Relativitetsteori, introduktion

Relativitetsteori, introduktion
En av bristerna med den ”klassiska fysiken” är att alla observatörer antas
ha samma tidsuppfattning, oavsett sin egen rörelse. Einstein kunde visa att
så inte kunde vara fallet.
Ytterliggare ett problem med ”Newtons” fysik är att den inte tar hänsyn
till att det ”tar tid” för växelverkan mellan kroppar att ske, d.v.s. i
Newtons värld så känner av alla kroppar varandra momentant, oavsett hur
långt ifrån varandra de är.
I vardagliga situationer är detta inget stort problem, eftersom hastigheterna är
låga (i förhållande till ljushastigheten), avstånden är relativt små, och
gravitationskraften som vi ju ständigt påverkas av är relativt liten.
Men om man till exempel tänker på radioaktivt sönderfall där partiklar
produceras med hastigheter när ljusets, eller vad som händer i gravitationsfältet
omkring en kompakt stjärna, så kan man föreställa sig att den klassiska fysiken
inte är tillräckligt precis för att beskriva fysikaliska händelser
Relativitetsteorin råder bot på dessa brister genom att, först och främst, införa
koordinater som inkluderar både rummet (x,y,z) och tiden (t), s.k. rumtidskoordinater.
Vidare indelas relativitetsteorin i två olika fall:
Speciella Relativitetsteori (1905) och Allmänna Relativitetsteorin (1916).
Speciella Relativitetsteorin (SR): gäller för observatörer som inte accelererar
eller påverkas av krafter, sk intertialsystem.
Allmänna Relativitetsteorin (AR): innefattar även accelererande system och
system som påverkas av gravitationskraften.
I denna kurs kommer vi att lära oss grunderna av SR, bli bekanta med vad AR
går ut på samt att lära oss hur dessa verktyg kan hjälpa oss att förstå universums
historia.

Referenssystem
Varje gång vi gör ett experiment eller en observation behöver vi ett
koordinatsystem för att beskriva utgången. T.ex om vi mäter hastigheten på en
bil så menar vi hastigheten i förhållande till vägbanan. Om vi kastar upp en sten
i luften och mäter hur högt den kommer så avser vi en höjd ”h” ifrån marken,
osv. Man kan också tänka sig att själva referenssystemet (koordinatsystemet) rör
sig. T.ex kan vi vara intresserade av relativa hastigheten till framförvarande bil
när vi själva sitter i en bil som rör sig.
Ett referenssystem som inte accelererar kallas inertialsystem. M.a.o.
inertialsystem är antingen stillastående eller rör sig med konstant hastighet.
I mekanikkursen har vi lärt oss att Newtons lagar gäller i ett inertialsystem.
Newtons 1:a lag:
”En kropp som inte påverkas av krafter rör sig med konstant hastighet, d.v.s. den
kan inte accelerera”.
• I vägens referenssystem står trädet stilla medan bilen rör sig med
hastigheten +v
• I bilens referenssystem rör sig trädet med hastigheten –v

Båda referenssystem är inertiala och observatörerna ser att trädet inte
accelererar, Alltså kan ingen (netto-)kraft påverka trädet (enl Newtons I:a)
MEN:
Om bilen istället accelererar, skulle en observatör i bilen se att trädet
accelererar ifrån henne, trots att inga krafter på verkar trädet (till synes i motsats
till Newtons lagar).
I ett accelererande referenssystem gäller inte Newtons fysiklagar.

