Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıKısım BirReel Değişkenli Fonksiyonlar TeorisiProf.Dr.Hüseyin Çakallı 23

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı2 Reel Sayı Sistemi1.Reel Sayılar için AksiyomlarOkuyucunun IR reel sayılar kümesine aşina olduğunu ve lisans matematiğinde kullanılantemel özelliklerini bildiğini kabul ediyoruz. Bu bölüm daha sonra faydalı olacak sonuçlarınsistemizasyonuna ve gözden geçirilmesine ayrılmıştır. Reel sayılar konusuna bir yaklaşımrasyonel sayıları Dedekind kesimleri olarak tanımlamaktır, rasyonel sayılar sırasıyla doğalsayılar yardımıyla tanımlanıyor olmaktadır. Böyle bir yöntem reel sayıların daha basitkavramlarda ve kümeler teorisinden uzak güzel bir oluşturmasını verir. Biz burada reelsayıların oluşturulması ile ilgilenmeyeceğiz, fakat hali hazırda verildiği şekilde düşüneceğizve aksiyomları sıralayacağız. Gereksinim duyduğumuz bütün özellikler bu aksiyomlarınsonuçlarıdır ve gerçekte bu aksiyomlar reel sayıları karekterize eder.Böylece biz reel sayılar kümesini, pozitif tamsayılar kümesini ve IRxIR den IR ye “+”ile “.” Fonksiyonlarını verilmiş kabul ediyoruz ve üç grupta listelenen aşağıdaki aksiyomlarısağladığını kabul ediyoruz. İlk grup cebirsel özellikleri ve ikincisi sıralama özelliklerinitanımlar. Üçüncüsü en küçük üst sınır aksiyomunu içerir.A. Cisim Aksiyomları : Bütün x, y ve z için aşağıdakiler sağlanır:A1. x+y=y+xA2. (x+y)+z=x+(y+z)A3. Her x∈R için x+0=x olacak şekilde en az bir 0∈R vardır.A4. Her x∈R için x+w=0 olacak şekilde bir w∈R vardır.A5. x.y=y.xProf.Dr.Hüseyin Çakallı 24

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıA6. (xy)z=x(yz)A7. Her x∈R için x.1=x ve 1≠0 olacak şekilde ∃ 1∈R vardır.A8. 0 dan farklı her x∈R için x.w=1 olacak şekilde ∃ w∈R vardır.A9. x(y+z)=xy+xzBu aksiyomları sağlayan her kümeye bir cisim ( + ve . altında ) adı verilir. A4 , A7ve A8 in ifadesindeki kabulümüzden A3 deki 0 ın bir tek olduğu A1 den elde edilir.A4 deki w bir tektir ve -x ile gösterilir. x -y çıkarmasını x+(-y) ile tanımlıyoruz. A7deki 1 elemanı bir tektir. A8 deki w nin bir tek olduğu gösterilebilir ve A8 deki welemanı x -1 ile gösterilir. Elimizde bir cisim varsa, yani A1 den A9 a kadar olanözellikleri sağlayan herhangi bir sistem varsa, eş zamanlı lineer denklem sistemlerininçözümlerini içeren elementer cebirin işlemlerini elde edebiliriz. Açıkça ifade etmeksizinbu aksiyomların çeşitli sonuçlarını kullanacağız.Reel sayılar tarafından sağlanan özelliklerin ikinci grubu reel sayıların sıralamalıolması gerçeği ile ilgilidir. a , b den önce gelir ifadesini aksiyomize edebilirdik ancakbaşlangıç olarak pozitif reel sayı kavramını kullanmak daha uygun olmaktadır. Bunuyaptığımız zaman ikinci grup aksiyomlar aşağıdaki şekli alır:B.Sıralama Aksiyomları: Pozitif reel sayılar kümesi P aşağıdaki aksiyomları sağlar:B1. (x, y∈P ) ⇒ x+y∈P .B2. (x, y∈P ) ⇒ x.y∈P .B3. (x∈P ) ⇒ -x∉P .B4. (x∈R ) ⇒ (x=0) ya da (x∈P ) ya da (-x∈P ) dir.A ve B deki aksiyomları sağlayan her sisteme sıralı cisim denir. Buna göre reelsayılar kümesi sıralı bir cisimdir. İrrasyonel sayılar kümesi sıralı cisime bir diğer örnektir.Sıralı cisimde x

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallısağlanmış kabul ediyoruz ve açıkça ifade etmeden kullanacağız. Sıralı cisimlerin dahaileri özellikleri için okuyucu Birkoff ve Maclane [2] ye bakmalıdır.Üçüncü aksiyom grubu bir aksiyomdan oluşmakta ve reel sayılar kümesini diğer sıralıcisimlerden ayırt etmektedir. Bizim ilk iki aksiyom grubunun sonuçları hakkındaki bucentilmen davranışımıza karşın bu son aksiyomu ifade etmeden önce, biraz terminolojiktanımlar verelim. Her x∈S için x≤b olması durumunda b ye S için bir üst sınırdırdiyeceğiz. Biz bazen bunu S≤b yazarak ifade ederiz. Eğer S nin her bir b üst sınırı içinc≤b oluyorsa ve c bir üst sınır oluyorsa bu takdirde c sayısına en küçük üst sınır denir.Eğer mevcutsa bir S kümesinin en küçük üst sınırı bir tektir. Bizim reel sayılar içinverdiğimiz bu son aksiyom üst sınıra sahip kümeler için bunun varlığını garanti eder.C Tamlık Aksiyomu. Bir üst sınıra sahip olan reel sayıların boş olmayan her S altkümesi bir en küçük üst sınıra sahiptir.Aksiyom C nin bir sonucu olarak aşağıdaki önermeyi elde ederiz:1.Önerme: L deki her bir l ve U daki her bir u için l a olduğundanx-a∈P dir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 26

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıx-a =-a+x =-a-(-x)∈P ⇒ her x∈S için -a>-x dir. Şimdi -S={ -x : x ∈ S }diyelim. –S kümesi üstten -a ile sınırlıdır. Aksiyom C dolayısıyla, sup(-S) =a o olacakşekilde bir a o vardır. Buradan, her -x ∈ (-S ) için -x < a o ve böylece her x ∈ Siçin -a o

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıx>y olması halinde1111[ x + y + x − y]= [ x + y + ( x − y)]= [ x + y + x − y]= 2x= x = x ∨ y = max( x,y)bul2222unur.e) Eğer -y≤x≤y ise bu takdirde x ≤ y dir.Ek Problemler.1. Her x∈IR için 0x=0 dır.Çözüm. x +0x=(1+0)x= 1.x=x=x+0 ; A3 ve A7 den,x +0x=x+0-x+ x +0x=-x+x+0 ⇒ 0+0x=0+0 ⇒ 0x=0 .2. R nin alt kümeleri olarak Doğal Sayılar ve Rasyonel SayılarRasyonel sayıların varlığını kabul etme işlemini ve sayma sayıları olarak kullanmaişlemini benimsedik. 3 gibi bir sayıyı yalnız bir doğal sayı olarak değil aynı zamanda birreel sayı olarak ele aldık. Aslında 1 sembolü yalnız ilk doğal sayıyı göstermek için değilaynı zamanda Aksiyom 7 ile verilen özel reel sayıyı da göstermek için kullanıyoruz ve 3reel sayısını 1+1+1 olarak tanımlıyoruz. ve benzer şekilde her doğal sayıya karşılık gelenreel sayıyı tanımlıyoruz. Aslında elimizdeki bu araçları daha kusursuz bir şekilde yapmakiçin kullanabiliriz.Ardışık tanımlama prensibinden dolayı, doğal sayılar kümesinden reel sayılarkümesine ϕ(1)=1 ve ϕ(n+1)=ϕ(n)+1 ile tanımlanan bir ϕ fonksiyonu vardır.( Buradasağ taraftaki 1 bir reel sayıyı göstermekte ve sol taraftaki 1 de bir doğal sayıyıgöstermektedir.). ϕ dönüşümünün IN den IR ye birebir bir dönüşüm olduğunugöstereceğiz. p ile q biri birinden farklı iki doğal sayı olsun ve pϕ(p+n)ve böylece ϕ(p+n)>ϕ(p) olması ϕ(p+n+1)>ϕ(p) olmasını gerektirir. Buradantümevarımla ϕ(p+n)>ϕ(p) olur ve ϕ dönüşümünün birebir olduğunu görürüz.Tümevarımla ϕ(p+q)=ϕ(p)+ϕ(q) ve ϕ(pq)=ϕ(p).ϕ(q) olduğunu da ispatedebiliriz..Böylece ϕ bize doğal sayılar ile R nin bir alt kümesi arasında birebir bireşleme verir ve bu ϕ toplamları, çarpımları ve < bağıntısını korur. Tam manasıylasöyleyecek olursak, n doğal sayısı ile ϕ altındaki ϕ(n) görüntüsü arasında ayırımyapmamız gerekir ancak biz burada bu ayrımı yapmayacağız; Doğal sayılar kümesi N yiProf.Dr.Hüseyin Çakallı 28

