Formler (medföljer tentamen)

Formler (medföljer tentamen)
Särtryck från Praktisk elkunskap (Anders Gustavsson) kap3 - kap7. Att (vid behov) användas
vid tentamen i Ellära Kurs 6B2257 och Elektroteknik Kurs 6B2207.
Tabell 3.1 Data för ledarmateriel.
Material Resistivitet ρ [Ωmm 2 /m] Material Resistivitet ρ [Ωmm 2 /m]
Aluminium 0,027 Wolfram 0,06
Bly 0,21 Zink 0,06
Guld 0,022 Legeringar
Järn 0,105 Kanthal A1 1,45
Koppar 0,018 Konstantan 0,5
Kvicksilver 0,96 Manganin 0,43
Nickel 0,08 Nichrom 1,05
Silver 0,016 Mässing 0,06
Ohm:s lag
Resistivitet
R
l
= ρ ⋅
a
R = resistans [ Ω]
2
ρ = resistivitet [ Ωmm / m]
l = ledarens längd [ m]
2
a = ledarens area [ mm ]
Temperaturberoende
R2 = R1 + R1 ⋅ α( t2 − t1
)
R 2 = varm resistans
R 1 = kall resistans
α = temperaturkoefficient
Diameter och area
2
πD
a
a = D = 2
4 π
___________________________________________________________________________
Seriekopplade resistorer
Lika seriekopplade resistorer
Rtot
= R1 + R2 + R3 + Κ + Rn
Rtot = n ⋅ R1 n = antal resistorer R1
= resistorernas värde
Parallellkopplade resistorer
Om resistorerna är lika
1 1 1 1 1
R1
= + + + Κ +
Rtot = n = antal resistorer R1
= resistorernas värde
R R R R R
n
tot
1 2 3
Två parallellkopplade resistorer
R1 R2
R =
R + R
1 2
U
I =
R R = U U = I ⋅ R
I
n
Totalresistansen och en resistor känd
R2
Rtot
R1
=
R − R
Spänningsdelning
RX
U X = U
Summa R
___________________________________________________________________________
EMK, inre och yttre resistans
Polspänning
U
U R E U
Ri y( − )
Ry
U Ri = E − U I =
Ri
= =
U = E
R
I U
R + R
y
Några olika ledarmaterials temperaturberoende
Material Temperaturkoefficient × 10 -3
Metaller
Aluminium 4,3
Bly 4,2
Guld 4,0
Järn 6,6
Koppar 3,9
Kvicksilver 0,89
Nickel 6,7
Platina 3,8
Volfram 4,5
Zink 3,7
Legeringar
Kanthal 0,03
Konstantan ±0,03
Manganin ±0,02
Seriekopplade spänningskällor
Etot
= E1 + E2 + E3 + Κ + En
Ritot
= R1 + R2 + R3 + Κ + R
2
tot
i
y
n