Speciella Relativitetsteorins grundantaganden
Einsteins speciella relativitetsteorin bygger på endast två postulat (antaganden):
1. Relativitetsprincipen: alla inertialsystem är likvärdiga koordinatsystem,
d.v.s. de uppfattar naturlagarna på precis samma sätt.
8
2. Alla observatörer mäter samma ljushastighet i vakuum, c = 310 ⋅ m/s,
oberoende av deras eller ljuskällans hastighet.
Medan (1) är konsistent med vad vi vant vid oss sedan tidigare, kan postulat (2)
tyckas strida mot vår vanliga ”intuition”.
T.ex om vi betraktar en ”vanlig” situation, säg en boll som faller rakt nedåt från
taket i ett rullande tåg

Alltså: observatören i vila m.a.p spåret uppfattar bollens hastighet som summan
av källans hastighet och bollens hastighet i förhållande till källan:
v′ = v + v
(1.1)
boll tåg boll
Postulat (2) säger ju att detta gäller inte gäller för ljus(!): ljusets hastighet i
vakuum är alltid densamma, dvs oberoende av observatör.
Senare ska vi också se att postulat (1) och (2) innebär att addition av
hastighetsvektorer i SR inte ser ut som i ekvation (1.1) (s.k. Galileiska
transgformationer).
Postulat (2) visades experimentellt redan år 1887 av Michelson & Morley med
ett experiment enligt nedan. Ljuspulser delades upp i två riktningar, säg
vinkelrätt och parallellt med jordens rotationshastighet. Efter reflektion mot
speglar möts igen i en detektor som registrerar om ljuset kommer fram samtidigt.
Den allmänna uppfattning då var att ljusvågorna fortplantades i en s.k. ”eter”.
Beroende på källans rörelse i förhållande till etern skulle man då få olika
ankomsttider i detektorn (interferometer).
Experimentet visade att det inte var ngn skillnad på tiden det tog för ljuset att
nå detektorn, oberoende av källans rörelserikting.

Den ultima fartgränsen: ljushastigheten c
De två postulaten ovan leder till att inget kan röra sig snabbare än
ljushastigheten c. Varför? I figuren nedan, en ljuspuls skickas iväg från
flygplanet som rör sig med farten v i förhållande till en observatör på marken.
Antag att flygplanet kunde röra sig snabbare än ljushastigheten v> c.
• Enligt postulat (1) kommer både piloten ombord på planet och
observatören på marken att uppfatta att ljuspulsen rör sig framför planet,
ty det båda observatörer utgör inertialsystem och det finns inga krafter
som kan få strålen att ”vända”.
• Observatören på marken kan mäta planets hastighet och skulle då finna att
det rör sig med v> c.
• Men isåfall måste ljuspulsen också röra sig snabbare än c eftersom den ju
rör sig snabbare än planet.
• Men detta är i motsats till postulat (2). Alltså kan inte planet (eller ngt
annat röra sig snabbare än ljuset!

Rumtidsdiagram
För att vidare undersöka konsekvenserna av Einsteins postulat ska vi använda
oss av ett hjälpmedel, rumtidsdiagrammet. Längs den vertikala axeln avsätter
vi tiden, medan den horisontella ”x-axeln” får representera rummets tre
dimensioner.
• En händelse representeras i diagrammet av en punkt i rumtiden.
• En observatör eller ett föremål som existerar under ett helt tidsintervall
mostvaras i diagrammet av en världslinje.
En vertikal världslinje svarar alltså mot ett objekt som är stillastående på
någon x-koordinat hela tiden. Om föremålet rör sig så lutar världslinjen: ju
snabbare desto mera horisontellt.
Vi har konstaterat att inget kan röra sig snabbare än ljuset, alltså utgör en
ljuspuls gränsen för hur mycket en världslinje för en signal kan luta. Vilken
vinkel det svarar mot beror på vårt val av tid och rumsenheter. Enklast blir
det om vi väljer att mäta tid i sekunder och sträckor i ljussekunder. En
ljussekund är sträckan som ljuset färdas på 1 sekund (3· 10 8 meter).
Med detta val, blir lutningen på världslinjen för en ljuspuls 45 grader. Alla
andra världslinjer (v

Vi inför några definitioner:
Ljuslik världslinje: 45 graders linje
Tidslik världslnje: ännu brantare
Rumslik världslinje: mera horisontell än ljuslik värdslinje
Exempel på världslinjer
Nu betraktar vi följande situation, En observatör (A) skickar iväg två speglar åt
varsitt håll, båda med farten ”v”. En stund senare avfyrar han två fotoblixtar en i
riktning mot vardera spegel. Ljuspulserna från fotoblixtarna (båda färdas med
hastigheten ”c” ) når samtidigt fram till speglarna, reflekteras och återvänder till
observatör A.

