Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıx>y olması halinde1111[ x + y + x − y]= [ x + y + ( x − y)]= [ x + y + x − y]= 2x= x = x ∨ y = max( x,y)bul2222unur.e) Eğer -y≤x≤y ise bu takdirde x ≤ y dir.Ek Problemler.1. Her x∈IR için 0x=0 dır.Çözüm. x +0x=(1+0)x= 1.x=x=x+0 ; A3 ve A7 den,x +0x=x+0-x+ x +0x=-x+x+0 ⇒ 0+0x=0+0 ⇒ 0x=0 .2. R nin alt kümeleri olarak Doğal Sayılar ve Rasyonel SayılarRasyonel sayıların varlığını kabul etme işlemini ve sayma sayıları olarak kullanmaişlemini benimsedik. 3 gibi bir sayıyı yalnız bir doğal sayı olarak değil aynı zamanda birreel sayı olarak ele aldık. Aslında 1 sembolü yalnız ilk doğal sayıyı göstermek için değilaynı zamanda Aksiyom 7 ile verilen özel reel sayıyı da göstermek için kullanıyoruz ve 3reel sayısını 1+1+1 olarak tanımlıyoruz. ve benzer şekilde her doğal sayıya karşılık gelenreel sayıyı tanımlıyoruz. Aslında elimizdeki bu araçları daha kusursuz bir şekilde yapmakiçin kullanabiliriz.Ardışık tanımlama prensibinden dolayı, doğal sayılar kümesinden reel sayılarkümesine ϕ(1)=1 ve ϕ(n+1)=ϕ(n)+1 ile tanımlanan bir ϕ fonksiyonu vardır.( Buradasağ taraftaki 1 bir reel sayıyı göstermekte ve sol taraftaki 1 de bir doğal sayıyıgöstermektedir.). ϕ dönüşümünün IN den IR ye birebir bir dönüşüm olduğunugöstereceğiz. p ile q biri birinden farklı iki doğal sayı olsun ve pϕ(p+n)ve böylece ϕ(p+n)>ϕ(p) olması ϕ(p+n+1)>ϕ(p) olmasını gerektirir. Buradantümevarımla ϕ(p+n)>ϕ(p) olur ve ϕ dönüşümünün birebir olduğunu görürüz.Tümevarımla ϕ(p+q)=ϕ(p)+ϕ(q) ve ϕ(pq)=ϕ(p).ϕ(q) olduğunu da ispatedebiliriz..Böylece ϕ bize doğal sayılar ile R nin bir alt kümesi arasında birebir bireşleme verir ve bu ϕ toplamları, çarpımları ve < bağıntısını korur. Tam manasıylasöyleyecek olursak, n doğal sayısı ile ϕ altındaki ϕ(n) görüntüsü arasında ayırımyapmamız gerekir ancak biz burada bu ayrımı yapmayacağız; Doğal sayılar kümesi N yiProf.Dr.Hüseyin Çakallı 28