Relativ rörelse

Relativ rörelse 8 – 18 RELATIV RÖRELSE 18.1 InledningDen grundläggande lagen i den klassiskamekaniken är Newtons accelerationslagma = FSom Newton själv noterade finns det en fundamentalsvårighet gömd i denna ekvation,nämligen det faktum att ekvationen bara kangälla i vissa koordinatsystem. Detta följerav att accelerationsvektorn a kan ändras närman byter koordinatsystem medan kraftvektornF förblir densamma. Kraften på enpartikelbeskriver dess växelverkan med andrapartiklar och beror alltså av vilka objekt somfinns i omgivningen, men den har inget medvalet av koordinatsystem att göra. Observeraatt vi här talar om vektorerna själva och inteom deras komponenter! Komponenterna avkraftvektorn ändras när vi byter koordinatsystem,men vektorn själv är invariant i denmeningen att den har en given storlek ochpekar i en bestämd riktning. Accelerationendäremot måste alltid relateras till något visstkoordinatsystem fär att vara meningsfull.Exempel: Den gravitationskraft varmed jordenpåverkar månen är riktad frånmånen mot jorden. Newtons accelerationslagsäger oss då attmånens accelerationlikaså är riktad från månen motjorden. Detta stämmer om vi beskrivermånens rörelse i ett koordinatsystemmed origo i jordens medelpunkt och axelriktningarbetsämda av fixstjärnorna.Om vi däremot väljer ett koordinatsystemmed origo i månens medelpunktblir månens acceleration uppenbarligennoll, fastän gravitationskraften fortfarandefinns kvar och fortfarande pekarfrån månen mot jorden.1 Detta avsnitt är hämtat från ett kompendium avA. Kihlberg och G. NiklassonDe koordinatsystem i vilka Newtons lagargäller kallar vi inertialsystem. Ett problemsom bekymrade Newton och mångaefter honom är att det inte finns någongrundläggande princip som talar om för ossvilka system som är inertialsystem. Det endaman kan säga är att om man hittat ett inertialsystemså har man hittat dem alla, eftersomtvå olika inertialsystem bara kan skiljasig åt genom att det ena utför en ren translationsrörelsemed konstant hastighet relativtdet andra. System som inte är inertialsystemkallar man därför för accelererade koordinatsystem.Frågan om ett visst koordinatsystem ärett inertialsystem eller ej avgörs som allafysikaliska frågor i sista hand av experiment.Om mätresultaten stämmer medberäkningar baserade på Newtons accelerationslagså är systemet ett inertialsystem, annarsinte. Eftersom mätresultat aldrig kanvara exakta och fullständiga kan man aldrigge ett absolut svar, utan man får nöja sig medatt säga att systemet kan betraktas som ettinertialsystem för en viss klass av fenomeneller inom en viss mätnoggrannhet.Exempel: När man studerar hur en bil rörsig längs en väg eller hur en utkastadprojektil rör sig genom luften kanman i allmänhet betrakta ett koordinatsystemfixerat i jordytan som ett inertialsystem.Om man noggrannt studerarfallrörelse i lufttomt rum finnerman emellertid små avvikelser från accelerationslagensförutsägelser. Merapåtagliga sådana avvikelser visar sigi storskaliga rörelser som strömmarnai värdshaven eller vindarna kring ettlågtryck. Dessa fenomen påverkasmärkbart av jordens rotationsrörelse.För att beskriva dem korrekt medhjälp av Newtons mekanik måste viutgå från ett koordinatsystem fixerat ijordens medelpunkt med axelriktningarbestämda av fixstjärnorna. Vill man