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıR nin bir alt kümesi olarak gözönüne alacağız. Doğal sayıların farklarını alarak,tamsayıları R nin bir alt kümesi olarak elde ederiz, ve tamsayıların bölümlerini almakbize rasyonelleri verir. Aksiyom C incelememizde kullanılmadığından dolayı, aynısonuçlar herhangi bir sıralı cisimde sağlanır. Böylece aşağıdaki önermeyi göstermişolduk.2. Önerme Her sıralı cisim doğal sayıları, tamsayıları ve rasyonel sayıları (kümeleriizomorfik olarak kapsar ) içerir.Eğer Aksiyom C yi kullanırsak, reel sayılar kümesinin alt kümeleri olarak rasyonelsayılar ve tamsayılar hakkında daha ileri bazı gerçekleri ispat edebiliriz. Enönemlilerinden biri aşağıdaki teoremdir ve tarihi sebeplerden dolayı 1 Arşimet Aksiyomuolarak adlandırılır:3. Arşimet Aksiyomu: Verilen her x reel sayısı için xy-1/2 olacak şekilde bir k∈S vardır. Fakat k+1>y+1/2>y olduğundan(k+1)∉ S dir. k +1 sayısı S kümesinde olmayan bir tamsayı olduğundan, Skümesinin tanımından dolayı k+1 sayısının x den büyük olduğunu elde ederiz.4. Sonuç: Herhangi iki reel sayı arasında bir rasyonel sayı vardır; yani x

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıverilir. Her x∈IR için -∞ < x < ∞ kabul ederek genişletilmiş reel sayılar kümesinde< tanımını verebiliriz. Bütün x reel sayıları içinx +∞ = ∞ , x-∞=-∞eğer x>0 ise x.∞=∞ ,eğer x>0 ise x.(-∞)= -∞olarak tanımlıyoruz, ve∞+∞=∞ , -∞-∞=-∞∞.(±∞) =±∞ , -∞.(±∞)= + ∞olarak tanımlıyoruz.∞-∞ işlemi tanımsız bırakılmıştır, fakat 0.∞=0 durumunu uygun olarak adopteedeceğiz.sup S ifadesindeki genişletilmiş reel sayıların bir kullanılışı şöyledir. Eğer S kümesi üstsınıra sahip boş olmayan bir reel sayı kümesi ise sup S i S kümesinin en küçük üst sınırı olaraktanımlıyoruz. Eğer S in üst sınırı yoksa, sup S= ∞ yazarız. sup S boş olmayan bütün alt kümeleriçin tanımlıdır, eğer sup φ = - ∞ olarak tanımlarsak, bu takdirde E nin her bir elemanına eşit ya dabüyük olan en küçük genişletilmiş reel sayıyı sup E olarak tanımlarız. Benzer uyarlamalar inf Siçin yapılır.Değerleri genişletilmiş reel sayılar kümesinde olan bir fonksiyona genişletilmiş reel değerlifonksiyon denir.4 Reel Sayı DizileriBir (x n ) reel sayı dizisi 2 ile her bir n doğal sayısını bir x n reel sayısına dönüştüren birfonksiyonu kastedeceğiz. Eğer her ∈ pozitif sayısı için n ≥ N olduğunda x n − l 0 ) (∃ N) (n≥N) ( x n − l

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıise (x n ) dizisi bir Cauchy dizisidir.Cauchy kriteri bir reel sayı dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşulun Cauchy dizisi olmasıolduğunu ifade eder (Problem 10 a bakınız.). Bir dizinin bu limit kavramını ∞ ı içine alacak şekildeaşağıdaki biçimde genelleştiriyoruz: Verilen ∆ için n ≥ N olduğunda x n >∆ elde edeceğimizşekilde bir N varsa lim x n =∞ dır. Bir dizinin limiti varsa diziye yakınsaktır denir. Bu tanım ikianlamlıdır. Bu anlam dizinin limitinin bir reel sayı olmasına ya da bir genelleştirilmiş reel sayıolmasına bağlıdır. Analiz çalışmalarının çoğunda limitin bir reel sayı olmasını gerektirenyakınsaklığın kısıtlamalı tanımını kullanmak daha alışıldıktır ancak biz önümüzdeki birkaç bölümde± ∞ sembollerini anladığımız şekilde kullanmayı mümkün kılmayı uygun bulacağız. Limitin ikikavramı arasındaki farkı ayırt etmek istediğimiz bu gibi önemli durumlarda bir reel sayıya yakınsarya da genelleştirilmiş reel sayılar kümesinde yakınsar şeklindeki ifadeler ile açıkça belirtmeyeçalışacağız. Eğer l = lim xnise çoğu zaman x n →l yazarız. Eğer, ek olarak, (x n ) monoton ise ,yani, x n ≤ x n+1 ise x n ↑ l yazarız. Reel sayı olması durumunda limit tanımını aşağıdaki şekildeaçıklayabiliriz.: Eğer verilen ∈>0 için, (x n ) dizisinin terimlerinin sonlu sayıdakiler dışındakiler lnin ∈ komşuluğunda bulunuyorsa l ye (x n ) dizisinin limitidir denir.Daha zayıf bir durum l nin∈ komşuluğunda dizinin sonsuz çoklukta teriminin bulunması durumudur. Bu durumda l ye (x n )dizisinin değme noktasıdır denir. Buna göre eğer verilen ∈>0 için, ve verilen her N içinx n − l 0 için k≥nolduğunda bütün k≥n için x k < l +∈ olacak şekilde ∃ n vardır, ve (ii) verilen ∈>0 için ve niçin x k > l -∈ olacak şekilde ∃ k ≥ n vardır. ∞ genişletilmiş reel sayısının bir (x n ) dizisinin limitsuperiörü olması için gerek ve yeter koşul verilen ∆ ve n için x k > ∆ olacak şekilde bir k≥ n invar olmasıdır. Genişletilmiş reel sayısı - ∞ un bir (x n ) dizisinin limit superiörü olması için gerek veyeter koşul -∞ =lim x n olmasıdır.Limit inferiör tanımınıProf.Dr.Hüseyin Çakallı 31

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallılim x n = supninfk≥nx kile tanımlanır.lim - x n = −limx n ve lim x n ≤ lim x ndir. Bir (x n ) dizisinin bir genişletilmiş l sayısına yakınsak olması için gerek ve yeter koşullim x = lim olmasıdır. Eğer (x n ) ve (y n ) iki dizi ise aşağıdakileri elde ederiz.lim xn x nn+ lim yn≤ lim (xn+ yn) ≤lim xn+ lim yn≤≤ lim (xProblemler6. Her dizinin en fazla bir limite sahip olduğunu ispat ediniz.n+ yn) ≤ lim xn+ lim y7. l nin bir (x n ) dizisinin değme noktası olması için gerek ve yeter koşul l ye yakınsayan bir(xn j) alt dizisinin var olmasıdır.8. a. lim xndeğerinin (x n ) dizisinin en büyük değme noktası ve lim x n değerinin (x n )dizisinin en küçük değme noktası olduğunu gösteriniz.b. Sınırlı her dizinin bir reel sayıya yakınsayan bir alt diziye sahip olduğunu ispat ediniz.9. Bir (x n ) dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul dizinin değme noktası olan yalnız biradet genelleştirilmiş reel sayının var olmasıdır.10.a.Bir l reel sayısına yakınsayan (x n ) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu ispat ediniz.b.Her Cauchy dizisinin sınırlı olduğunu ispat ediniz.c.Bir Cauchy dizisinin bir alt dizisi bir l ye yakınsıyorsa orijinal dizinin de l ye yakınsadığınıispat ediniz.d. Cauchy kriterini kurunuz: (x n ) dizisinin bir Cauchy dizisi olması için gerek ve yeter koşul (x n )dizisinin yakınsadığı bir l sayısının var olmasıdır.11. x = lim x n olması için gerek ve yeter koşulun (x n ) dizisinin her alt dizisinin x e yakınsayanbir alt diziye sahip olması olduğunu ispat ediniz.12. Bir l sayısının bir (x n ) dizisinin limit superiörü olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki ikiözelliğin sağlanmasıdır. (i) Verilen her ∈>0 , bütün k≥n özelliğini sağlayan k lar için x k < l + ∈olacak şekilde ∃ n vardır. Ve (ii) Verilen her ∈>0 ve n için x k > l − ∈ olacak şekilde ∃ k≥nvardır.Çözüm: ⇒ : lim x n = infnsupk≥nx k = l olsun. Önce (i) i gösterelim. Herhangi bir ε > 0verilsin.Her n doğal sayısı içintanımından,sup x kk ≥n= andersek,= infa≤ al n n n dir. En büyük alt sınıra < l + ε olacak şekilde ∃ n o ∈IN in varlığı elde edilir. ⇒nonProf.Dr.Hüseyin Çakallı 32

