1. 2. Küme aileleri.pdf

KÜME AİLELERİ
GİRİŞ
Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için
gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken
karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile fazla
detayına girmeden işleyeceğiz.
2. 1. KÜME KAVRAMI
Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen, bu bölümde ve daha
sonraki bölümlerde incelememiz için gerekli olan daha önceden bilinen
kümeler teorisi ile ilgili ilk temel bilgileri vereceğiz.
Küme (veya cümle) deyince belli özelliğe sahip nesnelerin iyi
tanımlı bir topluluğunu kastedeceğiz ve kümeyi meydana getiren
nesnelere de kümenin elemanları diyeceğiz. Kümeleri A, B, C, ...,
X, V, W, Y, Z gibi büyük harflerle ve elemanları da a, b, c, ...,
x, v, w, y, z gibi küçük harflerle göstereceğiz. a bir A kümesinin
elemanı ise a∈A ile gösterecek, bir b elemanının A kümesine ait
olmamasını ise b∉A şeklinde yazacağız. Kümeler ya elemanlarını
kıvrımlı parantez içine yazmak suretiyle, örneğin a, b, c gibi üç
elemandan ibaret olan bir kümeyi { a, b, c } şeklinde veya
kümenin çok sayıda elemandan oluşması halinde indisler kullanarak
{ x i : i∈I } şeklinde yada kümenin elemanlarının sahip olduğu
özelliği belirleyen kurali yazmak suretiyle gösterilir. Mesela
rasyonel sayılar kümesi
Q={p/q :p∈Z ve q∈N }
şeklinde gösterilir.
I, herhangi bir küme olmak üzere, { x i : i∈I } kümesine
indislendirilmis küme denir. Örneğin, { 1, 3, 5 } kümesi
I={ 1, 2, 3 } olmak üzere x i =2i-1 yazarsak { x i : i∈I }
şeklinde gösterilebilecektir. Baska iki örnek olarak, tüm tek doğal
7

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i∈N } ve tüm çift doğal sayıların
kümesi N 2 = { 2i: i∈N } şeklinde gösterilebilecektir.
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir ve ∅ veya {
} şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin her elemanı bir diğer B
kümesinin elemanı oluyorsa A ya B nin bir alt kümesi ( A ya B
tarafından kapsanır veya B, A yi kapsar ya da B, A nin üst
kümesidir) denir ve bu A⊂B şeklinde gösterilir. Bunu biz x∈A
ise x∈B dir şeklinde de ifade edebiliriz. Boş küme her kümenin
alt kümesidir. Eğer A⊂B ve B⊂A oluyorsa A ile B kümelerine
eşittir denir ve bu A=B yazılarak gösterilir. Bir A kümesi diğer
bir B kümesinin alt kümesi değilse, A⊂B ifadesinde alt küme
işaretinin üzerine bir eğik çizgi çizilerek gösterilir yani A⊄B
şeklinde gösterilir. Eğer A⊂B ve B⊂C ise A⊂C olduğu (p⇒q
ve q⇒r) ise p⇒r olduğu gerçeğinden görülmektedir.
A nin elemanı olup da B nin elemanı olmayan elemanların
kümesine B nin A ya göre tümleyeni denir ve A\B ile
gösterilir. Bazen A\B ye A dan B nin farkı kümesi de denir. A
nin evrensel küme dediğimiz, ilgilendigimiz bütün kümeleri kapsayan
en büyük kümeye göre tümleyeni \A veya A t ile ya da X
evrensel küme olmak üzere X\A ile gösterilir.
Hem A da hem de B de bulunan elemanların kümesine A ile B
nin kesişim (veya arakesit) kümesi denir ve A∩B ile
gösterilir. Buna göre,
A∩B = { x : x∈A ve x∈B }
dir. A da veya B de ( burada veya kelimesi ile hem A da hem B
de olan elemanlar ile A da ya da B de bulunan elemanlar
kastediliyor) bulunan elemanların kümesine A ile B nin birleşim
kümesi denir ve A∪B ile gösterilir. Bunu
A∪B = { x : x∈A veya x∈B }
ile gösteririz. Kesişimin birleşim üzerine ve birleşimin kesişim
üzerine dağılma özellikleri vardır, yani
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) ve A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
dir. İki kümenin kesişim ve birleşiminin tümleyenlerine iliskin De
Morgan kurallari
X\(A∪B) =(X\A)∩(X\B) ve X\(A∩B) = (X\A)∪(X\B)
8