Relativ rörelse 8 – 2tialsystemet, och där x, y och z är koordinaterna.studera ännu storslagnare fenomen, somĵ och e z = ˆk för basvektorerna i iner- torerna e ξ , e η och e ζ kan vara tidsberoende.t ex planeternas rörelser, duger inteFör att beteckna koordinaterheller detta som inertialsystem, utan och lägevektorer i det accelererade koordinatsystemetman får gå till ett system fixerat i solen.Och så vidare.Man kan fråga sig om det överhuvud tagetanvänder vi grekiska bokstäver.Lägevektorn skrivs alltså somρ=ξe ξ +ηe η +ζe ζfinns något absolut inertialsystem, i vilketNewtons lagar är exakt giltiga. Frågan är där e ξ , e η och e ζ är basvektorerna i det accelereradesträngt taget meningslös, eftersom vi vetsystemet, och ξ, η och ζ är partikelnsatt den klassiska mekaniken av andra skäl koordinater i detta system. Om båda koordinatsystemenhar ett begränsat giltighetsområde. Newtonshar samma origo är r och ρteori kan betraktas som ett gränsfall av samma vektor. I annat fall gäller sambandetmera allmängiltiga teorier som kvantmekanikoch allmän relativitetsteori. Särskilt denr = ρ + Rallmänna relativitetsteorin kastar ett nytt ljusdär R är vektorn från origo O i inertialsystemettill origo Ω i det accelererade systemet.över begreppet inertialsystem.Även om man i princip bör arbeta i ett inertialsystemnär man tillämpar Newtons lagarså är det ofta opraktiskt att göra såṀanfår t ex en mycket klumpig beskrivning ave ζHY @Ie havsströmmars rörelser om man anger demHηH @relativt ett stjärnfixt system. Funktionenr(t) ρ(t)HHhos en mekanisk apparat i ett svängande och e zH@6Qdykande flygplan studerar man lämpligen i ettΩ QQQsflygplansfixerat koordinatsystem, fastän deteinte är ett inertialsystem. Vi behöver därför O 1-R(t)ξe yen metod att transformera accelerationslagene xså att vi direkt kan arbeta i accelererade koordinatsystemutan att varje gång behöva taomvägen över ett inertialsystem. I detta kapitelskall vi presentera en sådan metod.Ifortsättningen skall vi använda ordet ‘absolut’för att beteckna hastighet och accelerationi förhållande till inertialsystemet och ‘relativ’för att beteckna motsvarande storheter8.2 Grundläggande formler och begreppiförhållande till det accelererade systemet.Vår uppgift är att finna sambanden mellande absoluta och de relativa storheterna. FörLåt oss studera rörlesen hos en given partikeliförhållande till två olika koordinatsystem.Det ena koordinatsystemet antages vara ettinertialsystem, medan det andra är ett accelereratatt göra detta utgår vi från ovanstående sambandmellan den absoluta lägevektorn r ochden relativa lägevektorn ρ, vilket vi skriver påformensystem. Partikelns lägevektor relativtinertialsystemet skriver vi somr = xe x + ye y + ze zr = ξe ξ + ηe η + ζe ζ + RDen absoluta hastigheten v finner vi genomdär vi infört beteckningarna e x = î, e y =att bilda tidsderivatan av r, varvidvimåsteta hänsyn till att såväl vektorn R som basvek-