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıan = sup x k < l + ε ⇒ k≥n o için x k < l + ε olacak şekilde bir n o doğal sayıok≥n obulunmuş olur.Şimdi de (ii) nin sağlandığını gösterelim. Herhangi bir ε > 0 verilsin. Her n doğal sayısı içinsup x k = a nk ≥nvea n ≥ l olduğundan, sup x ≥ l dir. En küçük üst sınır tanımından, ∃k ≥nk∈IN vardır öyle ki, k≥n ve x k > l − ε dır. O halde (ii) de gerçeklenmiş olur.⇐ : (i) ve (ii) nin sağlandığını kabul edelim. lim x n = infnsupk≥nx k = l olduğunugöstereceğiz. (i) denkεsup x k ≤ l + olacak şekilde en az bir n∈IN vardır. (ii) denk ≥n2εsup x k > l − elde edilir. Çünkü; ∃ k≥n içink ≥n2için deεsup x k > l − olur. Böylecek ≥n2εεl − < sup x k ≤ l + ⇒2 k ≥n2εx k > l − den, x k ların en küçük üst sınırı2εεl − < inf n sup x k ≤ l + ⇒2 k ≥n2l − ε < inf n sup xk< l + ε elde edilir. ε>0 keyfi olduğundan, lim x n = infnsupk≥nx k = lk ≥nelde edilir.13. lim x n = ∞ olması için gerek ve yeter koşul verilen ∆ ve n için x k >∆ olacak şekilde∃k≥n nın var olması olduğunu ispat ediniz.14. lim x n ≤ lim x n olduğunu ve lim x n = lim x n olması için gerek ve yeter koşulunl = lim x n olması olduğunu ispat ediniz.15. Sağ ve sol taraflar ∞-∞ şeklinde olmadığı zamanlim x n + lim yn≤ lim (x n + y n ) ≤ lim x n + lim yn≤ lim x n + lim ynolduğunu ispat ediniz.16. Sağ ve sol taraflar 0.∞ şeklinde olmadığı zaman x n ≥0 ve y n ≥0 iselim (x n . yn) ≤ lim (x n ).lim ( yn)olduğunu ispat ediniz.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 33

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı{I x } sınıfının elemanı olan farklı iki aralık ayrıktır. Böylece A kümesi açık aralıklarınayrık {I x } sınıfının birleşimidir ve tek ispatlanması gereken şey bu sınıfın sayılabilirolduğunu göstermektir. Arşimet aksiyomunun sonucundan dolayı, her bir açık aralık birrasyonel sayı içerir. Elimizde açık aralıkların ayrık bir sınıfı var olduğundan, ve her bir açıkaralık farklı bir rasyonel sayı içerdiğinden, dolayı, bu sınıf ile rasyonel sayılar kümesinin biralt kümesi birebir eşlenebilir. Böylece bu sınıf sayılabilir bir sınıftır.9.Önerme (Lindelöf): Reel sayılar kümesinin açık alt kümelerinin bir topluluğu α olsun. ButakdirdeU OO∈α∞= U O ii=1olacak şekilde α sınıfının sayılabilir bir {O i } alt sınıfı vardır.İspat. U = U { O :O ∈α}ve x∈U olsun. Bu takdirde x∈O özelliğine sahip bir O∈αvardır. O açık olduğundan, x∈I x ⊂O olacak şekilde bir I x açık aralığı vardır. Sonuç 4den x∈J x ⊂I x olacak şekilde rasyonel uç noktalarına sahip bir J x açık aralığı bulabiliriz.Rasyonel uç noktalara sahip bütün açık aralıkların topluluğu sayılabilir olduğundan dolayı,{J x : x∈U } sınıfı sayılabilirdir ve U= UJ xx∈Udir. {J x } sınıfındaki her bir aralık için oaralığı kapsayan α nın elemanı olan bir O kümesi seçelim. Bu bize∞= O ii=1U U olacakşekilde α nın sayılabilir bir{ i} i∞ =1O alt sınıfını verir.Kapalı aralık kavramının genelleştirmesi olan kapalı küme kavramını da inceleyeceğiz.Tanım: Eğer her δ>0 için x − y < δ olacak şekilde bir y∈E varsa x reel sayısına Ekümesinin bir değme noktası( kapanış noktası) adı verilir. Bu ise her δ>0 için]x-δ,x+δ[∩E≠φ oluyor demeye eşdeğerdir. E kümesinin her bir noktasının E nin değmenoktası olduğu aşikardır. E kümesinin değme noktaları kümesini E ile gösteriyoruz. BunagöreE ⊂ E dır.10. Önerme A⊂B ise A ⊂ B dır. Aynı zamanda A ∪ B = A ∪ B dır.İspat. İlk kısım değme noktası tanımından hemen elde edilir. A⊂A∪B olduğundan,A ⊂ A ∪ B dır. Benzer şekilde B⊂A∪B olduğundan, B ⊂ A ∪ B dır. BöyleceA ∪ B ⊂ A ∪ B bulunur. A ∪ B ⊂ A ∪ B olduğunu göstermek için bunun eşdeğeri olantt( A ∪ B)⊂ ( A ∪ B)olduğunu göstereceğiz. Bunun için herhangi birx ∈ ( A ∪ B)tProf.Dr.Hüseyin Çakallı 38

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıalalım. Bu takdirde x ∉ ( A ∪ B)dır. Bu takdirde x ∉ A ve x ∉ B dır. Değme noktasıolmamadan dolayı,olmasını vex ∉ A olması ]x-δ 1 , x+δ 1 [ ∩A=φ olacak şekilde bir δ 1 >0 ın varx ∉ B olması ]x-δ 2 , x+δ 2 [ ∩B=φ olacak şekilde bir δ 2 >0 ın var olmasınıgerektirir. δ=δ 1 ∧δ 2 = min{δ 1 , δ 2 } yazalım. Bu takdirde ]x-δ, x+δ[ ∩(A∪B)=φ olur.Gerçekten;dır. ;]x-δ, x+δ[ ∩(A∪B)= (]x-δ, x+δ[ ∩A)∪( ]x-δ, x+δ[ ∩B)⊂⊂(]x-δ 1 , x+δ 1 [ ∩A)∪( ]x-δ 2 , x+δ 2 [ ∩B)=φ∪φ=φ]x-δ, x+δ[ ∩(A∪B)= Φ dır. Dolayısıyla x reel sayısı A∪B kümesinin birdeğme noktası değildir. ⇒ x ∉ ( A ∪ B)dir. ⇒tx ∈ ( A ∪ B)dir. Böylecett( A ∪ B)⊂ ( A ∪ B)olduğunu göstermiş olduk. Bu da önermenin ispatını tamamlar.Tanım: EğerF = F oluyorsa F kümesine kapalıdır denir.Her zamanF ⊂ F olduğundan , eğer F ⊂ F oluyorsa, yani eğer F bütün kendideğme noktalarını içerirse, F kümesine kapalıdır denir. Boş küme, φ , ve bütün reelsayıların oluşturduğu IR kümesi kapalıdır. [a,b] ve [a,∞[ kapalı aralıkları kapalıdır.Alışıldığı üzere kapalı kümeleri F harfini (Fransızca, fermé ) kullanarak göstereceğiz.11. Önerme: Her E kümesi için E kümesi kapalıdır; yani E = E dır.İspat. E ın kapanışının herhangi bir noktası x olsun. Bu takdirde verilen δ>0 içinδx − y < özelliğine sahip bir y ∈ E vardır. y ∈ E olduğundan2özelliğine sahip bir z∈E vardır. Böylecey − zδ0 için,x − y < δ olacak şekilde bir y∈∩{F:F∈α} vardır. Bu özelliğe sahip y her bir F∈αProf.Dr.Hüseyin Çakallı 39

