Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı{I x } sınıfının elemanı olan farklı iki aralık ayrıktır. Böylece A kümesi açık aralıklarınayrık {I x } sınıfının birleşimidir ve tek ispatlanması gereken şey bu sınıfın sayılabilirolduğunu göstermektir. Arşimet aksiyomunun sonucundan dolayı, her bir açık aralık birrasyonel sayı içerir. Elimizde açık aralıkların ayrık bir sınıfı var olduğundan, ve her bir açıkaralık farklı bir rasyonel sayı içerdiğinden, dolayı, bu sınıf ile rasyonel sayılar kümesinin biralt kümesi birebir eşlenebilir. Böylece bu sınıf sayılabilir bir sınıftır.9.Önerme (Lindelöf): Reel sayılar kümesinin açık alt kümelerinin bir topluluğu α olsun. ButakdirdeU OO∈α∞= U O ii=1olacak şekilde α sınıfının sayılabilir bir {O i } alt sınıfı vardır.İspat. U = U { O :O ∈α}ve x∈U olsun. Bu takdirde x∈O özelliğine sahip bir O∈αvardır. O açık olduğundan, x∈I x ⊂O olacak şekilde bir I x açık aralığı vardır. Sonuç 4den x∈J x ⊂I x olacak şekilde rasyonel uç noktalarına sahip bir J x açık aralığı bulabiliriz.Rasyonel uç noktalara sahip bütün açık aralıkların topluluğu sayılabilir olduğundan dolayı,{J x : x∈U } sınıfı sayılabilirdir ve U= UJ xx∈Udir. {J x } sınıfındaki her bir aralık için oaralığı kapsayan α nın elemanı olan bir O kümesi seçelim. Bu bize∞= O ii=1U U olacakşekilde α nın sayılabilir bir{ i} i∞ =1O alt sınıfını verir.Kapalı aralık kavramının genelleştirmesi olan kapalı küme kavramını da inceleyeceğiz.Tanım: Eğer her δ>0 için x − y < δ olacak şekilde bir y∈E varsa x reel sayısına Ekümesinin bir değme noktası( kapanış noktası) adı verilir. Bu ise her δ>0 için]x-δ,x+δ[∩E≠φ oluyor demeye eşdeğerdir. E kümesinin her bir noktasının E nin değmenoktası olduğu aşikardır. E kümesinin değme noktaları kümesini E ile gösteriyoruz. BunagöreE ⊂ E dır.10. Önerme A⊂B ise A ⊂ B dır. Aynı zamanda A ∪ B = A ∪ B dır.İspat. İlk kısım değme noktası tanımından hemen elde edilir. A⊂A∪B olduğundan,A ⊂ A ∪ B dır. Benzer şekilde B⊂A∪B olduğundan, B ⊂ A ∪ B dır. BöyleceA ∪ B ⊂ A ∪ B bulunur. A ∪ B ⊂ A ∪ B olduğunu göstermek için bunun eşdeğeri olantt( A ∪ B)⊂ ( A ∪ B)olduğunu göstereceğiz. Bunun için herhangi birx ∈ ( A ∪ B)tProf.Dr.Hüseyin Çakallı 38