üç boyutlu bouguer anomalisinin türev kullanılmadan yeni bir

ÜÇ BOYUTLU BOUGUER ANOMALİSİNİN TÜREV KULLANILMADAN
YENİ BİR YÖNTEMLE HESAPLANIŞI
Hasan CAVŞAK 1
cavsak@ktu.edu.tr
Öz: Bilim Dünyasında genel anlamda bir büyüklüğün istenen bir yöndeki gradienti,
yani değişimi, o yönde alınan türevle saptanır. Bu yöntem, zaman zaman çok çok
uzun ve karmaşık hesaplar gerektiren ve dolayısıyla uzun hesap zamanı yanında,
küçümsenmeyecek bilgisayar yuvarlatma hatalarınada neden olan bir yöntemdir.
Yeni yöntemde ise, türev işlemine gerek görülmeden, yepyeni bir algoritma
kullanılarak, bu değişim hesaplanacaktır.
Bu çalışmada gelişigüzel şekilli üç boyutlu kütleler, yüzeyleri üçkenlerle
tanımlanarak, bunların gravite tesiri hesaplanmaktadır. Her üçkenle hesap noktası
arasında oluşturulan kütlenin skalar gravite potansiyel anomalisi U, koordinat
sistemi içerisinde vektörel işlemler yapılarak, uygun koordinat çevirmeleriyle belli
pozisyona getirilerek integre edilmektedir. Bunun düşey yöndeki değişimi,
∂U/∂z=g yi hesaplamak için tekrar eski karteziyen koordinatlara dönülmesi
gerekmektedir. Netice toplama halinde iki kısımdan oluşmaktadır. Bunlardan ilk
kısım oldukça kısa, ama diğer ikinci kısım ise oldukça uzun ve karışık olup birçok
parametreden oluşmaktadır. İlk ve ikinci kısımların birbirlerine eşit oldukları tesbit
edildiğinden, gravite tesirinin hesabında düşey yönde türevi içeren, ikinci kısımın
kullanılmasına gerek görülmemiştir.
Giriş
Gravite anomalisinin hesaplanması için, üç boyutlu gelişigüzel bir kütlenin, çokgen yüzey yaklaşımıyla
tanımlanması en etkili bir yaklaşımdır. (Holsteiner Rind et al., 1999, Holsteiner Rind, 2002). Yani kütle yüzeyi
üçken yüzeylerle tanımlanmıştır. Burada, bu üçkenlemeyi ve integrasyonu gerçekleştiren bir fortran programı
geliştirilmiştir (Çavsak, 1992). Bu çalışmada bu proğramın, kesin bir şekilde gravite tesirini hesapladığını
göstermesi amaçlanmıştır. Burada, koordinat dönüşümü ve vektöriel işlemlerin tam anlamıyla kullanılabilmesi
ve gravite potansiyelinin U analitik çözümü ve düşey yöndeki türevinin g hesaplanması için bir taslak model
çalışması yapılmıştır. Düşey yöndeki türev g=∂U/∂z hesabı, eski koordinat sistemi x-y-z ye geri dönülmesini
gerektirmekte ve bu durumda, birbirinden tamamen ayrı biri kolay ama diğeri çok zor iki analitik kısım
oluşmaktadır. Eğer nümerik olarak hesaplar yapılacak olursa, şaşılacak bir şekilde bu iki analitik kısım bir birine
eşit çıkmaktadır. Bu durumda karışık ve uzun olan kısmı kullanmak gerekmemektedir. Kısa ve basit olan kısım
gravite tesirinin g hesabını hem hızlı bir şekilde yapabilmekte ve hemde sayısal hesap hassasiyetini
yükseltmektedir. Nümerik olarak doğruluğu kanıtlanan bu eşitliğin nedeni analitik olarak henüz tam anlamıyla
bulunamadı. Bu çalışmayla bu gerçeğin doğruluğu nümerik olarak test edilerek, kanıtlanmış ve ilgilenenler
bunun doğruluğunu, analitik yolla araştırmaya davet edilmişlerdir.