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıya ait olduğundan dolayı, x noktasının her bir F∈α nın bir değme noktası olduğunugörürüz. Her bir F kapalı olduğundan, α daki her bir F için x∈F elde ederiz. Buradan,x∈∩{F:F∈α} buluruz.14.Önerme: Açık bir kümenin tümleyeni kapalıdır ve kapalı bir kümenin tümleyeni açıktır.İspat. A açık bir küme olsun. Eğer x∈A ise, x − y < δ olduğunda y∈A olacak şekildebir δ>0 vardır. Buradanx − y < δ özelliğine sahip hiçbir y∈A t olmadığından, dolayı,x noktası A t nin bir değme noktası olamaz. Böylece de A t kümesi bütün değmenoktalarını içerir, dolayısıyla kapalıdır.Diğer taraftan F kapalı olsun ve x∈F t alalım. x noktası F nin bir değme noktasıolmadığından,Buradan eğerx − y < δ özelliğine sahip hiçbir y∈F olmayacak şekilde bir δ>0 vardır.x − y < δ ise y∈F t dir. Böylece F t kümesi açık olur.Eğer F⊂∪{A:A∈α} ise kümelerin α topluluğuna F nin bir örtüsü denir. Eğer her birA∈α açık ise α ya F in bir açık örtüsü denir. Eğer α yalnız sonlu sayıda kümelerdenoluşuyorsa, α ya sonlu örtü denir. Bu terminoloji tutarsızdır: sonlu örtü ifadesinde sonlusıfatı sınıfla, toplulukla ilgilidir ve sınıftaki kümelerin sonlu kümeler olmasını gerektirmez.Bundan dolayı, “açık örtü” ifadesi lisanı kötü kullanmaktır ve doğru olarak söylemekgerekirse “açık kümelerin örtüsü” denmelidir. Maalesef, şimdiye kadar ki terminolojimatematikte oldukça oturmuş ve yerleşmiş bir ifadedir. Bu terminoloji ile aşağıdaki teoremiifade ediyoruz:15. Teorem (Heine-Borel) Reel sayılar kümesinin sınırlı ve kapalı boş olmayan bir alt kümesiF olsun. Bu takdirde F nin her bir açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır. Yani,F⊂∪{A:A∈α}nolacak şekilde açık kümelerin bir topluluğu α ise F⊂ UA ii=1olacakşekilde α sınıfının elemanlarından oluşan sonlu bir {A 1 , A 2 , ...,A n } topluluğu vardır.İspat. Önce F nin -∞ < a< b < ∞ olmak üzere [a,b] kapalı aralığı olması halini gözönüne alalım. [a,x] aralığı α nın elemanlarının sonlu sayıdakileri ile örtülebilecek şekildekibütün x≤b sayılarının kümesi E olsun. E kümesi b ile üstten sınırlıdır, dolayısıyla üstsınırlarının bir c en küçüğü vardır. c ∈[a,b] olduğundan, c yi içeren bir O∈α vardır. Oaçık olduğundan, ]c-ε, c+ε[ aralığı O tarafından kapsanacak şekilde bir ε>0 vardır. c -εsayısı E kümesi için bir üst sınır olmadığından dolayı, x>c-ε özelliğine sahip bir x∈Evar olmalıdır. x ∈E olduğundan α nın elemanlarının [a,x] aralığını örten sonlu birProf.Dr.Hüseyin Çakallı 40

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı{O 1 ,O 2 ,...,O k } topluluğu vardır. Bunun sonucu olarak, sonlu {O 1 ,O 2 ,...,O k , O} topluluğu[a,c+ε[ aralığını örter. Böylece [c,c+ε[ un b den küçük ya da b ye eşit olan her birnoktası E kümesinde olacaktır. [c,c+ε[ nun c den başka hiçbir noktası E ye aitolamayacağından, c=b ve b∈E elde etmeliyiz. Böylece [a,b] aralığı α nınelemanlarının sonlu sayıdakileri tarafından örtülebilir dolayısıyla, özel halde ispat yapılmışolur.Şimdi F kümesi herhangi bir kapalı ve sınırlı küme ve F in herhangi bir açık örtüsü αolsun. F kümesi sınırlı olduğundan, bir [a,b] kapalı ve sınırlı aralığı tarafından kapsanır. αsınıfına F t kümesini ekleyerek elde edilen sınıfı α ∗ ile gösterelim, yani, α ∗ =α∪{F t }yazalım. F kapalı olduğundan, F t açıktır, ve α ∗ sınıfı açık kümelerin bir sınıfıdır.Hipotezden F⊂∪{O:O∈α} dır ve dolayısıyla, IR=F t ∪F⊂F t ∪{O:O∈α}=∪{O:O∈α}dir.Böylece α ∗ sınıfı IR nin bir açık örtüsü dolayısıyla [a,b] nin bir açık örtüsü olur. Birönceki ispatladığımız özel durumdan dolayı, α ∗ sınıfının [a,b] kapalı aralığını dolayısıylaF yi örten sonlu bir alt sınıfı vardır. Eğer bu sonlu alt sınıf F t kümesini içermiyorsa, butakdirde α nın bir alt sınıfıdır ve dolayısıyla, teoremimizin iddiası doğrudur. Eğer bu altsınıf F t kümesini içeriyorsa o alt sınıfı {O 1 ,O 2 ,...,O n ,F t } ile gösterelim. Bu takdirdeF⊂F t ∪O 1 ∪O 2 ∪...∪O n olur. F kümesinin hiçbir noktası F t kümesinde bulunmadığından,F⊂O 1 ∪O 2 ∪...∪O n elde ederiz ve {O 1 ,O 2 ,...,O n } sınıfı α sınıfının F kümesini örtensonlu bir alt sınıfıdır.16. Önerme: α nın her sonlu alt örtüsü boş olmayan bir arakesite sahip olması özelliğinesahip reel sayılar kümesinin boş olmayan kapalı alt kümelerinin bir topluluğu α olsun ve αnın elemanlarından birinin sınırlı olduğunu kabul edelim. Bu takdirde I F ≠ φ dır.F∈α Problemler23. Rasyonel sayılar kümesi açık mıdır? Kapalı mıdır?24. Reel sayılar kümesinin hem açık hem de kapalı olan alt kümeleri nelerdir?Çözüm. IR reel sayılar kümesinin hem açık hem de kapalı alt kümeleri IR ve φdır.25. A∩B=φ ve A ∩ B ≠ φ olacak şekilde A ve B kümeleri bulunuz.Çözüm. A=]0,1[ , B=]1,2[ alırsak, A∩B=φ olup, A = [0,1], B = [1,2 ]olduğundan,A ∩ B = {1 } ≠ φ dır.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 41

