Skattning av OD-matriser

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA
ITN/Jan Lundgren
TNK057 Trafikinformatik 2001-09-28
Skattning av OD-matriser
I de flesta modeller för nätutläggning antas att efterfrågan (antalet resande)
mellan varje par av områden i ett trafiknätverk är given. Denna s k OD-matris
(Origin-Destination) utgör en mycket viktig typ av indata vid analyser av
jämviktsproblem och prognoser av trafikflöden, och självklart beror kvaliteten
i erhållna lösningar på OD-matrisens tillförlitlighet. En viktig problemtyp vid
trafikplanering är därför skattning av OD-matriser.
Ett sätt att erhålla OD-matriser är via resvaneundersökningar. Ofta är denna
typ av undersökningar mycket resurskrävande, både tidsmässigt och kostnadsmässigt,
och det är dessutom inte realistiskt att upprepa undersökningen
så ofta som man skulle vilja. OD-matrisen åldras och det finns ett behov av
att kunna uppdatera matrisen på ett enkelt sätt. Ett sätt är att utnyttja information
om flödet på vissa länkar i nätverket. Denna typ av indata fås genom
observationer (mätningar) av trafikflöden. Observationer kan göras till en
relativt sett låg kostnad och länkflödena kan uppdateras relativt ofta. De observerade
länkflödena kombineras vanligtvis med informationen i den ”gamla”
OD-matrisen som finns tillgänglig. Problemet att skatta en OD-matris kan då
tolkas som problemet att uppdatera en OD-matris, givet länkdata. Detta problem
kan tolkas som det ”omvända” problemet till nätutläggning. I stället för
att skatta (beräkna) länkflöden givet en OD-matris, skattar vi en OD-matris
givet länkflöden.
Låt g i beteckna efterfrågan i OD-par i. I stället för att använda två index
(för start- respektive målområde ) använder vi bara ett index och numrerar
OD-paren löpande. Mängden av OD-par betecknas med I och det vi söker
är vektorn g = {g i }, i ∈ I, bestående av flödet i alla OD-par. Vi antar att
en ”gammal” OD-matris finns given och vi betecknar den ĝ = {ĝ i }, i ∈ I.
Observerat flöden på länk a betecknas ˆv a , och mängden av länkar där vi har
observationer betecknas  och den är en delmängd av alla länkar A i nätverket.
Det är orealistiskt att skaffa information från alla länkar. I praktiken kan det
kanske finnas observationer på 5-20 % av länkarna. Vi kan uttrycka relationen
mellan observerade länkflöden och sökta OD-flöden genom ekvationerna
1

∑
p ia g i = ˆv a , ∀a ∈ Â, (1)
i∈I
där p ia betecknar andelen (proportionen) resande i OD-par i som utnyttjar länk
a. Dessa andelar beror på vilka antaganden vi gör om nätverksutläggningen.
För fallet att restiden på en länk ej beror av flödet, kan p ia beräknas i förväg och
ekvationerna kan användas direkt vid skattningen. För fallet att nätverksutläggningen
sker enligt principen om användarjämvikt, beror p ia på OD-flödet g och
det samband som ekvationerna uttrycker kan inte utnyttjas direkt vid lösning.
Vi söker alltså ett OD-flöde som satisfierar samtliga ekvationer (1) ovan. I
praktiken kan två svårigheter uppkomma vid lösning av ekvationssystemet.
Systemet är normalt underbestämt, dvs det finns fler variabler (OD-par) än
det finns ekvationer (länkar med observationer). Det kan därför inträffa att
det finns många olika OD-matriser som uppfyller ekvationerna. Det gäller
då att avgöra vilken matris av alla möjliga som är mest sannolik, och det
är i denna beräkning vi har nytta av den gamla OD-matrisen. Vi kommer
troligtvis också att ha viss inkonsistens i givna länkdata (mätfel mm), och
det kan därmed inträffa att det inte finns någon lösning alls som uppfyller
ekvationerna. Eventuellt kan det finnas ett fåtal tillåtna lösningar
En intuitiv lösningsstrategi är att omväxlande lösa det övre och det nedre problemet.
För någon OD-matris görs en nätutläggning för att erhålla länkflöden
samt andelarna p ia . Dessa andelar hålls sedan konstanta i det övre problemet
och en ny OD-matris beräknas, och så vidare. Metoden har dock den
begränsningen att den inte garanterat konvergerar och en eventuellt erhållen
lösning är inte ens säkert ett lokalt optimum. En rimlig lösningsstrategi är att
använda en metod som successivt justerar OD-matrisen och minskar värdet
på målfunktionen F(g, v). Eftersom länkflödet v är en funktion av OD-flödet
g kan vi uttrycka problem som
min
g≥0 F(g) = γ 1F 1 (g, ĝ) + γ 2 F 2 (v(g), ˆv)
och lösningsstrategin kan beskrivas enligt följande:
0/ Starta med någon OD-matris g (0) , t ex den gamla matrisen ĝ. Sätt k = 0.
1/ Lös optimeringsproblemet som bestämmer en nätverksutläggning enligt
principen om användarjämvikt. Beteckna länkflödeslösningen v (k) .
2/ Beräkna hur (i vilken riktning) OD-matrisen ska ändras, dvs bestäm gradienten
av F med avseende på g i punkten g (k) och beräkna sökriktningen
d (k) .
2

3/ Kontrollera avbrottskriterier.
4/ Bestäm hur mycket OD-matrisen ska förändras, dvs gör en s k linjesökning
i den valda riktningen. Sök α k så att F(g (k) +α k d (k) ) < F(g (k) ).
5/ Sätt g (k+1) = g (k) + α k d (k) och gå till steg 1/.
Det beräkningsmässigt svåra är att bestämma gradienten. För varje OD-par
i måste vi beräkna hur flödet på alla länkar a ∈ A påverkas av en förändring
av flödet i just det OD-paret. Om vi har kvadratiska funktioner F 1 och F 2 och
γ 1 = γ 2 = 1 kan vi uttrycka gradientens komponent i som
2
∂F
∂g i
= (g i − ĝ i ) +
Â∑
(v a − ˆv a ) ∂v a
,
a=1
∂g i
där den partiella derivatan ∂va
∂g i
förändring av OD-flöde i.
uttrycker hur flödet på länk a påverkas av en
En approximativ beräkning av gradienten fås om vi använder andelarna p ia
från den senaste jämviktslösningen (derivera v a med avseende på g i i ekvation
(2)). Antagandet vi då gör är att ökningen av OD-flödet kommer att fördela sig
mellan använda rutter i samma proportioner som tidigare. En lösningsmetod
baserad på denna approximation ingår i EMME/2 systemet och den har visat
sig fungera bra i praktiken.
Felet som görs vid approximationen av gradienten enligt ovan är att ingen
hänsyn tas till restidsfunktionernas utseende. En proportionell ökning av flödet
på varje rutt kommer kanse att förändra restiderna på rutterna olika mycket,
dvs flödet uppfyller nu inte längre jämviktantagandet. Dessutom kommer även
restiderna på rutter i andra OD-par som använder samma länkar att påverkas.
Det går att beräkna gradienten noggrannare så att hänsyn tas till de förändrade
restiderna på rutterna, men då ökar också beräkningsarbetet betydligt i varje
iteration.
3