量子コンピュータ と 量子トランスポーテーション - 大阪大学X線天文グループ

参 考 文 献 1. 量 子 情 報 科 学 とその 新 展 開 (サイエンス 社 )2003
2. 現 代 物 理 最 前 線 5 ( 共 立 出 版 ) 2001
3.ナノエレクトロニクス.jp
あやふやな 話
量 子 トランスポーテーションと
量 子 コンピュータ
2003/7/18
大 阪 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科
林 田 清

量 子 力 学 (コペンハーゲン 解 釈 )
(1) 重 ね 合 わせの 原 理
0 と 1 が 物 理 的 に 可 能 な 量 子 状 態 ならばαとβを 複 素 数 として、 重 ね 合 わせ
ψ = α 0 + β 1
も 可 能 な 量 子 状 態 である。 ここで0と1はある 物 理 量 の2つの 異 なる 固 有 値 。
(2)シュレーデンガー 方 程 式
∂ ψ
状 態 ψ の 時 間 発 展 は i = H ψ
∂t
−iHt
あるいはユニタリー 行 列 U = e として ψ →U
ψ
(3) 波 束 の 収 縮 と 観 測 (ボルンの 確 率 解 釈 )
観 測 を 行 うと 量 子 状 態 ψ = α 0 + β 1は 0 か 1 の 状 態 に 遷 移 する。
2 2
その 確 率 は、おのおの α と β で 与 えられる。

EPRパラドックス
• Einstein, Podolsky, , Rosen (1935)
• 一 つの 原 子 核 が 質 量 の 等 しい 二 つの 原 子 核 に 分 裂
し、 逆 向 きに 飛 んでいく。
• 粒 子 Aの 運 動 量 を 測 定 して+P
+Pという 値 を 得 れば 粒 子 Bの
運 動 量 は-Pと は と 確 定 する
• 粒 子 Bの 位 置 を 測 定 し-Xという し
値 を 得 れば 粒 子 Aの 位 置
は+Xと と 確 定 する。
• 不 確 定 性 原 理 に 反 する→ 量 子 力 学 は 不 完 全 である
• Aを 観 測 するとその 瞬 間 に( 遥 か 離 れた 場 所 にい
る)Bの 物 理 量 が 確 定 する。
-P
+P
-X +X

量 子 の 絡 み 合 い、もつれ(entanglement)
• 二 つ 以 上 の 粒 子 の 量 子 状 態 が 独 立 でないこと= 相 関 が
あること
光 子 の 偏 光 横 ↔ 縦
↔ +
↔ −
+ 45° 偏 光 = , − 45° 偏 光 =
2 2
右 回 り 円 偏 光
↔ − ↔
=
=
↔ + i
↔ −i
= , 左 回 り 円 偏 光 =
2 2
絡 みあい 状 態 に2 個 の 光 子 の 例
A
B
2
+ 45° −45° − − 45° + 45°
2
右 左 − 左 右
2
A
B
A B A B
A B A B
一 方 が 縦 偏 光 と 測 定 されれば、
もう 一 方 は 横 偏 光 。
一 方 が+45° 偏 光 と 測 定 され
れば、もう 一 方 は-45° 偏 光 。
一 方 が 右 円 偏 光 と 測 定 されれ
ば、もう 一 方 は 左 円 偏 光 。

量 子 トランスポーテーション( 概 念 図 )
Bouwmeester et al., 1997, Nature
390, p.575より
Bell State Measurement
2 個 の 粒 子 の 相 対 的 な
関 係 だけを 測 定 する
(1 個 だけを 測 定 すると
重 ね 合 わせ 状 態 がくず
れ、 絡 み 合 いもなくな
る)
EPR 対
• 注 )Bell)
測 定 の 瞬 間 に 光 子 3の 状 態 は 確 定 するが、
Bobはそれを 知 ることはできない。Alice
Aliceからどの
Bell 測 定 をしたという 情 報 を 送 ってもらう 必 要 がある。
情 報 伝 達 速 度 は 光 速 を 超 えない。

Zeilingerグループの
量 子 トランスポーテーション 実 験 配 置
Beam
Splitter
+45°の 偏 光
Parametric
Down Conversion
-45°の 偏 光
Bouwmeester et al., 1997, Nature
390, p.575より

Parametric Down Conversion
によるEPR 対 の 発 生
• 結 晶 を 通 過 したUV 光 子 がエネルギー1/2
1/2の2
個 の 光 子 を 発 生 させる
http://www.nanoelectronics.jp/kaitai/qteleportation/3.htmより
Bouwmeester et al., 1997, Nature
390, p.575より