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı26. x in E kümesinin bir değme noktası olması için gerek ve yeter koşul her n∈INiçin y n ∈E ve x=lim y n olacak şekilde bir (y n ) dizisinin var olmasıdır.27. Eğer bir x sayısı E∼{x} kümesinin bir değme noktası ise x sayısına Ekümesinin bir yığılma noktası denir. E nin yığılma noktaları kümesi E′ ilegösterildiğine göre E′ nün kapalı bir küme olduğunu ispat ediniz.28. E = E ∪ E′olduğunu ispat ediniz.29. Eğer E∩E′=φ oluyorsa E kümesine izole küme ( isolated set) denir. Reel sayılarkümesinin her izole alt kümesinin sayılabilir olduğunu ispat ediniz. (Çözüm.E∩E′=φ olsun. herhangi bir e∈E alalım. E∩E′=φ ve e∈E olduğundan e∉E′dir, dolayısıyla e noktası E nin yığılma noktası değildir ve dolayısıyla, {e}=U e ∩Eolacak şekilde e nin en az bir U e açık komşuluğu vardır. O halde E kümesi IRreel sayılar kümesinin alışılmış topolojisine göre alt uzay olarak diskret topolojiyesahiptir. IR ikinci sayılabilir olduğundan sayılabilir bir bazı vardır, dolayısıyla Enin bünyesel topolojisinin de sayılabilir bazı vardır. {{e}:e∈E} sınıfı E nin birbazı olduğundan sayılabilirdir. )30. D = IR oluyorsa D kümesine IR de her yerde yoğun (ya da yoğun) küme denir.31. Önerme 5, 7 ve 14 ü kullanarak, Önerme 12 ve Önerme 13 ü ispat ediniz.32. Önerme 12, 13 ve 14 ü kullanarak, Önerme 5 ve Önerme 7 yi ispat ediniz.33. ]x-δ,x+δ[ aralığı A kümesi tarafından kapsanacak şekilde bir δ>0 sayısı varsa xnoktasına A kümesinin bir iç noktasıdır denir. A kümesinin bütün iç noktalarıkümesi A o ile gösterilir. Aşağıdakileri ispat ediniz.a . Bir A kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul A=A o olmasıdır.b.o t tA = [A ]34. Önerme 16 yı De Morgan kurallarını kullanarak, Heine-Borel teoreminden eldeediniz.35. Reel sayılar kümesinin F n+1 ⊂F n özelliğine sahip boş olmayan kapalı altkümelerinin bir dizisi (F n ) olsun. Eğer F n kümelerinden bir tanesi sınırlı ise, butakdirde∞Ii=1F ≠ φ dir ispat ediniz. Eğer kümelerden hiç biri sınırlı değilse buisonucun doğru olmadığına dair bir örnek veriniz.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 42

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıÇözüm: Eğer her n∈IN için F n =[n,+∞[ alırsak, her bir F n kümesi IR nin kapalı altkümeleridir ve∞I F nn = 1= φ36. Cantor ternary set (Cantor üçlü kümesi)Cantor KümesiS o =[0,1] yazalım. S o dan ortadaki üçte bir açık aralığı çıkaralım. S 1 kümesi her biri 1/3uzunluğa sahip iki kapalı aralıktan oluşmaktadır. S 1 =[0,1]∼]1/3 , 2/3[=[0, 1/3]∪[2/3 , 1] dir.Şimdi S 1 deki iki aralığın her birinin üçte bir açık aralığını çıkaralım.S 2 =[0,1/9]∪[2/9 , 3/9]∪[6/9, 7/9]∪[8/9,1]olur. Benzer şekilde devam ederek, S j deki her bir kapalı aralıktan üçte bir açık aralıklarıçıkartarak S j+1 kümesini oluşturalım. Cantor kümesini C=∩ ∞ j=1S j olarak tanımlıyoruz.Her bir S j kapalı ve sınırlı olduğunu dolayısıyla kompakt olduğunu görüyoruz. Dolayısıylaboş olmayan kompakt reel sayı kümelerinin iç içe küme dizisinin arakesiti boş olmayan birküme olacağından dolayı C≠φ dır. Kapalıların herhangi bir kesişimi kapalı olacağındandolayı C Cantor kümesi kapalıdır ve ayrıca sınırlıdır. Kapalı ve sınırlı her küme kompaktolduğundan C Cantor kümesi kompakttır.Cantor Kümesi sayılamazİspat. Cantor kümesinin her bir elemanına terimleri 0 ve 1 lerden meydana gelen bir diziyieşleyebiliriz. Herhangi bir x∈C=∩ ∞ j=1S j alalım. x sayısına terimleri 0 ile 1 lerdenoluşan sonsuz bir dizi eşleyeceğiz. x∈∩ ∞ j=1S j dir. Her j∈IN için x∈S j dir. x∈S 1 dir.Eğer x sayısı S 1 in sol yarısında ise dizinin birinci terimi 0 olsun eğer x sayısı S 1kümesinin sağ yarısında ise dizinin birinci terimi 1 olsun. x∈S 2 dir. Bu takdirde eğerdizimizin birinci terimi ilk adımda 0 olarak alındıysa x sayısı S 2 kümesinin sol yarısıS 21 de ve eğer dizimizin birinci terimi ilk adımda 1 olarak alındıysa x sayısı S 2kümesinin sağ yarısı S 22 dedir. Bu durumlardan hangi durum olursa olsun bu yarımuzunluğu 3 -2 olan iki aralıktan ibarettir. Eğer x sayısı bu iki aralıktan çoğunun solundaise dizinin ikinci terimini 0 olarak alalım aksi takdirde 1 alalım. Bu şekilde devamederek bütün terimleri 0 ile 1 lerden meydana gelen bir dizi elde ederiz. x sayısını budiziye eşleyelim. C nin her bir elemanını bu şekilde bir diziye eşleyebiliriz. Bütün terimleri0 ile 1 lerden meydana gelen tüm dizilerin kümesi sayılamaz olduğundan C Cantorkümesi sayılamazdır.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 43

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı37. Cantor kümesinin [0,1] aralığı ile birebir eşlenebileceğini gösteriniz.38. Cantor kümesinin yığılma noktaları kümesinin yine Cantor kümesi olduğunugösteriniz.Cantor kümesi mükemmeldir ( Cantor set is perfect)Eğer reel sayılar kümesinin bir alt kümesi kapalı ve her noktası kendisinin yığılma noktası isemükemmel küme denir. Bu tanıma göre mükemmel kümenin ayrılmış noktası yoktur.Örneğin [0,1] aralığı kapalı ve her bir noktası yığılma noktası olduğundan mükemmeldir.Cantor kümesinin mükemmel olduğunu göstereceğiz. Cantor kümesini nasıl oluşturduğumuzuhatırlayalım.Kapalıların herhangi bir kesişimi kapalı olacağından dolayı C Cantor kümesi kapalıdır veayrıca sınırlıdır. Kapalı ve sınırlı her küme kompakt olduğundan C Cantor kümesikompakttır.Problem Cantor kümesi mükemmeldir.İspat. Cantor kümesi kapalı kümelerin arakesiti olduğundan ve kapalıların her hangitopluluğun arakesiti kapalı olduğundan dolayı, Cantor kümesi kapalı bir kümedir. ŞimdiCantor kümesinin her noktasının yığılma noktası olduğunu göstereceğiz. Herhangi bir x∈Calalım. x∈S 1 dir. Bu takdirde x sayısı S 1 kümesini oluşturan iki aralıktan birindedir. xsayısı S 1 yi meydana getiren bu aralıklardan ait olduğu aralığın uç noktalarından en azındanbirisinin (belki de her ikisinin de) uç noktasına eşit değildir. Bu eşit olmayan uç noktaya a 1diyelim. x ∈ S2dir. x sayısı S 2 kümesini meydana getiren aralıklardan birisindedir. .x sayısı S 2 yi meydana getiren bu aralıklardan ait olduğu aralığın uç noktalarından enazından birisinin (belki de her ikisinin de) uç noktasına eşit değildir. Bu uç noktaya a 2diyelim. Böyle devam ederek bir (a j ) dizisi elde ederiz. Bu dizinin her bir terimi Cantor1kümesinin elemanıdır. Ayrıca her j∈IN için x - a j ≤ dir. O halde x sayısı buj3dizinin limitidir, dolayısıyla x sayısı Cantor kümesinin bir yığılma noktasıdır. x sayısıCantor kümesinin rast gele bir elemanı olduğundan Cantor kümesinin her noktası yığılmanoktasıdır. O halde Cantor kümesi mükemmeldir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 44

