Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı⏐f(x)-f(y)⏐= ⏐x 2 -y 2 ⏐= ⏐(x-y) (x+y)⏐= ⏐x-y⏐. ⏐x+y⏐≤ ⏐x-y⏐(⏐x⏐+ ⏐y⏐)≤ 2. ε ε2 =olur, dolayısıyla f(x)= x 2 fonksiyonu [0,1] üzerinde düzgün süreklidir.Yukarıdaki iki örnekten de gördüğümüz gibi f(x)=x 2 fonksiyonu her sınırlı kapalı veyaaçık aralıkda düzgün süreklidir fakat IR üzerinde düzgün sürekli değildir, ama IR de sürekliolduğunu biliyoruz.Örnek. Her x∈]0,1[ için f(x)= 1 xile tanımlanan f fonksiyonu ]0,1[ aralığı üzerindedüzgün sürekli değildir.f fonksiyonunun ]0,1[ üzerinde düzgün sürekli olduğunu varsayalım. Bu takdirde ε=1sayısı için⏐x-y⏐< δ 1 ve x,y ∈]0,1[ olduğunda⏐f(x)-f(y)⏐< 1 olacak şekilde bir δ 1 >0 vardır. δ=min{ 1 ,δ1} yazalım. Bu takdirde2⏐x-y⏐< δ ve x,y ∈]0,1[ olduğunda ⏐f(x)-f(y)⏐< 1 olur. Şimdi x=δ ve y= δ 2yazalım. Butakdirde x,y ∈]0,1[ ve ⏐x-y⏐= ⏐δ - δ 2 ⏐= ⏐ δ 2 ⏐= δ 2 < δ dır, fakat ⏐f(x)-f(y)⏐= ⏐f(δ)-f( δ 2 )⏐=⏐ 1 −1 ⏐δ δ /21 2= ⏐−δ δ ⏐= ⏐- 1 δ ⏐= 1 δ > 1= 2 > 1 bulunur. Bu bir çelişkidir. Bu çelişkiye f in1/2]0,1[ üzerinde düzgün sürekli olduğunu varsayarak düştük. O halde f(x)= 1 xfonksiyonu ]0,1[üzerinde düzgün sürekli değildir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 48