Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı3 2 xHer n ∈IN ve her x∈IR için f n (x)= x + 5x+ 7x+ şeklinde tanımlanan (f n )21+nxfonksiyonlar dizisini gözönüne alalım. Her bir x∈IR sabit sayısı içinlim n→∞ f n (x) = lim n→∞3 2 x 3 2x + 5x+ 7x+ = x + 5x+ 7x21+nxdır. Her n∈IN için3 2 x 3 2M n = sup x∈IR ⏐f n (x) - f(x)⏐= sup x∈IR ⏐ x + 5x+ 7x+ − ( x + 5x+ 7x+) ⏐21+nxx= sup x∈IR ⏐1 + nx2x⏐= max ⏐1 + nx2⏐=12 nbulunur. lim n→∞ M n = lim n→∞12 n = 0olduğundan, yukarıdaki teoremden 2.3.3 den dolayı, (f n ) fonksiyon dizisi IR üzerinde herx∈IR için32f ( x)= x + 5x+ 7xşeklinde tanımlanan f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.Örnek. Her x ≥ 0 ve her n doğal sayısı içinnxf n (x) = ile tanımlanan ( f2 2n )1+n xfonksiyon dizisi [0,1[ üzerinde düzgün yakınsak değildir. Çünkü her n için1M n = dir.2nxÖrnek. ∀ x ∈[0, a] için f n (x) = ise ( f n ) fonksiyon dizisi [0,1] üzerinde f(x)=xn + xfonksiyonuna noktasal yakınsak fakat düzgün yakınsak değildir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 54