Relativ rörelse 8 – 3Detta gerv = ξe ˙ ξ +˙ηe η +˙ζe ζ ++ ξė ξ +ηė η +ζė ζ +ṘHär representerar de tre första termerna partikelnsrelativa hastighet v rel , d v s denhastighet en observatör fixerad i det accelereradesystemet skulle tillordna partikeln, omhan inte vore medveten om att hans koordinatsystemrör sig. De återstående termernarepresenterar den hastighet partikelnfår genom att följa med koordinatsystemet idess rörelse. Dessa termer bildar tillsammansmedföringshastigheten v med . Vi kan alltsåskriva den absoluta hastigheten på formenv=v rel + v medförstå än de två andra bidragen. Denuppträder endast för roterande koordinatsystem,och vi skall senare diskutera dessinnebörd utförligare. Bland annat skallvi se att det är coriolisaccelerationen somförklarar varför vindarna kring ett lågtryckoch strömmarna i världshaven uppför sig somde gör. För ögonblicket nöjer vi oss med denformella definitionen och skriver alltså denabsoluta accelerationen på formendära=a rel + a med + a cora rel = ¨ξe ξ +¨ηe η +¨ζe ζa med = ξë ξ + ηë η + ζë ζ + ¨Ra cor = 2(˙ξė ξ +˙ηė η +˙ζė ζ )därv rel = ˙ ξe ξ +˙ηe η +˙ ζe ζv med = ξė ξ + ηė η + ζė ζ + ṘNewtons accelerationslag, som ju gäller i inertialsystem,får nu formenm(a rel + a med + a cor )=FDen absoluta accelerationen a finner vi påmotsvarande sätt genom att derivera v maptiden och därvid ta hänsyn till tidsberoendeti alla ingående termer. En rättfram uträkningger resultateta = ¨ξe ξ +¨ηe η +¨ζe ζ ++ 2(˙ξė ξ +˙ηė η +˙ζė ζ )++ ξë ξ +ηë η +ζë ζ + ¨Rdär de tre första termerna i analogimed motsvarande termer i uttrycket förhastigheten utgör den relativa accelerationena rel . De fyra sista termerna kommer enbartav koordinatsystemets rörelse, och debildar tillsammans medföringsaccelerationena med . I motsats till vad som gällde förhastigheten finner vi emellertid att accelerationeninnehåller ytterligare tre termer,vilka beror av den relativa rörelsen ochav koordinatsystemets rörelse. Dessa termerutgör den så kallade coriolisaccelerationena cor , som kanske är lite svårare attEtt annat sätt att skriva samma ekvation ärma rel = F − ma med − ma corDet första skrivsättet är det ur formell synpunktmera naturliga och det som bäståterspeglar filosofin i Newtons mekanik. Ihögerledet står de verkande krafterna och ivänsterledet den acceleration de ger upphovtill. Det senare skrivsättet är emellertid oftaibättre samklang med hur en observatör somföljer med det accelererade systemet uppleversituationen. En observatör på jorden har t exingen direkt upplevelse av att hans koordinatsystemrör sig, och när han talar om en partikelsacceleration menar han vanligen baraden relativa accelerationen. Ekvationen ovanvisar att man kan räkna med Newtons andralag på vanligt sätt även i ett accelererat koordinatsystem,om man lägger till ett par extratermer till kraften i högerledet. Man skriveralltså accelerationslagen på formenma rel = F + F med + F cor

Relativ rörelse 8 – 4därF med = −ma medF cor = −ma corSådana extra termer kallar vi fiktivkrafter,därför att de inte representerar växelverkanmed omgivningen utan egentligen bara är accelerationsbidragsom flyttats över till ‘felsida’ av ekvationen. Ett exempel som vi skallstöta på är centrifugalkraften, som erhållessom ett specialfall av F med för roterande koordinatsystem.Det är ofta bekvämt att räknamed fiktivkrafter, och trots namnet kan deupplevas som mycket påtagliga, vilket mångaLisebergsbesökare