Fourier Serileri 6.pdf

41H.Çakallı, Fourier Serileri Fourier Serileri Fourier Serileri Fourier Serileri Fourier Serileri, H.ÇakallıParçalı sürekli fonksiyonlar Parçalı sürekli fonksiyonlar Parçalı sürekli fonksiyonlar Parçalı sürekli fonksiyonlarFourier katsayıları Fourier katsayıları Fourier katsayıları Fourier katsayıları Fourier katsayıları Fourier katsayılarıFourier Kosinüs Serisi Fourier Kosinüs Serisi Fourier Kosinüs Serisi Fourier Kosinüs Serisi Fourier Kosinüs SerisiFourier Sinüs Serisi Fourier Sinüs Serisi Fourier Sinüs Serisi Fourier Sinüs Serisi Fourier Sinüs Serisi Fourier SinüsTeorem 19. f ile f ı [0,π] de parçalı sürekli ise f in Fourier Kosinüs serisiher bir x 0 ∈]0,π[ içinx 0 =π için f(π-0) a yakınsar.f(x − 0) + f(x + 0)0 02ye yakınsar x 0 = 0 için f(0+0) a veİspat.⎪⎧G ( x)= ⎨⎪⎩f ( −x)f(x)-π≤x

f(x)= f(0+0) ⇒ G(0+0) = f(0+0) G(0+0) = lim x→+0G(x)= lim x→+044b n = 1 πG(x)sinnxdx 0π∫ =− πdır. Böylece G nin Fourier serisi∞∞a0a0+ ∑ (ancosnx + bnsinnx) = + ∑ (ancosnx + 0 sinnx)2 n=1 2 n=1= a ∞0+ ∑ ancosnx2 n=1dir. a n ler f in Fourier katsayıları olduğundan G nin Fourier serisi*∞a0+ ∑ ancosnx2 n=1aynı zamanda f in Fourier Kosinüs serisidir. G fonksiyonu ile türevi G ı [-π,π] deparçalı sürekli olduğundan Teorem 14 den dolayı her bir x 0 ∈]0,π[ için * serisiG(x0− 0) + G(x 0 + 0)G(-π+ 0) + G( π − 0)sayısına ve x 0 = ±π için22sayısınayakınsar. ⇒ G çift bir fonksiyon olduğundan x 0 ∈]0,π[ içinG(x 0 - 0) = lim x→− G(x) = limx 0 x→− f(x)= f(xx 0 - 0),0G(x 0 + 0) = lim x→+ G(x) = limx 0 x→+x 0f(x) = f(x 0 + 0) ⇒ G(x 0 +0) = f(x 0 +0)x 0 = 0 için G(0-0) = lim x→− G(x) = lim 0x→−f(t) = f(0+0)0 t→ 0 +G(0-0) = f (0+0)4541

47İspat.⎪⎧− f ( −x)G ( x)= ⎨⎪⎩ f(x)-π≤x

48=2πn[( −1) − 1]n2⇒ a n =2πn[( −1) − 1]n2a 0 = 2 2 22π x π 2 π00π∫ xdx = π ππ 2Ι = = ⇒ a 0=π 2O halde f in Fourier Kosinüs serisi∞ππ+ ∑ ancosnx = +2 2n=1 n=1∞∑2πn[( −1) −1]n2cosnx= π 4−2 π∞∑n=1cos(2n − 1)x(2n − 1) 2bulunur. f ve f ı[0,π] de (parçalı) sürekli olduğundan her x∈]0,π[ içinx = π 4−2 π∞∑n=1cos(2n − 1)x(2n − 1) 2dir ve x=0 için f(0+0)= lim x→+0 f(x) = lim x→ + 0 x=0olduğundan 0 = π 4−2 π∞∑n=1cos(2n − 1)0(2n − 1) 2⇒ π ∞4− ∑ 12 π (2n − 1) 2n=1= 0⇒4π∞∑n=11(2n − 1) 2π= ⇒2∞∑n=11(2n − 1) 22π=8bulunur.x=π için f(π-0) = lim f(x) = lim x→−π x→π−x= π olduğundan44