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı6.Sürekli FonksiyonlarReel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan bir E kümesi tanım kümesi olan reel değerlibir fonksiyon f olsun. Eğer her ε>0 için x − y < δ özelliğine sahip E deki bütüny ler içinf ( x ) − f ( y)< ε oluyorsa f fonksiyonuna E nin x noktasında süreklidirdenir. Eğer E nin bir A alt kümesinin her bir noktasında sürekli ise f fonksiyonunaA üzerinde süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu tanım kümesi üzerinde sürekli isesadece f süreklidir diyoruz.17.Önerme: Kapalı ve sınırlı bir F kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli reel değerli birfonksiyon f olsun. Bu takdirde f fonksiyonu F üzerinde sınırlıdır ve F üzerindemaksimumve minimumunu alır; yani F deki bütün x ler için f(x 1 )≤f(x)≤f(x 2 ) olacakşekilde F nin x 1 ve x 2 noktaları vardır.İspat. İlk önce f fonksiyonunun F kümesi üzerinde sınırlı olduğunu göstereceğiz. ffonksiyonu F üzerinde sürekli olduğundan, her bir x∈F için y∈I x ∩F içinf(y) - f(x)< 1 olacak şekilde x i içeren bir I x açık aralığı vardır. Böylece y∈I x ∩Fiçin f(y) ≤ f(x) + 1 elde ederiz ve dolayısıyla f in I x de sınırlı olduğunu eldeederiz. {I x :x∈F} sınıfı, açık aralıkların F yi örten bir sınıfıdır, dolayısıyla Heine-Borelteoreminden F yi örten bir {I x , I ,..., I } alt sınıfı vardır.1x 2x nM=1+max[ ( x ) , f ( x ) ,..., f ( x )f 1 2 n] yazalım. Bu takdirde F deki her bir y altsınıftaki birI aralığına ait olur, ki buradan f(y) < 1+f(x k ) ≤ M olur. Bu fx kfonksiyonunun F üzerinde (M ile) sınırlı olduğunu gösterir.f fonksiyonunun F üzerinde maksimumunu aldığını göstermek içinm = sup f(x) yazalım. f fonksiyonu sınırlı olduğundan, m sonludur ve bizimx∈Famacımız, f(x 1 )=m olacak şekilde bir x 1 ∈F nin var olduğunu göstermektir.Varsayalım ki böyle olmasın. Bu takdirde her x∈F için f(x)

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıf fonksiyonunun F üzerinde minimumunu aldığını göstermek için n = inf f(x)x∈Fyazalım. f fonksiyonu sınırlı olduğundan, m sonludur ve bizim amacımız, f(x 1 )=nolacak şekilde bir x 1 ∈F nin var olduğunu göstermektir. Varsayalım ki böyle olmasın.Bu takdirde her x∈F için f(x)>n dir süreklilikten dolayı, her y∈I x ∩F içinf(y)>(f(x)+n)/2 olacak şekilde x i içeren bir I x açık aralığı vardır. Heine-Borelteoremini kullanarak, bu aralıklardan F i örten sonlu bir {I x ,..., I } sınıfı vardır.β = min[f(x1),...,f(xn )] yazalım. Bu takdirde her bir y∈F en az bir1x nI x aralığınakaittir ve (β+n)/2 < [f(x k )+n]/2≤ f(y) dir. Böylece (β+n)/2 sayısı f in F üzerinde biralt sınırı olur. Fakat (β+n)/2>n olduğundan bu imkansızdır. Sonuç olarak, f(x 2 )=nolacak şekilde bir x 2 vardır. O halde f bir x 2 noktasında minimumunu alır.18. Önerme : ]-∞ , ∞[ üzerinde tanımlı reel değerli bir fonksiyon f olsun. Bu takdirdef in sürekli olması için gerek ve yeter koşul reel sayılar kümesinin her açık alt kümesi Anın ters görüntüsü f -1 (A) kümesinin açık küme olmasıdır.İspat. Reel sayılar kümesinin her açık alt kümesi A nın ters görüntüsü f -1 (A)kümesinin açık küme olduğunu kabul edelim. Bu takdirde verilen her ε>0 içinI=]f(x)-ε,f(x)+ε[ aralığı açık bir kümedir ve dolayısıyla f -1 (I) ters görüntü kümesiaçık olmalıdır. x∈ f -1 (I) olduğundan, ]x-δ, x+δ[ ⊂ f -1 (I) olacak şekilde bir δ>0var olmalıdır. Ancak buy - x < δ olduğunda f(y)∈]f(x)-ε , f(x)+ε [ olmasınıgerektirir yani, f(x) - f(y) 0 vardır. f fonksiyonu x noktasında sürekli olduğundan, x - y < δ içinf(x) - f(y) < ε olacak şekilde bir δ>0 vardır. Böylece her bir y∈]x-δ,x+δ[ içinf(y)∈]f(x)-ε,f(x+ε[⊂A olur. Dolayısıyla, ]x-δ,x+δ[⊂f -1 (A) olur ve böylece f -1 (A)açık olur.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 46

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıTanım.(Düzgün Süreklilik) Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesinden IR ye bir fonksiyon folsun. Eğer her ε>0 için ⏐x-y⏐< δ ve x,yεE olduğunda ⏐f(x)-f(y)⏐< ε olacak şekilde, ε a bağlı,bir δ>0 sayısı bulunabiliyorsa f fonksiyonuna E üzerinde düzgün süreklidir denir.Bu tanıma göre düzgün sürekli her fonksiyon süreklidir. Ancak sürekli her fonksiyonher zaman düzgün sürekli olmak zorunda değildir.Örnek. Her x∈IR için f(x)=x 2 şeklinde tanımlanan f fonksiyonu IR üzerindesüreklidir fakat düzgün sürekli değildir. Gerçekten; f(x)=x 2 fonksiyonunun IR üzerindedüzgün sürekli olduğunu varsayalım. Bu takdirde her ε>0 için ⏐x-y⏐< δ olduğunda⏐f(x)-f(y)⏐< ε olacak şekilde bir δ>0 vardır. Özel olarak ε=1 sayısı için de ⏐x-y⏐< δ,olduğunda ⏐f(x)-f(y)⏐< 1 olacak şekilde bir δ>0 sayısı vardır. n→∞ iken nδ 1 + ( δ1 ) 2 → + ∞2olduğundan n ≥ n 2 olduğunda nδ 1 + ( δ 1 ) 2 > 2 olacak şekilde bir n 2 ∈IN vardır, dolayısıyla2n 2 δ ı + ( δ 1 ) 2δ>2 olur. Şimdi x= n 2 + 1δ ve y=n2 yazalım. Bu takdirde ⏐x-y⏐= ⏐(n 2 +1 )-n2 ⏐=22 2δ⏐1 δ ⏐ =1 < δı olur fakat2 2δ1δ⏐f(x)-f(y)⏐= ⏐f(n 2 + )-1 2 f(n2 )⏐= ⏐(n 2 + ) - n 2 2⏐2 2δ= ⏐ n 2 2+ n 2 δ 1 + ( 1)2 -n 2 2⏐= ⏐n 2 δ 1 +2( δ1 ) 2 ⏐2= n 2 δ 1 +( δ 1 ) 2 > 2 >12yani ⏐f(x)-f(y)⏐>1 olur. Bu ise çelişkidir. Bu çelişkiye f in IR üzerinde düzgün sürekliolduğunu varsayarak düştük. O halde f(x)=x 2 fonksiyonu IR üzerinde düzgün sürekli değildir.Örnek . Her x ∈[0,1] için f(x)= x 2şeklinde tanımlanan f fonksiyonu [0,1] aralığıüzerinde düzgün süreklidir. Her ε>0 için δ = ε 2 alırsak⏐x-y⏐< δ ve x,y ε [0,1] olduğundaProf.Dr.Hüseyin Çakallı 47

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı⏐f(x)-f(y)⏐= ⏐x 2 -y 2 ⏐= ⏐(x-y) (x+y)⏐= ⏐x-y⏐. ⏐x+y⏐≤ ⏐x-y⏐(⏐x⏐+ ⏐y⏐)≤ 2. ε ε2 =olur, dolayısıyla f(x)= x 2 fonksiyonu [0,1] üzerinde düzgün süreklidir.Yukarıdaki iki örnekten de gördüğümüz gibi f(x)=x 2 fonksiyonu her sınırlı kapalı veyaaçık aralıkda düzgün süreklidir fakat IR üzerinde düzgün sürekli değildir, ama IR de sürekliolduğunu biliyoruz.Örnek. Her x∈]0,1[ için f(x)= 1 xile tanımlanan f fonksiyonu ]0,1[ aralığı üzerindedüzgün sürekli değildir.f fonksiyonunun ]0,1[ üzerinde düzgün sürekli olduğunu varsayalım. Bu takdirde ε=1sayısı için⏐x-y⏐< δ 1 ve x,y ∈]0,1[ olduğunda⏐f(x)-f(y)⏐< 1 olacak şekilde bir δ 1 >0 vardır. δ=min{ 1 ,δ1} yazalım. Bu takdirde2⏐x-y⏐< δ ve x,y ∈]0,1[ olduğunda ⏐f(x)-f(y)⏐< 1 olur. Şimdi x=δ ve y= δ 2yazalım. Butakdirde x,y ∈]0,1[ ve ⏐x-y⏐= ⏐δ - δ 2 ⏐= ⏐ δ 2 ⏐= δ 2 < δ dır, fakat ⏐f(x)-f(y)⏐= ⏐f(δ)-f( δ 2 )⏐=⏐ 1 −1 ⏐δ δ /21 2= ⏐−δ δ ⏐= ⏐- 1 δ ⏐= 1 δ > 1= 2 > 1 bulunur. Bu bir çelişkidir. Bu çelişkiye f in1/2]0,1[ üzerinde düzgün sürekli olduğunu varsayarak düştük. O halde f(x)= 1 xfonksiyonu ]0,1[üzerinde düzgün sürekli değildir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 48