dir.
Herhangi bir I indis kümesi tarafından indislendirilmiş
kümelerin herhangi bir ailesi {G i : i∈I } ise bu ailenin
elemanlarının birleşimi olan küme
{ x : en az bir i∈I için x∈G i }
olup,
Gi 1veya
i∪
∈
∪ { G i : i∈I } ya da
I
Gi
I∪
şeklinde yazılarak gösterilir. Aynı ailenin kesişimi de
{ x : her i∈I için x∈G i }
∩
olup, i I G i veya
∈
∩ {G i : i∈I } ya da
Gi
I∩
şeklinde gösterilir. Boş sınıf üzerinden kesişim ve birleşim
için aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz.
∪ { G i : i∈∅ } = ∅ ve ∩ { G i : i∈∅ } = X. Bir X kümesinin
bütün altkümelerinin oluşturduğu kümeye X in kuvvet kümesi denir ve
P(X) (veya 2 X ) ile gösterilir.
Bir kümeler ailesinin birleşim ve kesişiminin tümleyenlerine
iliskin De Morgan kurallarını aşağıdaki teorem ile veriyoruz:
Teorem 1.1.1. { G i : i∈I } ⊂ P(X)
sağlanır:
(i) X\( ∩ { G i : i∈I }) = ∪ { X\G i : i∈I }
(ii) X\( ∪ {G i : i∈I }) = ∩ { X\G i : i∈I }
olduğuna göre aşağıdakiler
İspat. (i) Eşitliğin doğru olduğunu ispatlamak için eşitliğin
iki yanındaki her bir kümenin biribirinin altkümesi olduğunu
göstereceğiz. Yani
X\( ∩ { G i : i∈I }) ⊂ ∪ { X\G i : i∈I }
ve
∪ { X\G i : i∈I } ⊂ X\( ∩ { G i : i∈I })
olduğunu ispatlayacağız. Önce
9

X\( ∩ { G i : i∈I }) ⊂ ∪ { X\G i : i∈I }
olduğunu gösterelim. Bunun için herhangi bir x∈ X\( ∩ { G i : i∈I })
alalim. Bu takdirde, x∈X ve x∉( ∩ { G i : i∈I })
dir. Buradan
x∈X ve en az bir i∈I için x∉G i dir. Dolayısıyla en az bir
i∈I
için x∈X\G i dir. Boylece x∈ ∪ { X\G i : i∈I } olur. Buradan
X\( ∩ { G i : i∈I }) ⊂ ∪ { X\G i : i∈I }
elde edilmis olur. Şimdi de
∪ { X\G i : i∈I } ⊂ X\( ∩ { G i : i∈I })
olduğunu ispat edelim. Bunun için herhangi bir x∈∪ { X\G i : i∈I }
alalım. Bu durumda en az bir i∈I için x∈X\G i olur. Buradan
x∈X
ve en az bir i∈I için x∉G i elde edilir. Dolayısıyla x∈X ve
x∉∩ { G i : i∈I } ve dolayısıyla x∈X\( ∩ { G i : i∈I }) elde
edilir.
Böylece
∪ { X\G i : i∈I } ⊂ X\( ∩ { G i : i∈I })
olduğu gösterilmiş olur. (i) in sağındaki eşitliğin her iki yanı
biribirinin alt kümesi olduğundan (i) deki eşitliğin doğru olduğu
gösterilmiş oldu.
Simdi de (ii) nin ispatını verelim. (i) deki eşitliği
kullanarak bunu kısaca ispat edebiliriz. (i) deki eşitlikte G i
ler yerine X\G i kümelerini alır ve X\(X\A)=A olduğunu
kullanirsak,
X\( ∩ 2{ X\G i : i∈I }) = ∪ 3{ X\(X\G i) : i∈I } = ∪ { G i : i∈I })
elde ederiz. Yani
∪ { G i : i∈I }) = X\( ∩ { X\G i : i∈I })
10