49π =∞π 4 − π π 4−⇒ = − ∞ 2n-1cos(2n 1)(-1)∑2 ∑2 π (2n −1) 2 π (2n −1)n=1 n=12⇒π 2 ∞n=18 = ∑ 1(2n −1) 2bulunur.Şimdi de f in Fourier sinüs serisinin katsayılarını bulalım. Her n∈IN içinb n = 2 π2 ππ∫ f ( x) sin nxdx = x sin nxdx0 π∫ 0= 2 ⎡-x cosnx sinnx⎤0π ⎢ +⎣ n n 2⎦2( 1)n2( −1)nπ⎥Ι = − − n n+1=⇒ b n =2( −1)nn+1bulunur. Buna göre f in Fourier Sinüs serisib sinnx =2( −1)nnn=1 n=1n=1( −1)n∞ ∞n+1 ∞ n+1∑∑sin nx = 2∑sinnxdir. Teorem 20 den dolayı her x∈]0,π[ içinx =∞2∑n=1( −1)nn+1sinnxdir ve x=0 için 0 =∞2∑n=1( −1)nn+1sinn0ve de x = π için0 =∞2∑n=1( −1)nn+1sinnπdir.Şimdi c herhangi bir pozitif sayı olmak üzere [-c,c] aralığında integrallenebilirbir f fonksiyonunun Fourier serisinin katsayılarının nasıl verileceğini görelim. t= c xπ45

50değişken değiştirmesi yapılırsadt= c dxπ⇒ dx= π dt olacaktır ve x= -π içinc⎛ ct= -c ve x=π için t = c olacağından, f(t) = f ⎜ g x⎝ π x ⎞⎟ = ( ) şeklinde verilen g nin⎠Fourier katsayıları her n∈IN 0 içina n = 1 π 1 c π π π c πtg(x) cosnxdx = f(t).(cosn t) dt = f( ).cosn dtπ∫− ππ∫− c c π c∫ tc. −cca n = 1 c∫π−π( nπt)1f(t) cos dt =c c∫c−cnπxf(x) coscdxve b n = 1 c πt1 cf( )sin t f xc c c dt n π∫ =xc c cdx− ∫ ( ) sin−olacaktır. Bunları gözönüne aldığımızda aşağıdaki tanımı verebiliriz.Tanım f fonksiyonu [-c,c] de integrallenebilir ise a 0 = 1 c∫ f(x)dx, hercc−n∈IN için a n = 1 cf ( x) cos n π xc∫ c cdx ve b n = 1−cfonksiyonunun [-c,c] de Fourier katsayıları denir vec π∫ f(x)sinn xc dx sayılarına f-c12∞πxπxa0+ ∑ ( ancosn + bnsinn )c cn=1serisine de f fonksiyonunun [-c,c] de Fourier serisi denir.Teorem 21. f ile f ı [-c,c] aralığında parçalı sürekli ise f nin [-c,c] dekiFourier serisi her bir x 0 ∈]-c,c[ içinf( − c + 0) + f(c − 0)2f(x + 0) + f(x − 0)0 0sayısına yakınsar, yani her bir x 0 ∈]-c,c[ için2ye yakınsar ve x 0 = ±c için46

51f(x0− 0) + f(x0+ 0)= a 022∞(a cos n π x b sin n x0π+ ∑ n+nn c c= 10)ve x 0 = - c içinf(-c + 0) + f(c - 0)2a0= +2∞∑(a cos n b sin n ∞π ( − c) π( −c) a0n+n ) = + ∑ an( −1)cc 2n=1 n=1nve x 0 = c için∞∞f(-c + 0) + f(c - 0) a0a0= + ∑ ( ancosnπ+ bnsinnπ) = + ∑ an( −1)2 22n=1 n=1ndir.İspat. Bu teoremin ispatı Teorem 14 den ve herh(x)= c xπfonksiyonununsürekliliği ile f in [-c,c] deki Fourier serisinin g(x) = (foh) (x) fonksiyonunun [-π,π]deki Fourier serisi ile aynı olduğu gerçeğinden elde edilir.Örnek.⎪⎧0f (x) = ⎨⎪⎩4-5

= 1 ⎡ 0 nπx 5 nπx ⎤0. cos dx + 45 ⎢∫−55∫ cos dx⎥⎣0 5 ⎦= 4 5 nπxcos5∫ dx0 54 1Sinn − Sin0 = 4 0 − 0 = 0 ⇒ an= 0π n π.n= [ π ] .[ ]a 0 = 1 55 1 5 1 5 4 5 4f ( x) dx = f(x)dx 4dx-5 5∫ = = dx = x0 5 0 5 0 5∫ ∫ ∫ Ι50= 4 5 .5 = 4 ⇒ a = 4 0b n = 1 55∫ f ( x)sin-5nπ 1 5 π 1 5 nπxx dx =5 5∫ f(x)sin n dx = 4sin dx0 5 5∫ 0 5= 4 5 nπxsin dx5∫ =0 54πn[ 1 − ( −1)]n⇒ b n =4πn[ 1 − ( −1)]nbulunur. Buna görefin Fourier serisia02∞nπxnπx+ ∑ ( ancos + bnsin )5 5n=1=42∞ ⎧⎪ nπx4+ ∑ ⎨0.cos+n=1 5 π⎩⎪n[ 1- (-1) ]nsin n π x ⎫⎪⎬5⎭⎪48