Kullanılan Yöntem
Gravite anomalisinin hesaplanması için, üç boyutlu gelişigüzel kütleler, çokgen yüzey yaklaşımıyla
tanımlanmıştır. Burada, bu üçkenlemeyi ve integrasyonu gerçekleştiren bir fortran programı geliştirilmiştir
(Çavsak, 1992). Bu çalışmada bu proğramın, kesin bir şekilde gravite tesirini hesapladığını göstermesi
amaçlanmıştır. Burada, koordinat dönüşümü ve vektöriel işlemler kullanılmıştır
Gravite Potansiyelinin Düşey Yöndeki Türevi
Amaç üç boyutlu gelişigüzel kütleler, yüzeyleri gereken sıklıkta üçkenlere bölünerek, çok yüzeyli geometrik bir
şekil olarak tanımlayabilmektir. Bu yöntem diğer geometrik yaklaşımlarla kütle tanımlamalarından çok daha
hassas ve kolaydır. Çok yüzeyli geometrik şeklin yüzeyinde tanımlanan üçkenlerle, hesap noktaları arasında
oluşturulan üçken Prizmalar, hesaplarda ayrı ayrı modeller olarak gözönüne alınırlar ve bütün yüzeyi kaplayan
1 Karadeniz Teknik Üniversitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Trabzon

u prizmaların tamamı, ana kütleyi oluştururlar. Arzu edilen gravite anomaliside işte bu prismalara ait
hesaplanan anomalilerin toplamıdır. Bu hesaplarda önemli olan, hesap noktalarının üçkenleri kütle dışından
(eksi) yada iç tarafından görmesine göre (artı) bir yönün kabul edilmesidir.
Eğer hesap noktası O’ nun, kütle yüzeyindeki üçkenlerin tamamıyla oluşturduğu üçken piramitlerin hepsi
hesaplara dahil ediliyorsa, sonuçlar doğrudur. Başlangıç kordinat sistemi
x-y-z olarak alınmıştır. Burada z gravite doğrultusu yani, düşey yönü gösterir. Üçken bu koordinat sistemi
içerisinde gelişigüzel bir pozisyonda durmaktadır. Bu sistem içinde integral almak oldukça güçtür. Bu nedenle
bir koordinat dönüşümü yapılmıştır . Böylece üçkenler yeni koordinat sistemi içerisinde eksenine
paralel hale getirilirken, bir kenarıda (AB) .-eksenine paralel yapılmıştır. Bu dönüşüm vektöriel işlemlerle
gerçekleştirilmiştir. (Şek.1):
The height of the tetrahedron ( 0ABC )
B
0
r
A
h =
max
A
C
Şekil 1 Yeni Kordinat Sistemi İçinde Üçkenin Pozisyonu
OA = r max
Şekil 2 Integral Hesapları İçin Parametreler
OA = A
OB = B
OC = C
ξ
η
A
A
= A
= A
X
X
X
X
X
i + A
i + B
Y
Y
j + A
j + B
Z
Z
k
k
i + CY
j + CZk
⋅ ξˆ
+ A ⋅ ξˆ
X
⋅ ηˆ
X
+ A
Y
Y
Y
⋅ ηˆ
Y
+ A
ζ A = A X ⋅ ζˆ
ˆ ˆ
X + A Y ⋅ ζ Y + A Z ⋅ ζ Z
( ξ B , ηB, ζB
) ve ( ξ C , ηC, ζC
) ayni şekilde tanımlanır
Z
+ A
Z
⋅ ξˆ
Z
⋅ ηˆ
Z
(1)
'
'
'
O noktasında birim hacım dV = dξ
⋅dη
⋅dζ
için U gravite potansiyelinin analitik çözümü. (Şekil 2).
r
Thales teoremine göre h = ζmax
,
r
2
ζ
dV = ⋅dξ⋅dη⋅dζ
2
h
,
max
'
'
dξ
dη
ζ
= = = , (2)
dξ
dη
h

2
2
1
2 2 2
ζ ⋅ ( ξ + η + h )
r
2
max = ( ξ + η + h ) , and r =
h
A dan C ye kadar (1) () ve (2) () kenarları arasındaki integrasyon. burada üçken piramitin
yüksekliğidir ve h ile gösterilmiştir.
