Tentamen 2011-08-15

Tentamen i Analys II (TNA004)
Datum: 2011-08-15
Tid: 08.00 – 13.00
Kurskod: TNA004
Provkod: TEN1
Institution: ITN
Examinator: Sixten Nilsson
Hjälpmedel: Inga, förutom skriv- och ritmateriel
Uppgifterna på tentamen bedöms genom att varje uppgift poängsätts med 0 – 6 poäng. Varje uppgift
kan ge högst 6 poäng. Följande betygsskala gäller:
Betyg
Poäng på tentamen (inklusive ev. bonus)
5 36
4 28 – 35
3 20 – 27
U 0 – 19
Om inte annat framgår av uppgiftstexten, skall fullständig lösning lämnas. Med detta menas att
följande moment skall i lämplig omfattning ingå i lösningen:
1. Lösningen skall ha förklarande text med förklaringar på vad som görs och varför det får
göras. En hänvisning till teorin kan här vara lämpligt. Även en figur kan vara ett bra stöd i
detta arbete.
2. Lösningen skall ha en struktur som är lätt att följa.
3. Lösningen skall innehålla en kalkyldel där det går att följa hur resultaten har uppkommit.
4. Lösningen skall ha ett tydligt angivet svar/resultat som är kopplat till den fråga som är
ställd.
5. Svaret/resultatet skall där så är lämpligt utvärderas, dvs. prövningar skall genomföras som
säkrar resultatet.
Poängsättningen vid rättningen tar hänsyn till hur väl samtliga delar ovan är genomförda.
Lösningsskisser läggs ut på kurshemsidan http://webstaff.itn.liu.se/~sixni/TNA004.html i samband
med tentamenstidens slut.

1. Bestäm den allmänna lösningen differentialekvationen y´´(x) + 2y´(x) − 3y(x) = 3x − 8e .
2. a) Beräkna
1 − cos(3x)
lim
→ ln(1 − x )
b) Bestäm ett rationellt närmevärde till sin med ett fel som till beloppet är mindre än 10 .
3. Bestäm den funktion y = y(x) som är lösning till differentialekvationen
x
y´(x) − 4y(x)
1 + x = 1 + x
och som uppfyller villkoret lim → y(x) = 1.
4. Låt m vara en positiv konstant och betrakta den del av kurvan
y
m m
3 x 2 som ligger i första
kvadranten. Då kurvan roterar ett varv kring y-axeln alstras en rotationskropp med volymen V.
Utred om m kan väljas så att V kan överstiga värdet 10 (v.e). Ett uttryck för volymelementet skall
särskilt anges och motiveras utifrån en tydligt ritad figur.
5. a) Formulera integralkriteriet för positiva serier.
b) Visa att serien
(−1) 1 + k 1 + k
är konvergent?
c) För vilka värden på det reella talet x är potensserien
konvergent?
∞
1 (x + 2)
1 + k
6. a) Låt f vara en avtagande funktion på [1, n], n ∈ R. Rita en relevant figur och visa att om n > 1 är
ett heltal så gäller den dubbla olikheten
b) Visa att
för alla n ∈ Z .
f(n) + f(x)dx ≤ f(k) ≤ f(1) + f(x)dx.
1
(1 + k) ≤ 3 4
7. Figuren nedan visar graferna till den parametriska kurvan
x
sint
1 , 0 t 2 , och den polära
y
sin2t
2
kurvan r
2 cos 2
. Båda kurvorna är symmetriska med avseende på
både origo och x- och y-axeln och har formen av ett (ungefärligt)
oändlighetstecken. Avgör vilken kurva som är vilken och beräkna
arean av det plana område som ligger mellan kurvorna.
y
x