olur. Bu eşitliğin her iki yanının X e göre tümleyeni alınırsa,
X\( ∪ { G i : i∈I }) =X\(X\( ∩ { X\G i : i∈I })) = ∩ { X\G i : i∈I }
bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
A\B kümesi ile B\A kümesinin birleşimi kümesine A
nin simetrik farkı denir ve A∆B ile gösterilir. Buna göre
A∆B = (A\B)∪(B\A)
dir. Buna göre A∆B=B∆A olduğunu görüyoruz. Ayrıca A∆B nin
(A∪B)\(A∩B) kümesine eşit olduğu kolayca görülür. Yani
ile B
A∆B=(A∪B)\(A∩B) dir. İki kümenin simetrik farkının tümleyeni ise
birinin tümleyeni ile diğerinin simetrik farkına eşittir. Yani
(A∆B) t =A t ∆B=A∆B t
dir. Bu eşitlikten faydalanarak iki kümenin simetrik farkının o
kümelerin tümleyenlerinin simetrik farkına eşit olduğu
gösterilebilir. Gerçekten; (A t ∆B t ) t =(A t ) t ∆(B t ) t =A t ∆(B t ) t = A∆B t = A t ∆B
olduğundan ve diğer taraftan (A∆B) t = A t ∆B= A∆B t
olduğundan
(A t ∆B t ) t =(A∆B) t ise A t ∆B t =A∆B olur. İki kümenin simetrik farkının
boş olması için gerek ve yeter koşul birbirlerine eşit
olmasıdır. Simetrik farkın kümelerden birine eşit olması için
gerek ve yeter koşul diğerinin boş olmasıdır. Kesişimin simetrik
fark üzerine dağılma özelliği vardır, ancak birleşimin simetrik
fark üzerine dağılma özelliği yoktur.
11

1.1. ALIŞTIRMALAR (KÜMELER)
(1) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız. (a)
∅ t =X (b) X t =∅ (c) A∪A = A (d) A∩A = A
(e) A∪∅=A (f) A∩∅=∅ (g) A∪X=X (h) A∩X = A
(i) A\B=A∩B t (i) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C (j)
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
(k) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (l) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
(m) (A∪B)\C = (A\C)∪(B\C) (n) (A∩B)\C = (A\C)∩(B\C)
(o) A t \B t =B\A (o) (A\B)\C=A\(B∪C)
(p) A∩(B\C)=(A∩B)\(A∩C) (r) A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)
(s) P(A∩B)=P(A)∩P(B)
(2) A ve B herhangi iki küme olsun. Aşağıdakileri İspatlayiniz.
(a) A∩B⊂A (b) A∩B⊂B (c) A⊂A∪B (d) B⊂A∪B
(e)
P(A)∪P(B) ⊂ P(A∪B)
(3) A ve B iki küme olsun. A⊂B olmasınin aşağıdaki
koşullardan herbirine denk olduğunu ispatlayınız.
(a) B t ⊂A t (b) A∩B t =∅ (c) A∩B=A (d) A∪B=B
(e) A∪(B\A)=B (f) B\(B\A)=A
(g)
(h)
(i)
her bir C kümesi için A∪(B∩C)=B∩(C∪A) dir.
en az bir D kümesi için A∪(B∩D)=B∩(D∪A) dir.
P(A)⊂P(B)
(4) A⊂B⊂C ise B\A⊂C\A ve C\(B\A)=A∪(C\B) dir. İspat ediniz.
(5) A, B ve C herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki
denklikleri ispatlayınız:
(a) A⊂B∪C olması için gerek ve yeter koşul A\B⊂C olmasıdır.
(b) A⊂B∪C olması için gerek ve yeter koşul A\C⊂B olmasıdır.
(6) A ve B herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki
eşitliklerin sağlandığını gösteriniz:
(a) A∪(B\A) = A∪B (b) B∪(A\B) = A∪B (c) A\(A\B) = = A∩B
(7) Her bir a∈A için a∈G a ⊂A olacak şekilde bir G a kümesi
bulunsun. Bu takdirde
A =
Ga
a∪
∈A
12