η B
(1)
ξ
2
1
2
η
G ⋅ρ
∆U =
h
η
C
∫
A
ξ
ξ
(2)
∫
(1)
ζ
h
∫
ζ ⋅ dζ ⋅ dξ ⋅ dη G ⋅ ρ ⋅ h dξ ⋅ dη
=
1 2 ∫ ∫
2 2
( ξ + η +
2
h ) η (1) 2 2
A ξ ( ξ + η +
2
h )
= 0 2
η
C
ξ
(2)
1
2
(3)
(2)
ξ
dξ
∫ 2 2 2
( + η + h )
(1) ξ
ξ
ve
A
B
1/ 2
= ln ξ
2 2 2 1/ 2
[ + (ξ + η + h ) ]
(2)
η = η olsunlar ( Şekil 1). ξ için:
ξ
ξ
(2)
=
(1)
=
ξ
ξ
2+
1+
η⋅tanβ
η⋅tanα
∆U =
G ⋅ ρ
2
η
∫
η
C
A
⎧
G ⋅ ρ ⋅ h
⎡
⎪
= ⎨η
⋅ ln⎢
2 ⎢ ⎪⎩ ⎣
2 2 2
ln [( ξ
2
+ η ⋅ tan β ) + ( ξ
2
+ η ⋅ tan β ) + η + h ]
() 2
ξ ξ
() 2
+
⎤
2 2
+ η + h ⎥
⎥
⎦
⎡ 2
()
η
⎤
ξ β ⎢
2 2 2
+ ⋅cos
⋅ln
ξ + η + h + + ξ ⋅sin
β ⎥
2 ⎢
cos β 2 ⎥
⎣
⎦
η
⎡
⎤⎫
C
2
⎢ h ⋅ tan β −ξ
⋅η
⎥⎪
2
+ ζ ⋅arctan⎢
⎥⎬
⎢ 2
(2) 2 2
⎥⎪
⎢⎣
h ⋅ ξ + η + h ⎥⎦
⎪⎭
η
() 1
ξ
içinde işlemler aynıdır.
Üçgen prismanın tamamı için OABC (Şekil 1)
∆U
dir.
G ⋅ρ
⋅ h ⎧
⎨F1⎜
⎛η
2 ⎩ ⎝
2
A
() 2
( 2) () 1
⎟⎞
− F2⎜⎛
η
⎠ ⎝
⎟⎞
− F3 η
⎠
⋅d η =
( , ξ ) F4 η , ξ
() 1
+ ⎜⎛
= , ξ
, ξ
⎟
(4)
C
A
C
A
⎝
⎞
⎠⎭ ⎬⎫
() 1
ξ
ve
= ξ
1
+ η⋅ tan α
ve for
η = ηC , () 1 ( 2)
ξ = ξ = ξ
C

( 2)
ξ = ξ + η⋅ tanβ
ve for η = ηA , ( 1)
ξ = ξ
2
Aşağıdaki gibi yazabiliriz
ξ2 = ξC
− ηC
⋅ tanβ
, ξ1
= ξC
− ηC
⋅ tan α
ξ − ξ ξ
A C
C
− ξB
tan α = , tanβ =
olsun.
η − η η − η
A
C
C
B
A
ve
( 2)
ξ = ξ
B
(4) eşitliğide aynı şekilde yazılabilir :
{ F1( η , ξ ) − F2( η , ξ ) − F3( η , ξ ) F4( η , ξ )}
G ⋅ρ⋅h
∆U +
2
=
C C A B C C A A
(5)
Aşağıda tamamı yazılan eşitlik oldukça karışıktır.
1 ⎧ ⎡
2 2 2
∆U
= G ⋅ρ ⋅ ζ ⋅ ⎨η
⎤
C
⋅ ln ξC
+ ξC
+ ηC
+ ζ + ξ2
⋅ cosβ ⋅
2 ⎩ ⎢⎣
⎥⎦
⎤
⎥
⎢ ⎢ ⎡ 2
⎡ 2 2 2 ηC
⎤
ζ ⋅ tanβ − ξ2
⋅ ηC
ln⎢
ξC
+ ηC
+ ζ + + ξ2
⋅sinβ⎥
+ ζ ⋅ arctan
⎣
cosβ
2 2 2
⎦
⎥
⎣ζ ⋅ ξC
+ ηC
+ ζ ⎦
− η ⋅ ⎡
2 2 2
ξ + ξ + η + ζ ⎤
A
ln
B B A
− ξ2
⋅ cosβ ⋅
⎢⎣
⎥⎦
⎡
η
⎤
⎡ 2
ζ ⋅ β − ⋅
⎤
2 2 2 A
tan
⎢
ξ2
ηA
ln⎢
ξ + η + ζ + + ξ ⋅ β⎥
− ζ ⋅
⎥
B A
2
sin arctan
⎣
cosβ
⎦ ⎢ 2 2 2 ⎥
⎣ζ ⋅ ξB
+ ηA
+ ζ ⎦
− η
⎡
ln⎢
⎣
+ η
⎡
ln⎢
⎣
C
A
⋅ ln⎡ξ
⎢⎣
ξ
⋅ ln⎡ξ
⎢⎣
ξ
2
C
2
A
C
+ η
A
+
+ η
2
C
+
2
A
ξ
2
C
+ η
2
C
+ ζ
2
⎤ − ξ1
⋅ cosα ⋅
⎥⎦
⎡
2 ηC
⎤
ζ
+ ζ + + ξ
⎢
1⋅sin
α⎥
− ζ ⋅ arctan
cosα
⎦ ⎢
⎣ζ ⋅
2 2 2
ξ + η + ζ ⎤
A A
+ ξ1
⋅ cosβ ⋅
⎥⎦
η
⎡
2 A ⎤
ζ
+ ζ + + ξ ⋅ α ⎢
1
sin
α
⎥
⎦
+ ζ ⋅ arctan
cos
⎢
⎣ζ ⋅
2
2
⋅ tan α − ξ ⋅ η
ξ
⋅ tan α − ξ ⋅ η
ξ
2
C
2
A
+ η
+ η
1
2
C
1
2
A
C
+ ζ
A
+ ζ
2
2
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤⎫
⎥⎪
⎬
⎥
⎦⎪
⎭
(6)
Gravite Tesirinin Hesaplanması
Çok yüzeyli gelişigüzel kütlenin gravite tesiri, gravite potansiyelinin düşey yöndeki türevi ile verilir .