kan intyga.Vare sig vi väljer att arbeta med begreppetfiktivkrafter eller inte, måste vi kunnaberäkna medföringsaccelerationen och coriolisaccelerationen.I följande avsnitt skall vistudera hur man går tillväga för att göra dettai olika situationer.8.3 Koordinatsystem med rentranslationsrörelseVi skall börja med att betrakta den enklastesituationen, nämligen den att axelriktningarnai det accelererade systemet ärfixa. Systemet säges då utföra ren translationsrörelse.Eftersom basvektorerna e ξ , e ηoch e ζ är konstanta blir alla deras tidsderivatornoll. Uttrycket för medföringshastighetenförenklas då tillv med = Ṙvilket helt enkelt är den hastighet varmedorigo i det accelererade koordinatsystemet rörsig. På samma sätt reduceras uttrycket förmedföringsaccelerationen tilla med = ¨Roch coriolisaccelerationen försvinner helt ochhållet. Accelerationslagen får alltså formenm(a rel + ¨R) =FExempel: En järnvägsvagn rör sig horisontelltoch rätlinjigt med hastigheten v(t).Ställ upp rörelseekvationen för en partikelsom glider på ett lutande plan ivagnen!- v(t)H HtHHHHH Vi väljer koordinatsystem enligt figurenmed ξ-axeln längs planet. Underförutsättning att partikeln inte lyfterfrån planet får den relativa accelerationenformenηa rel = ¨ξe ξ H HHHHHH θtH HjMedföringsaccelerationen kan skrivas¨R = ae x = a(e ξ cos θ + e η sin θ)där θ är planets lutningsvinkel ocha = ˙v(t) är vagnens acceleration. Dekrafter som verkar på partikelnär tyngdkraftenW , normalkraften N och friktionskraftenF . Dessa skriver vi påföljande sätt:W = mg(e ξ sin θ − e η cos θ)N = N e ηF = −F e ξξ

Relativ rörelse 8 – 5NHYHHH Fθ?WAccelerationslagen blir alltsåm(a rel + ¨R) =W+N+Fvilket kan skrivas på den alternativa formendärma rel = W + N + F + F medF med = −m ¨RPartikelns rörelse på det lutande planetkan alltså beskrivas genom att man utövertyngdkraften och kontaktkrafternainför en fiktiv kraftvilken är motriktad vagnens acceleration.FHYHHH F med?WNEfter uppdelning i komponenter längs e ξoch e η ger accelerationslagen de två ekvationernam( ¨ξ + a cos θ) = mg sin θ − Fma sin θ = −mg cos θ + NUr den andra av dessa ekvationer kannormalkraften N lösas:N = mg cos θ + ma sin θBeroende på storlek och tecken hosvagnens acceleration a kan olika situationerinträffa. Vi noterar t ex att oma har ett tillräckligt stort negativt värdeblir N negativ, vilket signalerar att partikelnlyfter från planet, såvida den inteär fastklistrad. I det fall att partikelnglider nedför planet gäller att F = fN,där f är friktionstalet. Accelerationenlängs planet kan då lösas ur den förstaav ovanstående ekvationer, vilket ger¨ξ =(g−fa)sinθ−(a+fg)cosθVi ser här att ¨ξ blir negativ om vagnensacceleration a har ett tillräckligt stortpositivt värde. Det betyder att om partikelnges en begynnelsehastighet nedförplanet kommer dess rörelse att bromsasupp och eventuellt kan den iställetbörja glida uppåt längs planet. Mankan också genom att sätta ¨ξ = 0 iovanstående ekvationer studera villkoretför att partikeln skall kunna ligga ijämvikt på planet. Betrakta t ex specialfalletatt planet är lodrätt, d v s θ =90 ◦ .Jämviktsvillkoren blir dåF = mgN = mavilka är möjliga att satisfieraunder förutsättning att a ≥ g/f.F6ma?W-N8.4 Koordinatsystem med ren rotationsrörelseAntag att det accelererade koordinatsystemetsrörelse består i att det roterar medvinkelhastigheten ω kring en viss axel A.Origo antages vara fixerat och kan få sammanfallamed origo i inertialsystemet. Somexempel kan man tänka på ett koordinatsystemfixerat på en roterande karusell med origo