ベル 測 定
• EPR 対 ( 絡 みあい 上 体 にある2 個 の 粒 子 )の 基 底 状 態 =ベル 基 底
• 二 つの 粒 子 について 相 対 的 な 関 係 だけを 測 定 する=ベル 測 定
黒 字 は 今 井 浩 講 義 録 より
Bouwmeester et al. の 実 験 では 観 測 =
Φ A の 基 底 ( 反 対 称 )に 対 する 投 影 。
Φ A の 状 態 の1,2ペアに 対 してだけテレ
ポーテーションしている。
( 全 体 の25%)

ビームスプリッター
• もともと 独 立 に 発 生 した 光 子 Aと 光 子 Bを 絡 み
合 い 状 態 にする
図 はナノエレクトロニクス.jpより
Ⅲの 状 態 になるのは、 両 方 反 射 か 両 方 透
過 した 場 合 のみ。 反 射 は 波 動 関 数 にマイナ
スの 符 号 をつけるので、 状 態 が 対 称 だと 反
射 と 透 過 がキャンセルする。 Ⅲの 状 態 にな
るのは2 光 子 が 反 対 称 の 場 合 。

実 験 結 果
• +45 度 の 偏 光 子 を1のを
通 り 道 に 設 置 し、
f1&f2&d1, f1&f2&d2
の 同 時 計 測 をカウント
した。
• -45
度 の 場 合 も 同 様
• ( 縦 横 偏 光 の 重 ねあわ
せ 状 態 である+-45
度 で
も) 光 子 1の 量 子 状 態
が 光 子 3の 量 子 状 態 に
移 されている。= 量 子
テレポーテーションの
成 功
Bouwmeester et al., 1997, Nature
390, p.575より

量 子 テレポーテーションの 現 在
• Zeilinger グループの 測 定 では2 個 同 時 に
光 子 を 計 測 する 可 能 性 を 排 除 できていない
ので、 量 子 テレポーテーションの 実 験 として
は 不 十 分
• Furusawa et al., 1998 Science, 282,
p.706の の 実 験 が 最 初 の 成 功 例
• 現 在 では10km
離 れた 距 離 への 転 送 にも
成 功
• 2001 年 には1 兆 個 のセシウム 原 子 の 系 の
スピン 状 態 のテレポーテーションに 成 功 (B
Julsgaard et al 2001 Nature 413 400)

暗 号 通 信 への 利 用
• 量 子 テレポーテーションは 絶 対 安 全 な 暗 号 伝 送 の 手 段
• 現 在 、 量 子 暗 号 と 呼 ばれている 技 術 は、 必 ずしも 今 回 説 明 したような
テレポーテーションではないが、10km
以 上 離 れた 量 子 暗 号 通 信 が 成
功 している
• Jennewein, , T et al.,
.,(( 2000, Phys.Review Letters)のデモン
ストレーション( 量 子 暗 号 を 使 って 画 像 転 送 )
• 360mの の 距 離
図 はby は
T.
Jennewein (c)
APS/PRL

量 子 コンピュータ
• = 量 子 力 学 原 理 を 利 用 したコンピュータ
• 1959 年 R. Feynmanが が 講 演 の 中 で 量 子 化 さ
れたエネルギー 準 位 やスピンなどで 情 報 を 蓄
えることを 示 唆
• 1980 年 P. Benioff が 量 子 力 学 的 原 理 を 計
算 に 利 用 する 有 効 性 を 証 明 ()
• 1994 年 P. Shor による 量 子 コンピュータ 用 因
数 分 解 アルゴリズムが 社 会 的 反 響
• 量 子 コンピュータの 実 現 に 向 けた 開 発 が 一 気
に 加 速

このページhttp://www-imai.is.s.u-tokyo.ac.jp/~imai/lecture/lecture.htmlより 転 載
1bitあたりの 原 子 数 : 2020 年 頃 には 限 界
10 20
1ビ
ットあたりの
10 15
サブミクロンの 時 代
原
子
数
10 10
10 5
「1.5 年 で 倍 」
量 子 効 果 の
顕 在 化
10 0 1960 1970 1980 2000 2020
1990 2010
年

このページhttp://www-imai.is.s.u-tokyo.ac.jp/~imai/lecture/lecture.htmlより 転 載
1 classical bit
0 1
Voltage
0V
Classical vs. Quantum computing
5V
Traditional Computer
1
0
1
Circuit of
NAND gates
1 quantum bit (qubit)
| 0〉 α |0〉+
β |1〉
| 1〉
2
( α,
β)
∈C2,
α 2+
β = 1
superposition of |0〉
,|1〉
Quantum Computer
U Circuit of
1qubit
Unitary gate
&
+ 2qubit
Controlled
NOT gate

量 子 コンピュータによる 計 算
• 重 ねあわせたままの
状 態 で 計 算
• 並 列 計 算 に 威 力 発 揮
図 はナノエレクトロニクス.jp
http://www.nanoelectronics.jp/kaitai/quantu
mcom/2.htmより