Parallellkopplade spänningskällor
1 1 1 1 1
= + + + Κ +
Ritot Ri1
Ri2 Ri3 Rin
___________________________________________________________________________
Elektrisk energi Elektrisk effekt Verkningsgrad
W = U ⋅ I ⋅ t [J] P = W [ watt ]
η = P UT
t
PIN
Elektrisk effekt Effekt över yttre resistans Effekt vid anpassning
2
P = U ⋅ I = RI =
2
U
R
P
y
= R
y
E
( R + R )
i
2
y
2
P
ymax
2
E
=
4R
___________________________________________________________________________
Magnetiskt flöde och flödestäthet Magnetomotorisk kraft
B = Φ
a
B = flödestäthet [ T]
Φ = magnetiskt flöde [ Wb]
2
a = magnetpolens area [ m ]
Permabilitet µ
Rm
= reluktans [ A / Wb]
l
Rm =
l = magnetfältets medelväg [ m]
µ ⋅ a
2
a = magnetfältets area [ m ]
µ = permabiliteten [ Wb / Am]
Ohms lag för den magnetiska kretsen
Φ = F m
R m
Φ = magnetiskt flöde [ Wb]
Fm
= magnetomotorisk kraft [ At]
Rm
= reluktans [A / Wb]
Fm = I ⋅ N
Fm
= magnetomotorisk kraft [ At]
I = strömmen genom spolen [ A]
N = antal spolvarv
Permabilitetskonstant
−
k m = µ
µ 0 = 4π
⋅10 7 [ A / Wb]
µ = permabilitet
µ 0
k m = permabilitetskonstant
Magnetisk fältstyrka
H = fältstyrka
H =
NI
l
y
N = antal spolvarv
I = spolström [A]
[ At / m]
l = magnetfältets längd [m]
NI
Flödestäthet och fältstyrka B = µ H B = µ
l
Magnetens dragkraft/ytenhet (vid luftgapet) Kraft på ledare i magnetfält
F = dragkraft [ N]
F = kraft [ N]
2
F B
2
B = flödestätheten [T]
= a = magnetpolens area [m ] F = B ⋅ I ⋅ l
a 2µ 0 I = ström i ledaren [A]
B = flödestätheten [T]
l = ledarlängd i magnetfält [m]
Inducerad Emk, rörlig ledare i magnetfält
Inducerad Emk i spole
e = inducerad emk [ V]
u = inducerad emk [ V] dΦ
d Φ
e = N L = N N = antal spolvarv
d t d i
u = B ⋅ v ⋅ l B = flödestätheten [T]
d
l = ledarlängd i magnetfält [m] e = L i ∆
≈ L
i L = induktans [H]
d i,
∆i
= strömä ndring [A]
dt
∆t
d t,
∆t
= tidsintervall [s]
___________________________________________________________________________
Kraftverkan mellan laddningar Elektrisk laddning
F k Q 1
=
Q 2
Q = I ⋅ t Q = C ⋅ U Q =
U 2
r
d
Kondensatorns och spolens upp- och urladdning. Allmän formel för exponentiella förlopp.
x( t) = x − ( x − x ) e
∞
∞
0
t
−
τ
x0 = storhetens begynnelsevärde
x = storhetens värde efter lång tid
∞
τ = tidkonstant
τ = RC för RC - krets τ =
L
R
för LR - krets

Parallellkopplade kondensatorer C = C + C + C + + C
tot
1 2 3 Κ
Seriekopplade kondensatorer n st lika Två seriekopplade kondensatorer
1 1 1 1 1
C
= + + + Κ +
Ctot Ctot
C1 C2 C3
C
= 1 C C
C
n
n
tot = 1 2
C1 + C2
___________________________________________________________________________
Växelspänningslära Effektivvärde, toppvärde
u∃
U = effektivvärde
U = ≈ 0, 7 ⋅ u∃ u∃ = U 2 ≈ 1,
4 ⋅U
2
u∃
= toppvärde
Frekvens och periodtid
Momentanvärde
f = 1 T =
1 f
x( t) = x∃sin( 2πft + v)
= frekvens [Hz]
t = tid [ s]
T f
T = periodtid [s]
v = fasvinkel [rad]
___________________________________________________________________________
Induktorns reaktans
Kondensatorns reaktans
X L = reaktans [ Ω]
X C = reaktans [ Ω]
X L = 2π ⋅ f ⋅ L f = frekvens [Hz]
X C = 1
2π f C
L = induktans [H]
⋅ ⋅ f = frekvens [Hz]
C = kapacitans [F]
Ohms lag för reaktiv krets I
Serieimpedans (R+X)
2 2
Z = X + R
U
U
= Ohms lag för impedans I =
X
Z
Z = impedans [ Ω]
X = reaktans [ Ω]
n
Spänningar i serieimpedans (R+X)
2 2
X R
U = U + U
U = U − U
R = resistans [ Ω]
2 2
U R = U − U X
___________________________________________________________________________
Resonans
f = resonansfrekvens [Hz]
1
f =
L = induktans [H]
2π
LC
C = kapacitans [F]
2
ω ⋅ L ⋅ C = 1
( ω = 2πf
vinkelfrekvens)
X
2 2
R
Spänningar i en serieresonanskrets (R+C+L) Ström i en serieresonanskrets (R+C+L)
U
U
U C = I ⋅ X C U L = I ⋅ X L U R = I ⋅ R
I = =
Z
( X − X ) 2 + R
2
U U
Strömmar i en parallellresonanskrets (C//L)
IC
= IL
= IL+C = IL − IC
X C X L
___________________________________________________________________________
Växelströmseffekt i impedans
P = aktiv effekt [W]
P = U ⋅ I cos( ϕ)
S = skenbar effekt [VA]
S = U ⋅ I
S
2
= P
2
+ Q
2
Q = reaktiv effekt [VAr]
Q = U ⋅ I sin( ϕ)
ϕ = fasvinkel mellan I och U
L
C