Relativ rörelse 8 – 6i mittpunkten. Ett annat exempel är ett koordinatsystemfixerat i jorden med origo i jordensmedelpunkt.'$ ξη@I &%@@ωVillkoret att origo är fixerat innebär atttidsderivatorna av R försvinner ur uttryckenför hastighet och acceleration. Basvektorernae ξ , e η och e ζ är däremot tidsberoende, ochvi behöver finna uttryck för deras tidsderivator.För den skull börjar vi med det meraallmänna problemet att finna tidsderivatan aven vektor V , som roterar kring en axel A medvinkelhastigheten ω. Ett bekvämt sätt attmatematiskt beskriva rotationsrörelsen är attintroducera en rotationsvektor ω, definieradav uttrycketω = ωe Adär e A är en enhetsvektor längs rotationsaxeln.Ae Aω∆VPi P6V θRotationsriktningen, tecknet på vinkelhastighetenω och riktningen hos e A ärrelaterade till varandra enligt skruvregeln.Rotationsrörelsen innebär att spetsen hosden roterande vektorn V beskriver en cirkelkring rotationsaxeln. Av figuren framgår attcirkelns radie är V sin θ, där V är beloppet avV ,ochθär vinkeln mellan vektorerna ω ochV . Under tidsintervallet ∆t vrider sig vektornV såattdenfår tillskottet ∆V . Tidsderivatanav V definieras somdVdt = lim ∆V∆t→0 ∆toch man inser att detta blir en vektor somtangerar cirkeln och är vinkelrät mot ω ochV .Igränsen då ∆t→0gäller att|∆V |→|ω∆tV sin θ|och tidsderivatans belopp ges alltså avdV∣dt∣ = lim∆V∆t→0 ∣ ∆t ∣ = |ωV sin θ|Kombinerar vi detta med ovanstående argumentom riktningen hos derivatan finner viatt resultatet kan skrivas som en vektoriellprodukt:dVdt = ω × VDetta gäller alltså för varje roterande vektor,inklusive basvektorerna e ξ , e η och e ζ .Vi kan nu beräkna de olika bidrag tillhastigheten och accelerationen som definieradesi avsnitt 1. För medföringshastighetenfinner vi t ex med Ṙ =0:v med = ξė ξ + ηė η + ζė ζ + Ṙ == ξω × e ξ + ηω × e η + ζω × e ζ == ω × (ξe ξ + ηe η + ζe ζ )där termerna inom parentes i sista ledetigenkänns som komponentframställningen avden relativa lägevektorn ρ. Resultatet bliralltsåv med = ω × ρPå samma sätt kan vi gå vidareochberäknahögre derivator. För andraderivatan avbasvektorn e ξ finner vi t exë ξ = dωdt × e ξ + ω × (ω × e ξ )där vi tagit hänsyn till att rotationsvektornω kan vara tidsberoende. Såväl vinkelhastighetensom rotationsaxelns riktning kanändras med tiden.

Relativ rörelse 8 – 8kring en vertikal axel med den konstantavinkelhastigheten ω. På skivanfinns en partikel med massan m, varsrörelse vi vill undersöka. Om vi inför ettroterande koordinatsystem med ξ-axelnoch η-axeln i skivans plan finner vi attη6F-ξη6ω = ωe ζρa rel = ¨ξe ξ +¨ηe η-ξa med = ω × (ω × ρ) =−ω 2 ρe ξ e η e ζa cor = 2ω ×v rel =2ω0 0 1∣ ξ˙˙η 0 ∣= 2ω(−˙ηe ξ + ξe ˙ η )Rörelseekvationerna i komponentformblir såledesm(¨ξ − 2ω ˙η − ω 2 ξ) = F ξm(¨η +2ω˙ξ−ω 2 η) = F ηDessa kan sedan studeras i olika specialfall.Man kan t ex bestämma den kraftsom krävs för att partikeln skall vara