∂
g = ( ∆U )
∂z
∆ (7)
Tekrar ilk koordinat sistemine dönülerek, A , A , A vs. x,y,z parametreleriyle değiştirilir(Şekil 1).

ξ
η
ζ
A
A
A
= A
= A
= A
A
X
X
X
⋅ ξˆ
⋅ ζˆ
X
⋅ ηˆ
B
X
X
+ A
+ A
+ A
C
Y
Y
Y
⋅ ξˆ
⋅ ζˆ
Y
⋅ ηˆ
Y
Y
+ A
+ A
Z
+ A
Z
Z
⋅ ξˆ
⋅ ζˆ
Z
⋅ ηˆ
ζ = ζ = ζ = ζ ve η A = ηB
ξ
B
ξ C
η
C
= B
= C
= C
X
X
X
⋅ ξˆ
⋅ ξˆ
⋅ ηˆ
X
X
X
+ B
+ C
Y
+ C
Y
Y
⋅ ξˆ
⋅ ξˆ
⋅ ηˆ
Y
Y
Y
Z
Z
Z
+ B ˆ
Z ⋅ ξ Z
+ CZ
⋅ ξˆ
Z
+ C ⋅ ηˆ
Z
Çok çok uzun olan eşitliği burada yazmıyoruz. Ama aşağıda, kısaltılmış olarak Eşitlik 6’dan türetilen formülü
yazıyoruz.
1
( 2)
() 1
∆ = ⋅ ρ ⋅ ζ ⋅{ ( η ξ ) − ( η ξ )} η C
U G (x, y, z) F (x, y, z) , (x, y,z) F (x, y, z) , (x, y, z)
2
ηA
( 2)
() 1
= { ( η ξ ) − ( η ξ )} η C
Y F (x, y,z) , (x, y,z) F (x, y,z) , (x, y,z) Bu kısaltma kullanılarak:
η
1
∆ U = G ⋅ρ⋅{ ζ ⋅ Y}
(8)
2
Yani çok uzun olan eşitlik yukarda Y ile tanımlanarak, aşağıdaki formul kısaca yazılabilir.
∂ 1 ⎧ ∂ ∂ ⎫
∆g = ( ∆U) = G ⋅ρ ⋅ ⎨ ( ζ) ⋅ Y + ( Y)
⋅ ζ⎬
(9)
∂z
2 ⎩∂z
∂z
⎭
Aşağıda
A
∂
∂z
∂
∂z
( Y) = Y
′
( ζ) = ζ ˆ z
(Çok çok daha uzun ve karışık olan bu eşitlik. Burada gösterilmiyor)
(10)
ζˆ Üçkene dik olan birim vektörün z-bileşeni
z
r
ˆ ζ r r r
ζ = = ˆ ζ i + ˆ ζ j ˆ ζ k
ζ x y
+ Eşitlik 9’dan
z
∂
∂z
1
2
( ∆U) = G ⋅ρ⋅{ ζˆ
⋅ Y + Y′
⋅ ζ}
yazabiliriz
Şimdi önemli olan iddia aşağıdaki gibi tanımlanır
z (11)
$
∂
∆ = ⋅ρ⋅ ζˆ
z ⋅
∂z
ve bundanda, aşağıdaki eşitlik yazılır:
z Y Y and ( U ) G Y
(12)

∂
∂z
⎛ ζ ˆ
( ) ⎜ z
∆U
= 2 ⋅ ∆U
⋅
⎟ ⎝ ζ ⎠
⎞
(13)
Gravite potansiyeli U analitik olarak integre edildiğinden, bu kullanılmakta olup ve eşitlik 11 de görülen sağ
taraftaki parametre Y' nün bulunduğu kısmın kullanılmasına gerek kalmamaktadır. Yukarda eşitliğin sağ
kısmının biriminin m/s 2 olduğuna dikkat ediniz. Çünkü eşitlik (13) deki birim vektör ˆζ z nin birimi m/m=1 dir.