522 1= 2+ 8 sin ( n − )π x∞5∑π ( 2n− 1)n=1bulunur. f ile f ı fonksiyonları [-5,5] de parçalı sürekli olduğundan dolayı,∀x 0 ∈]-5,5[ \{0} içinf(x − 0) + f(x + 0)0 028= 2 +π∞∑n=12 −1sinn πx52n−1dir vef(x 0 -0) = lim x→− f(x) = f(xx 0 ) , f(x 0 +0) = lim0 x→+ f(x) = f(xx 0 )0olduğundan∀x 0 ∈]-5,5[ - {0} içinf(x 0 ) = 2+ 8 ∞1 2n− 1 πx∑ . sin ( ).π 2n− 1 5n=1dir vef(0 − 0) + f(0 + 0)20= + 4=22 olduğundan x 0 =08için 2 = 2 +π∞∑n=12 − 1sin ( n )πx52n− 1⇒ 2 = 2 + Σ 0 ⇒ 2=2 dir vex 0 = m 5 için de f(-5+0) = 0 ve f(5-0) = 4 olduğundanf( − 5+ 0) + f(5 − 0)20= + 4=22olacağından49

532=2+ 8 ∑ 1π (2n − 1)sin ( 2 n − 1) π ( m 5)5⇒2=2 bulunacaktır.Tanım f fonksiyonu [0 , c] aralığında integrallenebilir vea n = 2 c nπxc∫ f(x)cos dx0 colmak üzere∞12 a a cos nπx0+ ∑ ncn=1serisine f in [0,c] aralığında Fourier Kosinüs serisi denir.Teorem 22 f ile f ı [0,c] de parçalı sürekli ise f nin Fourier Kosinüs serisiher bir x 0 ∈ ]0,c[ içinf(x − 0) + f(x + 0)0 0noktasına ve de x 0 = c için f(c-0) noktasına yakınsar.İspat. İspat Teorem 19 kullanılarak kolayca elde edilebilir.Örnek.2ye yakınsar ve x 0 =0 için f(0+0)⎪⎧f (x) = ⎨⎪⎩020

5455Teorem 23 f ile f ı [0,c] aralığında parçalı sürekli ise f in [0,c] dekiFourier Sinüs serisi her bir x 0 ∈]0,c[ noktasındave x 0 =0 ile x 0 =c noktalarında da 0 a yakınsar.İspat. Ispat Teorem 20 den hemen elde edilebilir.Örnek.f(x − 0) + f(x + 0)0 02ye yakınsar⎪⎧f (x) = ⎨⎪⎩020

56g(x) = (foh) (x) = f(h(x) = f ( a + b b − a + x ) = f ( t )2 2πfonksiyonu integrallenebilir olacağından g nin [-π,π] de Fourier katsayılarınıbulabiliriz. Buna göre her n∈IN için1 π 1a b 2π2πg x nxdx = f t cos − + π −ππ a2 b − a b − aba n = ∫ ( ) cos ∫ ( )[ n ( t ) ] dt=2 b ⎡ a b 2f t n t − + π ⎤b − a∫ ( ) cosa ⎢ ( )⎣ 2 b − a ⎥ dt⎦a n =2 b ⎡ a b 2f x n x − + π ⎤b − a∫ ( )a ⎢cos ( )⎣ 2 b − a ⎥ dx⎦veb n =2b − a∫ba⎡⎤f ( x) ⎢sin n (x - a + b⎥⎣ 2 ) 2πb - a ⎦dxTanım. f fonksiyonu [a,b] de integrallenebilirsea n =2b − a∫ba⎡ a b 2f x n x − + π ⎤( ) ⎢cos ( )⎣ 2 b − a⎥dx⎦2ve b n =b − a∫ba⎡ a b 2f x n x − + π ⎤( ) ⎢sin ( )⎣ 2 b − a⎥dx⎦[a,b] aralığındaki Fourier katsayıları denir vekatsayılarına f fonksiyonununa02⎡+ a cos n(x a b2 ) b sinn (x - a + bn− + 2π⎤⎢n⎣ b − a⎥ ⎦+ ⎡ 2π⎤∑⎢ )⎣ 2 b − a ⎥⎦serisine f fonksiyonunun [a,b] deki Fourier serisi denir.52

Teorem 24 f ile f ı [a,b] aralığında parçalı sürekli ise f in [a,b]deki Fourier serisi her bir x 0 ∈]a,b[ içinx 0 = a ile x 0 = b için def(a + 0) + f(b − a)2f(x − 0) + f(x + 0)0 02sayısına yakınsar.ye yakınsar veİspat. İspat Teorem 14 kullanılarak elde edilebilir.53