量 子 コンピュータの 部 品 (ゲート)
• 制 御 NOTゲート • ユニタリ 変 換 ( 回 転 )
ゲート
制 御 ビット
標 的 ビット
A B X( = A) Y
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 0
X
= UA
量 子 計 算 機 の 任 意 の 演 算 (ユニタリ 変 換 )は、2ビットの 制 御 NOT
ゲートと1ビットのユニタリ 変 換 ゲートで 実 現 できる

1) 初 期 値 としてa,b,cのQ-bitを0にする ψ
ψ
⎛
= ⎜
⎝
2
2
∑
xy , = 0,1
x
量 子 計 算 の 例
x+y mod 2の 並 列 計 算 (modは 余 りを 求 める 操 作 )
2)a,bを 重 ね 合 わせ 状 態
1 ⎞
⎟
2 ⎠
( 0 + 1 )
3) 制 御 NOTゲートを 使 いab
, を 入 力 につなげ
y
1
2
⎛ 1 ⎞
ψ = ⎜ ⎟ ∑ x y x+y mod 2
a b c
⎝ 2 ⎠ xy , = 0,1
1
= 0 0 0 + 0 1 1 + 1 0 1 + 1 1 0
2
4) 欲 しい 答 えを 得 る=ビットを 観 測 する
0
a b c
=
にする
0 0 0
a b c
cを 出 力 につなげると(x+y mod 2)の 全 ての 答 えを 一 遍 に 得 る
( )
a b c a b c a b c a b c
この 場 合 は4つの 項 のうちのどれかが1/4の 確 率 で 実 現 される
欲 しい 解 の 実 現 確 率 を 高 くするアルゴリズムの 工 夫 が 必 要

量 子 計 算 向 けアルゴリズム
• Shor による 因 数 分 解 のアルゴリズム(1994)
• インターネットのRSA
暗 号 の 前 提 =“ = 因 数 分 解 には
膨 大 な 計 算 時 間 が 必 要 ”
• 現 在 のコンピュータで200
億 年 かかるRSA
暗 号 の 解
読 が 数 秒 で 終 わる 可 能 性
• 量 子 コンピュータの 発 明 =インターネット 社 会 の 危 機
として 大 反 響
• Groverによる 検 索 アルゴリズム(1997)
• N 個 のファイルの 中 から1 個 のファイルを 探 し 出 す
• 古 典 計 算 では~N/2
~N/2ステップの 計 算 、 Groverによる
量 子 計 算 向 けアルゴリズムでは√N

量 子 コンピュータの 実 現 方 法
qubitを を 何 で 表 現 するか
• イオントラップの 振 動 モード
• 1995 年 には 制 御 NOT 回 路 成 功 (NIST)
• NMR( 核 磁 気 共 鳴 )の 核 スピン
• 2001 年 5qubitのシステムで
のシステムで15の の 因 数 分 解
(IBM)
• 量 子 ドット 中 の 電 子 準 位
• 半 導 体 原 子 が 数 百 - 数 千 個 集 まった 塊 に 電
子 がトラップされた 状 態
• 2002 年 人 工 H 原 子 、He、
原 子 作 成 (NTT)
• ジョセフソン 素 子
• 2qubit 間 の 絡 み 合 いに 成 功 2003 年
(NEC&RIKEN)
上 図 はナノエレクトロニクス.jp より 転 載
http://www.nanoelectronics.jp/kaitai/q
uantumcom/4.htmより
図 はhttp://www.zdnet.co.jp/news/0302/20/nj00_quantum.htmlより

制 御 NOT 回 路 の 実 現 方 法
• 二 つのqubit
間 の 相 互 作 用 を 利 用 する
• 量 子 井 戸 による 実 現 提 案 の 例
竹 内 繁 樹 ( 量 子 情 報 科 学 と
その 展 開 より)サイエンス 社

量 子 コンピュータ 実 現 へのステップ
1. 1qubitの の 量 子 力 学 的 な 重 ね 合 わせの 状 態 を 作 り、
それを 制 御 。
2. 2qubitの の 実 現 。 制 御 NOTゲートの 実 現 。
3. 数 キュービットで 簡 単 なアルゴリズムを 実 践 ( 少 数
ビットのアカデミックな 量 子 計 算 )。
4. 集 積 化 により 大 規 模 な 量 子 ビット( 少 なくとも 一 万
qubit)を を 実 現 し、 実 用 的 なアルゴリズムを 実 践 。
http://www.nanoelectronics.jp/kaitai/quantumcom/4.htmより 転 載
デコヒーレンス( 重 ね 合 わせ 状 態 が 短 い 時 間 で 解
消 してしまうという) 問 題 と 集 積 化 が 現 在 の 課 題