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıTeorem : Reel sayılar kümesinin bir E altkümesinden IR ye f ve g fonksiyonları verilsinve α da herhangi bir sabit reel sayı olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır:(a) f ile g E üzerinde düzgün sürekli ise f+g ve f-g fonksiyonları da E üzerinde düzgünsüreklidir.(b) f fonksiyonu E üzerinde düzgün sürekli ise αf fonksiyonu da E üzerinde düzgünsüreklidir.(c) f ile g fonksiyonları E üzerinde düzgün sürekli ve sınırlı ise f.g fonksiyonu da Eüzerinde düzgün süreklidir.İspat.(a) f ile g E üzerinde düzgün sürekli olsun. f+g nin E üzerinde düzgün sürekli olduğunugöstermek için herhangi bir ε>0 alalım. f fonksiyonu E üzerinde düzgün sürekli olduğundanε> 0 için ⏐x-y⏐< δ ı ve x,y ∈E olduğunda ⏐f(x)-f(y)⏐< ε 22 olacak şekilde bir δ ı >0 vardır. gεfonksiyonu E üzerinde düzgün sürekli olduğundan2 >0 için ⏐x-y⏐< δ 2 ve x,y ∈Eolduğundan⏐g(x)-g(y)⏐< ε 2 olacak şekilde bir δ 2 > 0 vardır. min {δ 1 ,δ 2 } = δ diyelim. Butakdirde ⏐x-y⏐< δ ve x,y∈E olduğunda ⏐(f+g)(x)-(f+g) (y)⏐= ⏐(f(x)-f(y))+(g(x)-g(y))⏐≤ε ε⏐f(x)-f(y)⏐+⏐g(x)-g(y)⏐< + = ε olur. O halde f+g fonksiyonu E üzerinde düzgün2 2süreklidir. f ile g E üzerinde düzgün sürekli olduğunda f - g nin E üzerinde düzgün sürekliolduğu benzer şekilde yapılabilir.(b) f fonksiyonu E üzerinde düzgün sürekli olsun, α=0 ise oƒ=0 olacağından budurumda iddianın doğruluğu görülmektedir. α≠0 olsun. Herhangi bir ε>0 alalım. f fonksiyonuE üzerinde düzgün sürekli olduğundan ε α > 0 için⏐x-y⏐< δ ve x,y ∈E olduğunda ⏐f(x)-f(y)⏐0 vardır. Bu⏐(αf)(x) - (αf)(y)⏐= ⏐αf(x)-αf(y)⏐= ⏐α(f(x)-f(y))⏐Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 49

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı= (α) ⏐f(x)-f(y)⏐< ⏐α⏐. ε = εαolur, dolayısıyla αf fonksiyonunun E üzerinde sürekli olduğu elde edilmiş olur.(c) f ile g E üzerinde düzgün sürekli ve sınırlı fonksiyonlar olsun, f.g nin E üzerinde düzgünsürekli olduğunu göstermek için herhangi bir ε>0 alalım. f fonksiyonu E üzerinde sınırlıolduğundan her x ∈E için ⏐f(x)⏐≤ K olacak şekilde bir K>0 sabiti vardır ve g fonksiyonu Eüzerinde sınırlı olduğundan her x∈E için⏐g(x)⏐≤ M olacak şekilde bir M>0 sabiti vardır. Şimdiεf fonksiyonunun E üzerinde düzgün sürekli olduğunu kullanacak olursak, > 0 sayısı için2 Mε⏐x-y⏐< δ ı ve x,y∈E olduğunda ⏐f(x)-f(y)⏐0 sayısı vardır ve gfonksiyonu E üzerinde düzgün sürekli olduğundanolduğunda⏐g(x)-g(y)⏐

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıkümesi E den reel sayılar kümesi IR içine bir fonksiyon olan f n fonksiyonlarının oluşturduğubir diziye E de bir fonksiyon dizisi denmektedir. E nin her bir x elemanı için yakınsak olmasıdurumunda bu fonksiyon dizisine yakınsaktır denir, bu yakınsaklığı tanım olarak aşağıda veriyoruz:Tanım Reel sayılar kümesi IR nin bir E alt kümesinde tanımlı fonksiyonların dizisi(f n ) olsun. Her x∈E için (f n (x)) sayı dizisinin yakınsak olduğunu kabul edelim. Butakdirde(1) her x∈E için f (x) = lim n→∞ f n (x)şeklinde bir f fonksiyonu tanımlayabiliriz. Bu durumda (f n ) fonksiyon dizisi E üzerindenoktasal yakınsaktır denir ve f fonksiyonuna da (f n ) fonksiyon dizisinin noktasal limiti veyanoktasal limit fonksiyonu adı verilir.Örnek 1. Her n doğal sayısı ve her x ∈]−1,1 [ içinfnn( x)= 1−x ile tanımlanan( f n ) fonksiyon dizisi her x ∈]−1,1 [ için f ( x)= 1 ile tanımlanan f fonksiyonunanoktasal yakınsaktır.Örnek 2. Her n doğal sayısı ve her x ∈]−1,1 [ içinfnx( x)= ile tanımlanan1+nx( f n ) fonksiyon dizisi her x ∈]−1,1 [ için f ( x)= x ile tanımlanan f fonksiyonunanoktasal yakınsaktır.Örnek 3. Her n doğal sayısı ve her x ∈] −1,1 ] içinfonksiyon dizisi her x ∈] −1,1 ] içinfonksiyonuna noktasal yakınsaktır.⎧x⎪( x)= ⎨⎪⎩fnx( x)= ile tanımlanan ( f )1+nnx⎫⎪⎬⎪⎭, x ≠1isef ile tanımlanan f1, x = 1 ise2Benzer şekilde eğer Σf n (x) serisi her x∈E için yakınsak oluyorsa(2) her x∈E için f (x) =∞∑n= 1f n (x)Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 51

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallışeklinde bir f fonksiyonu tanımlayabiliriz ki f fonksiyonuna bu durumda Σf n fonksiyonserisinin limiti veya toplamı denir.Düzgün Yakınsaklık Kavramı.Tanım Eğer her ε>0 için n ≥ n 0 olduğunda(i)her x∈E için ⏐f n (x)-f (x)⏐0 verilsin. n ≥ n 0 olduğundaher x ∈E için ⏐f n (x)-f(x)⏐ < ε 2olacak bir n 0 sayısı vardır. n ≥ n 0 olduğundasup x∈E ⏐f n (x)-f (x)⏐≤ ε 2 < εolur. M n = sup x ∈E ⏐f n (x)-f (x)⏐ olduğundan n ≥ n 0 olduğunda ⏐M n ⏐= M n < ε olur.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 52

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıBu da lim n→∞ M n =0 olmasını verir.Þimdi de karşıt olarak, lim n→∞ M n = 0 olduğunu kabul edelim. Herhangi bir ε>0 alalım.lim n→∞ M n = 0 olduğundan n ≥ n 0 olduğunda M n

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı3 2 xHer n ∈IN ve her x∈IR için f n (x)= x + 5x+ 7x+ şeklinde tanımlanan (f n )21+nxfonksiyonlar dizisini gözönüne alalım. Her bir x∈IR sabit sayısı içinlim n→∞ f n (x) = lim n→∞3 2 x 3 2x + 5x+ 7x+ = x + 5x+ 7x21+nxdır. Her n∈IN için3 2 x 3 2M n = sup x∈IR ⏐f n (x) - f(x)⏐= sup x∈IR ⏐ x + 5x+ 7x+ − ( x + 5x+ 7x+) ⏐21+nxx= sup x∈IR ⏐1 + nx2x⏐= max ⏐1 + nx2⏐=12 nbulunur. lim n→∞ M n = lim n→∞12 n = 0olduğundan, yukarıdaki teoremden 2.3.3 den dolayı, (f n ) fonksiyon dizisi IR üzerinde herx∈IR için32f ( x)= x + 5x+ 7xşeklinde tanımlanan f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.Örnek. Her x ≥ 0 ve her n doğal sayısı içinnxf n (x) = ile tanımlanan ( f2 2n )1+n xfonksiyon dizisi [0,1[ üzerinde düzgün yakınsak değildir. Çünkü her n için1M n = dir.2nxÖrnek. ∀ x ∈[0, a] için f n (x) = ise ( f n ) fonksiyon dizisi [0,1] üzerinde f(x)=xn + xfonksiyonuna noktasal yakınsak fakat düzgün yakınsak değildir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 54

