Relativ rörelse

Relativ rörelse 8 – 6i mittpunkten. Ett annat exempel är ett koordinatsystemfixerat i jorden med origo i jordensmedelpunkt.'$ ξη@I &%@@ωVillkoret att origo är fixerat innebär atttidsderivatorna av R försvinner ur uttryckenför hastighet och acceleration. Basvektorernae ξ , e η och e ζ är däremot tidsberoende, ochvi behöver finna uttryck för deras tidsderivator.För den skull börjar vi med det meraallmänna problemet att finna tidsderivatan aven vektor V , som roterar kring en axel A medvinkelhastigheten ω. Ett bekvämt sätt attmatematiskt beskriva rotationsrörelsen är attintroducera en rotationsvektor ω, definieradav uttrycketω = ωe Adär e A är en enhetsvektor längs rotationsaxeln.Ae Aω∆VPi P6V θRotationsriktningen, tecknet på vinkelhastighetenω och riktningen hos e A ärrelaterade till varandra enligt skruvregeln.Rotationsrörelsen innebär att spetsen hosden roterande vektorn V beskriver en cirkelkring rotationsaxeln. Av figuren framgår attcirkelns radie är V sin θ, där V är beloppet avV ,ochθär vinkeln mellan vektorerna ω ochV . Under tidsintervallet ∆t vrider sig vektornV såattdenfår tillskottet ∆V . Tidsderivatanav V definieras somdVdt = lim ∆V∆t→0 ∆toch man inser att detta blir en vektor somtangerar cirkeln och är vinkelrät mot ω ochV .Igränsen då ∆t→0gäller att|∆V |→|ω∆tV sin θ|och tidsderivatans belopp ges alltså avdV∣dt∣ = lim∆V∆t→0 ∣ ∆t ∣ = |ωV sin θ|Kombinerar vi detta med ovanstående argumentom riktningen hos derivatan finner viatt resultatet kan skrivas som en vektoriellprodukt:dVdt = ω × VDetta gäller alltså för varje roterande vektor,inklusive basvektorerna e ξ , e η och e ζ .Vi kan nu beräkna de olika bidrag tillhastigheten och accelerationen som definieradesi avsnitt 1. För medföringshastighetenfinner vi t ex med Ṙ =0:v med = ξė ξ + ηė η + ζė ζ + Ṙ == ξω × e ξ + ηω × e η + ζω × e ζ == ω × (ξe ξ + ηe η + ζe ζ )där termerna inom parentes i sista ledetigenkänns som komponentframställningen avden relativa lägevektorn ρ. Resultatet bliralltsåv med = ω × ρPå samma sätt kan vi gå vidareochberäknahögre derivator. För andraderivatan avbasvektorn e ξ finner vi t exë ξ = dωdt × e ξ + ω × (ω × e ξ )där vi tagit hänsyn till att rotationsvektornω kan vara tidsberoende. Såväl vinkelhastighetensom rotationsaxelns riktning kanändras med tiden.