ivila relativt skivan, vilket innebär att ξoch η skall vara konstanta. Man finnerdåF ξ = −mω 2 ξF η = −mω 2 ηvilket är den centripetalkraft som enligtobservatören på karusellen krävs föratt kompensera den utåtriktade centrifugalkraften.En annan tänkbar rörelse är att partikelnrör sig utåt längs ξ-axeln med den konstantafarten v rel relativt skivan, vilketbetyder att η = ζ = 0, ˙ξ = v rel och˙η =0. Mankantextänka sig att partikelnglider i ett spår på skivan. Denkraft som krävs för att realisera en sådanrörelse ges avF ξ = −mω 2 ξF η = 2mωv relEn observatör som följer med skivan idess rotation skulle kunna beskriva situationengenom att säga att det krävsdels en kraft in mot centrum för attkompensera centrifugalkraften, dels enkraft åt vänster för att kompensera denåt höger verkande corioliskraften. Fören observatör utanför skivan existeraremellertid varken centrifugalkraft ellercorioliskraft. Han ser helt enkelt en partikelsom rör sig i en spiralformad banaunder inverkan av en kraft med komponenternaF ξ och Fη enligt ovan.Ett annat intressant specialfall är attpartikeln är fritt rörlig på skivan menbromsas av en glidfriktion med friktionstaletf. Friktionskraften är motriktadden relativa hastigheten och ges av uttrycketF = −fmg v rel|v rel |vilket efter komponentuppdelning ochinsättning i ovanstående rörelseekvationerleder till ett mycket komplicerat

Relativ rörelse 8 – 9system av differentialekvationer, som viinte kan lösa analytiskt.8.5 Det allmänna falletRörelsen hos ett godtyckligt koordinatsystembestår dels i att origo flyttar sig, delsi att koordinataxlarna ändrar riktning. Origosrörelse kan vi alltid beskriva med hjälpav en translationsvektor R(t). Man frågarsig om koordinataxlarnas rörelse på liknandesätt alltid kan beskrivas med hjälpavenrotationsvektorω(t). Svaret är ja, vilket vi nuskall bevisa. Vi börjar med att konstatera arrtidsderivatan av en godtycklig vektor själv ären vektor, som kan delas upp i komposanterlängs basvektorerna e ξ , e η och e ζ . Alltså kanvi alltid skrivaOe ze x6-@ e y@@@@@@@Re ζeAKηA R(t)AAAH- ω(t)Ω HHHje ξvilket leder till slutsatsen att a 11 = 0. Påsamma sätt ser vi att a 22 = a 33 =0. Vidaregäller att hur än basvektorerna vrider sigsåmåste de förbli ortogonala mot varandra.Alltså gäller t ex atte ξ · e η =0vilket efter derivering m a p tiden gerė ξ · e η + e ξ · ė η =0Insättning av komposantframställningen förė ξ och ė η ger nu sambandetoch på samma sätta 12 = −a 21a 23 = −a 32a 31 = −a 13Endast tre av koefficienterna a ij är alltsåoberoende av varandra. Vi kan sammansättadessa till en vektor ω genom definitionenω = a 23 e ξ + a 31 e η + a 12 e ζoch vi finner då attė ξ = ω×e ξė ξ = a 11 e ξ + a 12 e η + a 13 e ζė η = a 21 e ξ + a 22 e η + a 23 e ζė ζ = a 31 e ξ + a 32 e η + a 33 e ζdär koefficienterna a 11 ,a 12 , etc är tills vidareokända storheter. De kan emellertid inte se uthur som helst, eftersom basvektorerna måsteuppfylla vissa villkor. För det första är deenhetsvektorer, vilket t ex innebär atte ξ · e ξ =1Deriverar vi denna likhet m a p tiden finnervi attė ξ · e ξ =0ė η = ω×e ηė ζ = ω×e ζvilket visar att koordinataxlarna utför rotationsrörelsebestämd av vektorn ω. Noteraatt inget hindrar att koefficienterna a ij ochdärmed rotationsvektorn ω är tidsberoende.Vikannumedutgångspunkt från definitionernai avsnitt 1 skriva ner de allmännauttrycken för medförningsaccelerationen ochcoriolisaccelerationen för ett koordinatsystemmed godtycklig rörelse:a med =dω¨R + × ρ + ω × (ω × ρ)dta cor = 2ω ×v rel