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallınHer n ∈IN için s n (x)= ∑ f i (x) olmak üzere eğer (s n) kısmi toplamlar dizisi Ei=1üzerinde düzgün yakınsak ise Σf n (x) serisine E üzerinde düzgün yakınsaktır denir. Eğerburada (s n ) fonksiyon dizisi E üzerinde bir s fonksiyonuna düzgün yakınsaksa Σf n (x)fonksiyon serisi E üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsaktır denir vefonksiyon serisinin E üzerinde düzgün toplamı( veya limiti) s dir denir.Σf n (x)Problemler39. Reel sayılar kümesinin kapalı bir alt kümesi F olsun ve F üzerinde tanımlı ve süreklibir fonksiyon f olsun. Her x∈F için f(x)=g(x) olacak şekilde ]-∞ , ∞[ üzerindetanımlı ve sürekli bir g fonksiyonunun var olduğunu gösteriniz.40. Tanım kümesi E olan reel değerli bir fonksiyon f olsun. f fonksiyonunun sürekliolması için gerek ve yeter koşul her A açık kümesi için f -1 [A]=E∩U olacak şekilde açıkbir U kümesinin var olmasıdır. İspat ediniz.41. Bir E kümesi üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonların dizisi (f n ) olsun. Eğer (f n )fonksiyon dizisi E üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsaksa bu takdirde ffonksiyonu E üzerinde süreklidir. İspat ediniz.İspat. Herhangi bir x 0 ∈E alalım. f nin x 0 noktasında sürekli olduğunu göstermekiçin herhangi bir ε>0 sayısı alalım. (f n ) fonksiyon dizisi E üzerinde f fonksiyonuna düzgünyakınsak olduğundan ε 3 >0 için n ≥ n 0 olduğunda∀x∈E için ⏐f n (x)-f(x)⏐< ε 3olacak şekilde bir n 0 doğal sayısı vardır. Özel olarak n=n 0 için( i ) ∀x∈E için ⏐ f n0(x)-f(x)⏐< ε 3olur. Hipotezden f n0fonksiyonu E üzerinde sürekli dolayısıyla x 0 ∈E noktasında da sürekliolduğundan ε 3 > 0 için ⏐x-x 0⏐< δ ve x∈E olduğundaProf.Dr.Hüseyin Çakallı 55

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı( ii ) ⏐ f n0(x) - f n0(x 0 )⏐< ε 3olacak şekilde bir δ>0 vardır. (i) ve (ii) yikullandığımızda ⏐x-x 0 ⏐< δ ve x∈E olduğunda⏐f(x)-f(x o )⏐= ⏐(f(x)- f n0(x) )+ ( f n0(x) - f n0(x 0 )) + ( f n0(x 0 )) - f(x 0 ))⏐≤ ⏐f(x) - f n0(x)⏐+ ⏐ f n0(x) - f n0(x 0 )⏐+ ⏐ f n0(x 0 ) - f(x 0 )⏐< ε 3 + ε 3 + ε 3 = εolur. Bu da f fonksiyonunun x 0 noktasında sürekli olması demektir. x 0 noktası E ninrastgele bir noktası olduğundan f fonksiyonu E üzerinde sürekli olur.42. Aşağıdaki şekilde tanımlanan f fonksiyonunun sürekli olduğu noktaları bulunuz.⎧⎪xf(x) = ⎨⎪ 1psin⎪⎩qeger xeger en küçük terimlerle yazıazıldıa göre⎫irrasyonelise ⎪⎬px = ise⎪q ⎪⎭7.Borel KümeleriKapalı kümelerin herhangi bir topluluğunun arakesiti kapalı olurken,kapalı kümelerinherhangi sonlu sınıfının birleşimi kapalıdır, kapalı kümelerin sayılabilir bir sınıfı üzerindenbirleşimin kapalı olması gerekmez. Örneğin; rasyonel sayılar kümesi her biri yalnız birelemandan oluşan kapalı kümelerin sayılabilir bir birleşimidir. Böylece eğer bütün kapalıkümeleri içeren sınıfların σ-cebirleri ile ilgilenirsek, açık ve kapalı kümelerden daha genelküme tiplerini gözönüne almalıyız. Bu bizi aşağıdaki tanıma götürür.Tanım. Bütün açık kümeleri içeren en küçük σ-cebirine Borel kümeleri sınıfı denir ve β ilegösterilir.Önerme 1.3 den böyle bir σ-cebiri mevcuttur. Borel kümeleri topluluğu aynı zamandabütün kapalı kümeleri içeren en küçük σ-cebiridir ve bütün açık aralıkları içeren en küçük σ-cebiridir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 56

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin ÇakallıKapalı kümelerin sayılabilir bir birleşimi olan bir kümeye bir I σ (I sembolü kapalıanlamı için , σ sembolü toplam için) kümesi denir. Her sayılabilir küme bir I σ kümesişüphesiz her kapalı küme bir I σ kümesidir. I σ daki kümelerin her sayılabilir birleşimi∞ 1 1yine I σ dadır. ] a,b[ = U [a + ,b - ] olduğundan her bir açık aralık bir I σn = 1 n nkümesidir, ve dolayısıyla her bir açık küme bir I σ kümesidir.Açık kümelerin sayılabilir bir arakesiti olan bir kümeye bir G δ (G sembolü açık anlamıiçin , δ sembolü durchschnitt için) kümesi denir. Buna göre bir I σ kümesinin tümleyenibir G δ kümesidir ve karşıtı da doğrudur.Bütün irrasyonel sayılar kümesi bir G δ dir. Gerçekten; q herhangi bir rasyonel sayıolmak üzere ∩ q∈Q {q} t arakesit kümesi açıkların sayılabilir bir arakesiti olup, bütünirrrasyonel sayılar kümesine eşittir. Ancak rasyonel sayılar kümesi bir G δ kümesi değildir.Çünkü; rasyonel sayılar kümesi bir G δ kümesi olsaydı, Her birisi her yerde yoğun olan açıkA n kümelerinin arakesiti rasyonel sayılar kümesine eşit olacaktı. İrrasyonel sayılarkümesinin de yukarıda sayılabilir sayıdaki açıkların arakesiti olduğunu bildiğimizden busayılabilir sayıdaki arakesiti de bizim sayılabilir sayıdaki arakesite katarsak, tüm arakesit heryerde yoğun kümelerin arakesiti ve boş olacaktı. Buysa Baire kategori teoremine aykırıdır.Bu çelişki bize rasyonel sayılar kümesinin bir G δ kümesi olmadığını verir.I σ ve G δ kümeleri Basit tipte Borel kümeleridir. Benzer şekilde I σδ kümesi her birkümenin I σ da olduğu kümelerin sayılabilir bir arakesiti olan kümeler olarak göz önünealabiliriz. Benzer şekilde G δσ , I σδσ , gibi sınıflar oluşturulabilir.I σ , I σδ , I σδσ ,..., G δ , G δσ , G δσδ ,...sınıfları hep Borel kümeleridir. Ancak her Borel kümesi bu sınıflardan birine ait olmakzorunda değildir.Problemler∞ 1 11. ] a,b[ = U [a + ,b - ] olduğunu gösteriniz.n = 1 n nÇözüm.Önce∞⊂n = 11+n1n] a,b[ U [a ,b - ] ve [a ,b - ] ]a,b[∞⊂n = 11+n1]n∞ 1 1U + ⊂ olduğunu göstereceğiz.n=1 n n] a,b[ U [a ,b - olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için herhangi birx∈]a,b[ alalım. lim n→∞ (a+ n1 )=a olduğundan, n≥n1 olduğunda a+ n1

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallışekilde bir n 1 doğal sayısı vardır. lim n→∞ (b- n1 )=b olduğundan, n≥n2 olduğundax