2. Transformationer, Matriser och Operationer.

27 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2
Lösningen till
Āx = 0 (2.4.9)
spänner det˚asterst˚aende (n−r)−dimensionella rummet Sx vilket kallas det ortogonala
komplementet till Sa.
S = Sa ∪ Sx; Dim (S) = n ; ⇔ Sa ⊥ Sx ⇔ a ∈ Sa ; x ∈ Sx ⇒ x ⊥ a
(2.4.10)
Linjärt oberoende och rangen av en matris.
Antag att bara de första r radvektorerna ai i = 1, · · · , r i Ā är linjärt oberoende.
För de ˚aterst˚aende (n − r) vektorerna ak k = r + 1, · · · , n har vi att
• Detta innebär att om
r
ak =
i=1
c (k)
i ai ; k = r + 1, · · · , n (2.4.11)
x ⊥ ai i = 1, · · · , r ⇒ ai · x = 0 i = 1, · · · , r ⇒ x ⊥ ak k = r + 1, · · · , n
(2.4.12)
L˚at nu ¯B vara den r × n submatris av Ā som inneh˚aller de linjärt oberoende radvektorerna.
⎛
a11
⎜ .
⎜ ar1
Ā = ⎜ a
⎜ (r+1)1
⎜
⎝ .
a12
.
ar2
a (r+1)2
.
· · ·
· · ·
· · ·
⎞
a1n
⎟
. ⎟ ⎛
arn
⎟ ¯B
⎟ = ⎝
a (r+1)n ⎟ ¯B ⎟
. ⎠
kompl
⎞
⎠ (2.4.13)
D˚a gäller att
an1 an2 · · · ann
¯Bx = 0 (2.4.14)
⎛ ⎞
⎜
¯B = ( b1 · · · bn ) med bj = ⎜
⎝
a1j
⎟
a2j ⎟
⎠
.
arj
(2.4.15)
• Inte alla dessa n kolumnvektorer är linjärt oberoende fr˚an varandra d˚a en godtycklig
r−dimensionell vektor m˚aste ha r oberoende komponenter.
⇒ Ej mer än r av dessa kolumnvektorer bj kan vara linjärt oberoende.
En kolumnvektor bn är linjärt beroende av de andra kolumnvektorerna
n−1
bn = djbj
j=1
kan strykas ur matrisen ¯B utan att det linjära oberoendet av de resterande
(n − 1)−dimensionella radvektorerna ändras.
(2.4.16)