2. Transformationer, Matriser och Operationer.

25 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2
och definieras genom
det Ā =
AkqCkq med Kofaktorn Ckq ( qför kolumn (2.3.7)
vilken är definierad genom
k
Ckq =
′
ij···l ,=k
s˚a att den inte inneh˚aller elementet Akq.
ɛij···l(Ai1 · · · Aln) ′
(2.3.8)
- Kofaktorn Ckq kan konstueras ur den reducerade determinanten eller minoren Mkq
(av ordning n−1 ) vilken erh˚alles genom att den k :te raden och den q :te kolumnen
tas bort ur det Ā. Det gäller att
Ckq = (−1) k+q Mkq ⇒
n
det Ā = Akq(−1)
k=1
k+q Mkq
(2.3.9)
Matrisinversion.
Betrakta en kvadratisk matris Ā. L˚at ¯C vara motsvarande kvadratiska matris
best˚aende av kofaktorer till Ā. D˚a gäller att
Ā −1 = 1
det Ā
D˚a ¯C enligt ekv.(2.3.8) alltid ∃ ⇒ ∃ Ā −1 om det (Ā) = 0.
Linjära ekvationssystem.
Antag att vi har att lösa ett linjärt ekvationssystem av formen
¯C T
(2.3.10)
A11x1+
.
A12x2+
.
· · · +
.
A1nxn
.
= c1
. ⇐⇒ Āx = c (2.3.11)
An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = cn
där Ā är en n×n matris och x1, · · · , xn är okända i form av kolumnvektorer x. ci bildar
ocks˚a en kolumnvektor c.
I matrisform är om Ā −1 ∃ lösningen
En enskild lösning ( kallad Cramers regel ) ges av
xi = (Ā −1 c)i =
x = Ā −1 c (2.3.12a)
j
( ¯C T )ijcj
det Ā
=
2.4. Homogena ekvationer och linjärt beroende.
Betrakta ett linjärt ekvationsystem
j
cjCji
det Ā
(2.3.12b)
A11x1+
.
A12x2+
.
· · · +
.
A1nxn
.
= 0
. ⇐⇒ Āx = 0 (2.4.1)
An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = 0