Vi ritar nu rumtidsdiagrammet såsom observatör A uppfattar det.
Nu tittar vi istället på hur en annan observatör, B, uppfattar situationen. B står på
vagnen som rullar med spegel 1. Spegel 1 är m.a.o. i vila i förhållande till B.
Vi tar och ritar varje objekt i figuren ovan, sett ifrån Bs referenssystem.
Enligt B: Observatör A rör sig till höger med hastigheten ”v”, spegeln 1 står
stilla:

Hur rör sig då spegel 2 i förhållande till observatör B?
Man vill gärna tro att den rör sig med hastigheten 2v i förhållande till B, då detta
är det ”vanliga” sättet att addera hastigheter i klassisk mekanik (sk Gallileiska
transformationer). Vi kommer dock att se att denna ”regel” måste modifieras när
hastigheterna är extremt höga (nära c).
För att komma fram till rörelsen för Spegel 2 börjar vi med att rita ljustrålarna
från A i riktning mot spegel 1 och 2.
Enligt Einsteins postulat färdas ljuspulsen med hastigheten c även i förhållande
till observatör B. Detta innebär att ljuspulserna bildar 45 graders vinklar i
förhållande till B (och spegel 1).
• Ljuspulserna utgår ifrån samma ”händelse” i As världslinje.
• Likaså träffar de samma händelse i As världslinje efter reflektionen.
Detta tillsammans med faktumet att ljustrålarna rör sig i 45 graders vinklar gör
att vi kan rita hela händelseförloppet. Världslinjen för spegel 2 måste:
• börja röra sig ifrån spegel 1 vid samma tidpunkt som A
• gå igenom punkten där ljuspulsen vänder tillbaka

Vi ser att sett ifrån Bs perspektiv sker inte pulsreflektionerna samtidigt!, till
skillnad från hur A uppfattar det hela.
Slutsats: ”samtidighet” är ett relativt begrepp(!) dvs, observatörsberoende.
t
t
Spegel 1
Spegel 1
δ
A
A
Spegel 2
Spegel 2
x/c
δ
x/c
Samtidigt
enl. A
Samtidigt enl. B

Samtidighet
I exemplet med ljusblixtarna såg vi att samtidighetsbegreppet är relativt. Detta
innebär att olika observatörer mäter olika tider beroende på deras relativa rörelse.
Närmast ska vi undersöka denna skillnad i tidsuppfattning.
Från figuren ovan kan man generalisera sättet att få fram samtidighetsskillnaden
mellan observatörer:
samtidighetslinjen lutar lika mycket uppåt (nedåt) som världslinjen lutar åt
höger (vänster).
Låt oss då försöka att kvantifiera detta.
Betrakta två stillastående observatörer, B1 och B2 på avståndet L från varandra
(se figur).
En tredje observatör, A, passerar B1 i ett ögonblick ”p” i riktning mot B2 med
farten ”v”.
• BB1 och B2 har samma tidsuppfattning.
• A uppfattar inte att B1 och B2 har samma tid.
• I själva verket uppfattar A att B2 har ”levt” tiden T längre än B1 (se figur).
Hur stort är T? Från figuren ser vi att
Men eftersom s= v⋅Δt, ser vi att
s/ c T
=
Δt L/
c (1.2)
v T v
= → T = 2
c L/ c c
L (1.3)

Slutsats:
två observatörer som rör sig med hastigheten vi
förhållande till varandra har samtidighetsuppfattningar
2
som skiljer sig med tiden T = vL/ c .

Exempel:
om man flyger från Stockholm till Göteborg (400 km) med ca 1000 km/timmen
(~280 m/s), så uppfattar man att Göteborgarnas klockor är
vL 280⋅ 400000 −9
T = = ≈1.2⋅10 sföre
dem i Stockholm!
2 8 2
c (3⋅10 )
M.a.o. i de flesta vardagliga sammanhang spelar denna skillnad ingen roll.