Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

More documents

Recommendations

Info

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı37. Cantor kümesinin [0,1] aralığı ile birebir eşlenebileceğini gösteriniz.38. Cantor kümesinin yığılma noktaları kümesinin yine Cantor kümesi olduğunugösteriniz.Cantor kümesi mükemmeldir ( Cantor set is perfect)Eğer reel sayılar kümesinin bir alt kümesi kapalı ve her noktası kendisinin yığılma noktası isemükemmel küme denir. Bu tanıma göre mükemmel kümenin ayrılmış noktası yoktur.Örneğin [0,1] aralığı kapalı ve her bir noktası yığılma noktası olduğundan mükemmeldir.Cantor kümesinin mükemmel olduğunu göstereceğiz. Cantor kümesini nasıl oluşturduğumuzuhatırlayalım.Kapalıların herhangi bir kesişimi kapalı olacağından dolayı C Cantor kümesi kapalıdır veayrıca sınırlıdır. Kapalı ve sınırlı her küme kompakt olduğundan C Cantor kümesikompakttır.Problem Cantor kümesi mükemmeldir.İspat. Cantor kümesi kapalı kümelerin arakesiti olduğundan ve kapalıların her hangitopluluğun arakesiti kapalı olduğundan dolayı, Cantor kümesi kapalı bir kümedir. ŞimdiCantor kümesinin her noktasının yığılma noktası olduğunu göstereceğiz. Herhangi bir x∈Calalım. x∈S 1 dir. Bu takdirde x sayısı S 1 kümesini oluşturan iki aralıktan birindedir. xsayısı S 1 yi meydana getiren bu aralıklardan ait olduğu aralığın uç noktalarından en azındanbirisinin (belki de her ikisinin de) uç noktasına eşit değildir. Bu eşit olmayan uç noktaya a 1diyelim. x ∈ S2dir. x sayısı S 2 kümesini meydana getiren aralıklardan birisindedir. .x sayısı S 2 yi meydana getiren bu aralıklardan ait olduğu aralığın uç noktalarından enazından birisinin (belki de her ikisinin de) uç noktasına eşit değildir. Bu uç noktaya a 2diyelim. Böyle devam ederek bir (a j ) dizisi elde ederiz. Bu dizinin her bir terimi Cantor1kümesinin elemanıdır. Ayrıca her j∈IN için x - a j ≤ dir. O halde x sayısı buj3dizinin limitidir, dolayısıyla x sayısı Cantor kümesinin bir yığılma noktasıdır. x sayısıCantor kümesinin rast gele bir elemanı olduğundan Cantor kümesinin her noktası yığılmanoktasıdır. O halde Cantor kümesi mükemmeldir.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 44
H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı6.Sürekli Fonksiyonlar<strong>Reel</strong> sayılar kümesinin bir alt kümesi olan bir E kümesi tanım kümesi olan reel değerlibir fonksiyon f olsun. Eğer her ε>0 için x − y < δ özelliğine sahip E deki bütüny ler içinf ( x ) − f ( y)< ε oluyorsa f fonksiyonuna E nin x noktasında süreklidirdenir. Eğer E nin bir A alt kümesinin her bir noktasında sürekli ise f fonksiyonunaA üzerinde süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu tanım kümesi üzerinde sürekli isesadece f süreklidir diyoruz.17.Önerme: Kapalı ve sınırlı bir F kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli reel değerli birfonksiyon f olsun. Bu takdirde f fonksiyonu F üzerinde sınırlıdır ve F üzerindemaksimumve minimumunu alır; yani F deki bütün x ler için f(x 1 )≤f(x)≤f(x 2 ) olacakşekilde F nin x 1 ve x 2 noktaları vardır.İspat. İlk önce f fonksiyonunun F kümesi üzerinde sınırlı olduğunu göstereceğiz. ffonksiyonu F üzerinde sürekli olduğundan, her bir x∈F için y∈I x ∩F içinf(y) - f(x)< 1 olacak şekilde x i içeren bir I x açık aralığı vardır. Böylece y∈I x ∩Fiçin f(y) ≤ f(x) + 1 elde ederiz ve dolayısıyla f in I x de sınırlı olduğunu eldeederiz. {I x :x∈F} sınıfı, açık aralıkların F yi örten bir sınıfıdır, dolayısıyla Heine-Borelteoreminden F yi örten bir {I x , I ,..., I } alt sınıfı vardır.1x 2x nM=1+max[ ( x ) , f ( x ) ,..., f ( x )f 1 2 n] yazalım. Bu takdirde F deki her bir y altsınıftaki birI aralığına ait olur, ki buradan f(y) < 1+f(x k ) ≤ M olur. Bu fx kfonksiyonunun F üzerinde (M ile) sınırlı olduğunu gösterir.f fonksiyonunun F üzerinde maksimumunu aldığını göstermek içinm = sup f(x) yazalım. f fonksiyonu sınırlı olduğundan, m sonludur ve bizimx∈Famacımız, f(x 1 )=m olacak şekilde bir x 1 ∈F nin var olduğunu göstermektir.Varsayalım ki böyle olmasın. Bu takdirde her x∈F için f(x)
Page 1 and 2: H.L.Royden Real Analysisçeviri ve
Page 11: H.L.Royden Real Analysisçeviri ve
Page 21: H.L.Royden Real Analysisçeviri ve

Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?