Relativ rörelse 8 – 10Exempel: Ett tåg passerar en plan, horisontellkurva med radien b och retarderas såatt farten varierar enligtv = v 0 − ctdär c och v 0 är konstanter. Införett rörligt koordinatsystem med ζ-axelnvertikalt uppåt och ξ-axeln i tågetsrörelseriktning. Bestäm medföringsaccelerationenoch coriolisaccelerationenför en partikel i tåget som befinner signära origo!Vi har atte ηOb6-e ξω = v b e ζ = v 0 − cte ζbR = −be ηv rel = ξe ˙ ξ +˙ηe η +˙ζe ζFör att beräkna medföringsaccelerationenbildar vi först derivatorna av R,som ju är en roterande vektor:Ṙ = ω × R¨R = dω × R + ω × (ω × R)dtMedföringsaccelerationen kan alltså skrivasa med = dωdt× (R + ρ)+ω×[ω×(R+ρ)]sidan av R, och en explicit beräkning gerdåa med = −ce ξ + v2b e ηCoriolisaccelerationen blire ξ e η e ζv a cor =20 0 b=2 v∣ ξ˙˙η ˙ζ ∣b (−˙ηe ξ+˙ξe η )För en partikel i fritt fall som endastpåverkas av tyngdkraften blirrörelseekvationernam(¨ξ − 2 v ˙η − c)b= 0m(¨η +2 v ξ+b ˙ b ) = 0m¨ζ = −mgAlternativt kan man skriva de två förstaekvationerna somm¨ξ = m(2 v ˙η + c)bm¨η = −m(2 v ξb ˙ + v2b )där termerna i högerledet representerarfiktivkrafter.8.6 Tillämpning på rörelse relativtjordenVi skall nu tillämpa den allmänna teorin påett koordinatsystem som är fixerat i jorden.Låt oss lägga origo på jordytan, ξ-axeln åtöster,, η-axeln åt norr och ζ-axeln vertikaluppåt.ωαOη@I@R ζEftersom partikeln förutsätts vara näraorigo kan vi försumma vektorn ρ vid

Relativ rörelse 8 – 11där α är vinkeln mellan jordaxeln och den vertikalaRotationsvektorn för koordinatsystemet ärω = ωsin αe η + ω cos αe ζ deras summa vi normalt mäter när vi väger endensamma som för jorden, d v s den är riktadlängs jordaxeln från sydpolen mot nordpolenζ-axeln och alltsåbestäms av latitudenför punkten Ω. Vi finner då attoch har en storlek svarande mot 2π radianerper dygn. Egentligen är rotationsvek-e ξ e η e ζtorn inte exakt konstant, utan både stor-a cor =2ω×v rel =2ω0 sinα cos α=lek och riktning fluktuerar en smula, men∣ ˙ξ ˙η ˙ζ ∣[fluktuationerna är helt försumbara i detta 2ω ( ˙ζ sin α − ˙η cos α)e ξ + ˙ξ cos αe η − ˙ ]ξ sin αe ζsammanhang. Koordinatsystemets translationsrörelsebeskrivs av vektorn R från jordensmedelpunkt O till vårt rörliga origo Ω.Medföringsaccelerationen kan alltså skrivasa med = ¨R + ω × (ω × ρVi kan nu skriva ner accelerationslagen, ochvi väljer att ta hänsyn till koordinatsystemetsrörelse genom att införa fiktiva krafterihögerledet:ma rel = F + F med + F corVektorn R utför ren rotationsrörelse, och vifinner alltså dess tidsderivator genom upprepaddärvektoriell multiplikation med rota-tionsvektorn, vilket leder tillF med = −ma med = −m ¨Ra med = ω × [ω × (R + ρ)]Vid rörelse nära punkten Ω kan vi försummaρ ijämförelse med R, såattF cor = −ma cor = −2mω × v rel6Sa med = ¨R = ω × (ω × R)-Detta är en centripetalacceleration riktad in F medmot jordaxeln. Den är störst vid ekvatorn ochblir noll vid polerna.W ?