Sonunda yüzeyine n-tane üçken prisma oturtularak tanımlanan çok yüzeyli kütlenin gravite potansiyeli i indisi
kullanılarak, aşağıdaki gibi yazılabilir.
n
∆U
= ∑ ∆
i=
1
U i
Nümerik Bir Örnek
Boyutları (a 3 = 1x1x1m 3 , yoğunluğu 1000 kg/m 3 ) olan bir küb için hesab hassasiyet ve güvenirliliğini test etmek
amacıyla, üçken yüzeylerle tanımlanmış çok yüzeyli bir kütlenin gravite anomalisini hesaplayan bir fortran
proğramı yazıldı. Bu küb için hesaplanan gravite değeri, kütlesi bu kübün kütlesine eşit olan ve kübün
merkezine, hesap noktası O’dan r kadar uzaklıkta olacak şekilde oturtulan nokta kütlenin hesaplanan gravite
anomalisiyle karşılaştırıldı.
⋅ 10 −18 mGal
Aradaki benzerlik dikkat çekmektedir. r = 100 km (a/r = 10 –5 ) için her iki hesap arasındaki fark 5
kadar, yada rölatif hata 10 -5 −6
kadardır. r = 500 km (a/r = 2 ⋅10
) için hata miktarı 9 ⋅10 −17 mGal kadar yada
rölatif hata 0.003 kadardır ve aynı şekilde r = 1000 km (a/r = 10 –6 −6
) için ise toplam hata yaklaşık 2 ⋅ 10
mGal’e kadar çıkmaktadır, yani relatif hata >2% olmaktadır. Bu durum dikkat çekici hassas bir yaklaşımdır.
−6
Elbette, nokta kütle üzerinden r = 500 ve 1000 kilometre yukarıda, yada küb alınması durumunda 2 ⋅ 10 ile
−6
1⋅ 10 olan a/r oranı için, gerçek ve hatta relatif hatanın bu kadar değişmeleride açıktır.
Elbette yuvarlatılan bu sayısal hata oranları güvenilip kabul edilebilirler. 10 15 adet 1x1x1 m 3 ten oluşan
100x100x100 km 3 lük bir model çok büyük yuvarlama hatalarına sebep olabilir. Ama küblerin büyüklüklerinin
artırılmasıyla bu hatalar yeteri kadar küçültülerek pratikte bu yöntemin kullanılmasında sakınca oluşturmazlar.
Yukarda konu edilen her şey proğramlandı ve bunların nümerik hesaplarda kullanılması çok daha az hassas
neticler verdi. Örneğin r =100 km için, 10-13 mGal yada relatif olarak % 20 hata.
Sonuçlar ve Özet
Çok yüzeyli kütlelerin ve üçken piramitlerin gravite anomalisini hesaplamak için tanımlanan formüller,
yukarıdaki iki kısmın birbirine eşitliğinin kullanılmasıyla, basit bir şekilde ifade edilebilirler. Bunlardan birisi
daha kısa ve basit, diğeri ise daha uzun ve karışıktı. Avantaj ortada durmaktadır. Neticeler dikkat çekecek kadar
daha hassastır. Bu çok küçük bir kübün, hesap noktası O’dan çok çok uzakta olan bir noktadaki gravite etkisiyle
gösterildi. Karşık şekilli modeller, üçkenleme yaklaşımıyla tanımlanabilirler. Birçok test hesapları tanımlanan bu
algoritmanın hassas neticeler ürettiğini göstermiştir.
KAYNAKLAR
1. Çavşak, H.: Dichtemodelle für den mitteleuropäischen Abschnitt der EGT aufgrund der gemeinsamen
Inversion von Geoid, Schwere und refraktionsseismisch ermittelter Krustenstruktur. (in German: Density
models fort the central European Section of EGT on the basis of joint inversion of geoid, gravity and
refraction seismic crustal structure) Ph.D. Thesis, Mainz University, 1992
2. Holstein, H.: Gravimagnetic similarity in anomaly formulas for uniform polyhedra. Geophysics, 67, 1126-
1133, 2002.
3. Holstein, H.: Invariance in gravimagnetic anomaly formulas for uniform polyhedra. Geophysics, 67, 1134-
1137, 2002

4. Holstein, H., Schürholz, P., Starr, A.J., Chakraborti, M.: Comparison of gravimetric formulas for uniform
polyhedra. Geophysics, 64, 1438-1446, 1999