammal
i = λji = (¯λ T )ij (2.2.9)