ωLåt oss först betrakta en partikel som hängerientråd och befinner sig i vila relativt jorden.e ηDe krafter som verkar utöver den fik-@Ie ζ@αtiva centrigugalkraften F med är kraften S ilinan och tyngdkraften W . Vi får alltså@@jämviktsvillkoretS + W + F med =0För att beräkna coriolisaccelerationen vilket visar att linkraften S måste kompenserautgår vi från uttryckensåväl tyngdkraften W som centrifu-v rel = ξe ˙ ξ +˙ηe η +˙ ζe ζgalkraften F med . I själva verket har vi ingenmöjlighet att skilja dessa två åt, utan det är

Relativ rörelse 8 – 12kropp eller bestämmer vertikallinjen med ettlod. Vi sammanför dem därför till en effektivtyngdkraftW eff = W + F med = W − m ¨RDet är denna effektiva tyngdkraft somdefinierar den vertikala ζ-riktningen och vikan därför skrivaW eff = −mge ζdär g som vanligt betecknar accelerationenvid fritt fall. Denna varierar något mellanolika punkter på jordytan, främst just föratt den innehåller ett bidrag från centrifugalkraften.Det är dock ganska kompliceratatt beräkna variationen, eftersom man måsteta hänsyn till att jordens form av samma skälblir något tillplattad.är eliminerade. Betrakta för den skull enpartikel som glider på ett glatt horisontalplan.Då gällerm¨ξ = 2mω ˙η cos αm¨η = −2mωξ ˙ cos αEfter integration m a p tiden ger dettam ˙ξ = 2mω(η − η 0 )cosαm˙η = −2mω(ξ − ξ 0 )cosαdär η 0 och ξ 0 är integrationskonstanter.Genom att eliminera η finner vi sedan¨ξ +(2ωcos α) 2 (ξ − ξ 0 )=0Den allmänna lösningen till denna differentialekvationär6dSW eff?ξ = ξ 0 + R 0 cos(2ωt cos α + θ 0 )där R 0 och θ 0 är integrationskonstanter.Ur ekvationen för η fås vidareη = η 0 − R 0 sin(2ωt cos α + θ 0 )Accelerationslagen kan nu skrivasma rel = F + W eff + F cordär F stårför alla pålagda krafter utöver tyngdkraften.På komponentformfår vi ekvationernam¨ξ = F ξ − 2mω( ˙ζ sin α − ˙η cos α)m¨η = F η − 2mω ˙ξ cos αm¨ζ = F ζ − mg +2mωξ ˙ cos αExempel: För att illustrera hur corioliskraftenpåverkar rörelsen skall vi studeraett enkelt exempel, där alla andra krafterVi ser nu att partikeln rör sig i encirkelformig bana med ekvationen(ξ − ξ 0 ) 2 +(η−η 0 ) 2 =R 2 0Omloppsriktningen bestäms av tecknetpåcosα. Man övertygar sig lätt om attbanan genomlöpsmedurspå norra halvklotet,där cos α > 0. På södra halvklotetgäller motsatsen. Partikeln uppförsig alltså som om den påverkades av enkraft riktad åt höger på norra kalvklotetoch åt vänster på södra halvklotet.Detta är naturligtvis inget annat än horisontalkomponentenav corioliskraften.

Relativ rörelse 8 – 13ηη 06'$&%@@I R 0ξ 0-ξBanradien R 0 beror av partikelns hastighet.Ur ovanstående ekvationer finner vilätt attvrel 2 = ˙ξ 2 +˙η 2 =R 2 0 (2ω cos α)2vilket alltså gerR 0 =v rel∣2ω cos α ∣Antag t ex att v rel = 10 m/s och cos α =0.7. Med ω =2π(24 · 3600) −1 rad/s fåsradien R 0 =10 5 m = 10 mil.För normala hastigheter blir banradienmycket stor, vilket återspeglar att corioliskraftenär mycket liten. Den kantrots detta spela en väsentlig roll vidstorskaliga rörelser. En blick på enkartaöver strömmarna i världshaven räckerför att man skall se att de tenderar attcirkulera medurs på norra halvklotet ochmoturs på södra halvklotet. För vindarnakring ett lågtryck spelar krafterfrån tryckskillnader en väsentlig roll.