Trefas
Spänningar och strömmar i trefassystem
Vid Y-koppling gäller:
Vid D-koppling gäller:
U F
I L U H
I G
Y-koppl.
D-koppl.
U H
= U F 3
IL
= IG
3
Spänningar mellan fasledare Huvudspänningar, U H Huvudspänningar, U H
Strömmar i fasledare Linjeströmmar, I L Linjeströmmar, I L
Spänningar över enskilda lastimpedanser Fasspänningar, U F Huvudspänningar, U H
Strömmar i enskilda lastimpedanser Linjeströmmar, I L Grenströmmar, I G
Trefaseffekt: P = U H I L 3 cos( ϕ ) Q = U H I L 3 sin( ϕ ) S = U H I L 3
Formler för elektriska motorer
Några samband för likströmsmotorn
Kirchoffs spänningslag tillämpad på likströmsmotorns modell:
U A = RA IA
+ E
Likströmsmotorn
I A
R A
I A
=
M
K Φ
U A
M
U A
E = K Φω
U A ankarspänning, matningsspänningen
R A total resistans i rotorkretsen
( större motorer kan ha spolar på statorn som även de ingår
elektriskt i rotorkretsen )
ω motorns vinkelhastighet. Ofta anges varvtalet n [varv/min].
2π
⋅ n
ω = [rad/sek].
60
E motorns ”generatoremk” (inducerad emk i
rotorlindningen). E = KΦω .
Symbol
Modell
I A ankarström, motorström
K motorkonstant, karakteristisk för varje
maskin
Φ magnetiskt flöde ( för motorer med
permanentmagneter är flödet konstant och Φ
kan då ”bakas in” i K )
ω 0 motorns vinkelhastighet i tomgång.
ω 0 = U A
KΦ .
M motorns vridmoment (axelmoment).
M = KΦI
A .
( K )
Momentet som funktion av ”varvtalsfall”: M = Φ 2 ( ω − )
RA
0 ω
samband mellan sammanhörande moment och varvtalsfall vid två olika driftfall:
M ′
′′ = ω′ 0 − ω′
.
M ω′′ 0 − ω′′
Observera att detta uttryck är ”dimensionslöst” och kan således även användas för varvtalsfall uttryckt i r/min.
P el tillförd elektrisk effekt. Pel = U A ⋅ IA
. 2
P F förlusteffekt i rotorlindningen. PF
= RA I
A
P mek axeleffekt. Pmek = E ⋅ IA = KΦ ⋅ ω ⋅ IA
.
P ω
η verkningsgrad. η =
mek
η = .
Pmek = M ⋅ ω
Pel ω 0

Några samband för asynkronmotorn
U det matande trefasnätets huvudspänning U H
I linjeström I L
U +
-
Asynkronmotorn
I
M
3
ω motorns (rotorns) vinkelhastighet. Ofta anges
2π
⋅ n
varvtalet n [varv/min]. ω = [rad/sek].
60
f är det matande nätets frekvens, och p är motorns
poltal.
Poltalet kan vara 2, 4, 6, 8, …
Symbol
ω 0 det roterande flödets vinkelhastighet, ≈ rotorns
4π
⋅ f
vinkelhastighet i tomgång. ω 0 = .
p
Serie för tomgångsvarvtalet hos asynkronmotorer
vid olika poltal ( f = 50 Hz ):
3000, 1500, 1000, 750 … [varv/min]
ω 0 − ω motorns ”varvtalsfall”
Det linjära arbetsområdet ( normal drift )
ω0
− ω n0
− n
s = = eftersläpningen (normerat
ω n
0
0
varvtalsfall, ett något föråldrat begrepp)
M motorns vridmoment
momentet som funktion av ”varvtalsfall”:
M = K ⎛ U
⎝ ⎜ ⎞
⎟
ω ⎠
0
2
( ω − ω)
0
K konstant, karakteristisk för varje maskin
Samband mellan moment och varvtalsfall och
matningsspänningar vid två olika driftfall:
M ′
′′ = ⎛ U ′ ⎞
⎜ ⎟
M ⎝ U ′′ ⎠
2
ω 0 − ω′
ω − ω ′′
.
0
Observera att detta uttryck är ”dimensionslöst” och
kan således även användas för varvtalsfall uttryckt i
varv/min.
P el tillförd elektrisk trefaseffekt. Pel = 3⋅U ⋅ I cosϕ .
ω
P F förlusteffekt i rotorn. PF
= P
0 − ω
el
( även Pel = M ⋅ ω 0 )
ω 0
ω
P ω
P mek axeleffekt. Pmek = M ⋅ ω Pmek = Pel
. η verkningsgrad. η =
mek
η = .
ω 0 Pel ω 0