dir. İspat ediniz.
(8) Altkümelerin herhangi bir sınıfı {A i : i∈I } olsun. Bu
takdirde aşağıdaki özelliklerin sağlandığını gösteriniz.:
(a) Her j∈J için A j ⊂
Ai (b) Her j∈I için Ai
I∪ I∩ ⊂A j
(c) Her j∈J için A j ⊂B j ise Ai
I∪ ⊂
Bi
I∪
ve
Ai
I∩ ⊂
Bi
I∩
dir.
(d) A∪(∩ i∈I A i )=∩ i∈I (A∪A i ) (e) A∩(∪ i∈I A i )=∪ i∈I (A∩A i )
(f) ∪ (A i ∪B i ) = ( Ai
I I∪ )∪( Bi
I∪ ) (g) ∩ (A i ∩B i ) =
I
( Ai
I∩ )∩( Bi
I∩ )
(h) J⊂I ise Ai 4⊂
i∪
∈ J
Ai ve Ai
i∪
∈ I
I
⊂ Ai
i∩
∈ i∩
∈ J
dir.
(i) B ⊂ Ai ⇐⇒ her i∈I için B⊂A i olmasıdır.
i∩
∈ I
(i)
Ai ⊂ B ⇐⇒ her i∈I için A i ⊂B olmasıdır.
i∪
∈ I
(9) her n∈N için A n = {x : x∈R ve |x|< ─ n
1 ─} ise n1 A n ={0}
dir. İspat ediniz.
(10) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız:
(a)
∩∈_ n
]1- n __|_ , 1+ n __|_ [ =]0,1] (b)
_∪
] 1, n [ = ]1,∞[
(11) I = R + , A x = ] 0 , x [ ve B x =[ 0 , x] olmak üzere
Ax = ∅ , A x = _ +
, Bx=
{ 0 }, x=
_
I∩ I∪ I∩
I
dir.
İspat ediniz.
∪ B +
∪{ 0}
(12) S ⊂ P(X) olmak üzere her S 1 , S 2 ∈S için S 1 ∩S 2 ∈S olsun. Bu
takdirde, S in sonlu adetteki herhangi S 1 ,S 2 ,...,S n
elemanlarının kesişimi de S dedir, yani
ediniz. (Yol gösterme : tümevarım yoluyla).
n
S i
=1
i∩ ∈S
dir. İspat
13

(13) S ⊂ P(X) olmak üzere her S 1 , S 2 ∈S için S 1 ∪S 2 ∈S
olduğunu kabul edelim. Bu takdirde, S in sonlu adetteki
herhangi S 1 ,S 2 ,...,S n elemanlarının birleşimi de S dedir, yani
n
S i
=1
i∪
∈S dir. İspat ediniz. (Yol gösterme : tümevarım yoluyla).
(14) A, B ve C herhangi kümeler olduğuna göre aşağıdakilerin
sağlandığını gösteriniz:
(a) B\(A∆B) = A∩B (b) A∆B = B∆A (c) A∆B =(A∪B)\(A∩B)
(c) A∆B = A t ∆B t (d) (A∆B) t = A t ∆B (e) B∪(B∆A) = A∪B
(f) A∪(A∆B) = A∪B (Yol Gösterme: A∆B=(A∪B)\(A∩B) olduğunu
kullaniniz.).
(g) A∆(A\B)=A∩B (h) B∆(B\A)=A∩B (i) A\(A∆B)= A∩B
(j) A∆(B∪A t ) = (A∩B) t
(k) B∆(A∪B t ) = (A∩B) t
(l) A∆B = [A∆(A∪B)]∪[A∆(A∩B)]
(m) A∆B = [B∆(A∪B)]∪[B∆(A∩B)]
(n) A∩(B∆C)=(A∩B)∆(A∆C)
(15) A ile B herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki
denkliklerin sağlandığını gösteriniz:
(a) A∆B=∅ olması için gerek ve yeter koşul A=B olmasıdır.
(b) A∆B=A
olması için gerek ve yeter koşul B=∅ olmasıdır.
(c) A∆B=B olması için gerek ve yeter koşul A=∅ olmasıdır.
(16) Aşağıdakilerin sağlandığını gösteriniz:
(a) ∪ { G i : i∈∅ } = ∅ (b) ∩ { G i : i∈∅ } = X.
(17) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız:
(a) ]n, ∞[ = ∅ (b)
∩∈_ n
_∪ ]-n, n [ = R
(18) Reel terimli bütün dizilerin kümesini s ile bütün sınırlı
dizilerin kümesini l ∞ ile bütün yakınsak dizilerin kümesini c ile
sıfıra yakınsak dizilerin kümesini c 0 ile terimlerinin mutlak
değerlerinin toplamı yakınsak seri olan dizilerin kümesini l 1 ile
ve mutlak değerlerinin p inci kuvvetleri toplamı yakınsak seri
oluşturan dizilerin kümesini
l p ile gösterirsek c, c 0 , l 1 ,
, l ∞ ⊂ s dir. Ayrıca eğer p≤q ise l p ⊆ l q dir. İspat ediniz.
l p
14