Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

More documents

Recommendations

Info

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıverilir. Her x∈IR için -∞ < x < ∞ kabul ederek genişletilmiş reel sayılar kümesinde< tanımını verebiliriz. Bütün x reel sayıları içinx +∞ = ∞ , x-∞=-∞eğer x>0 ise x.∞=∞ ,eğer x>0 ise x.(-∞)= -∞olarak tanımlıyoruz, ve∞+∞=∞ , -∞-∞=-∞∞.(±∞) =±∞ , -∞.(±∞)= + ∞olarak tanımlıyoruz.∞-∞ işlemi tanımsız bırakılmıştır, fakat 0.∞=0 durumunu uygun olarak adopteedeceğiz.sup S ifadesindeki genişletilmiş reel sayıların bir kullanılışı şöyledir. Eğer S kümesi üstsınıra sahip boş olmayan bir reel sayı kümesi ise sup S i S kümesinin en küçük üst sınırı olaraktanımlıyoruz. Eğer S in üst sınırı yoksa, sup S= ∞ yazarız. sup S boş olmayan bütün alt kümeleriçin tanımlıdır, eğer sup φ = - ∞ olarak tanımlarsak, bu takdirde E nin her bir elemanına eşit ya dabüyük olan en küçük genişletilmiş reel sayıyı sup E olarak tanımlarız. Benzer uyarlamalar inf Siçin yapılır.Değerleri genişletilmiş reel sayılar kümesinde olan bir fonksiyona genişletilmiş reel değerlifonksiyon denir.4 Reel Sayı DizileriBir (x n ) reel sayı dizisi 2 ile her bir n doğal sayısını bir x n reel sayısına dönüştüren birfonksiyonu kastedeceğiz. Eğer her ∈ pozitif sayısı için n ≥ N olduğunda x n − l 0 ) (∃ N) (n≥N) ( x n − l
H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıise (x n ) dizisi bir Cauchy dizisidir.Cauchy kriteri bir reel sayı dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşulun Cauchy dizisi olmasıolduğunu ifade eder (Problem 10 a bakınız.). Bir dizinin bu limit kavramını ∞ ı içine alacak şekildeaşağıdaki biçimde genelleştiriyoruz: Verilen ∆ için n ≥ N olduğunda x n >∆ elde edeceğimizşekilde bir N varsa lim x n =∞ dır. Bir dizinin limiti varsa diziye yakınsaktır denir. Bu tanım ikianlamlıdır. Bu anlam dizinin limitinin bir reel sayı olmasına ya da bir genelleştirilmiş reel sayıolmasına bağlıdır. Analiz çalışmalarının çoğunda limitin bir reel sayı olmasını gerektirenyakınsaklığın kısıtlamalı tanımını kullanmak daha alışıldıktır ancak biz önümüzdeki birkaç bölümde± ∞ sembollerini anladığımız şekilde kullanmayı mümkün kılmayı uygun bulacağız. Limitin ikikavramı arasındaki farkı ayırt etmek istediğimiz bu gibi önemli durumlarda bir reel sayıya yakınsarya da genelleştirilmiş reel sayılar kümesinde yakınsar şeklindeki ifadeler ile açıkça belirtmeyeçalışacağız. Eğer l = lim xnise çoğu zaman x n →l yazarız. Eğer, ek olarak, (x n ) monoton ise ,yani, x n ≤ x n+1 ise x n ↑ l yazarız. Reel sayı olması durumunda limit tanımını aşağıdaki şekildeaçıklayabiliriz.: Eğer verilen ∈>0 için, (x n ) dizisinin terimlerinin sonlu sayıdakiler dışındakiler lnin ∈ komşuluğunda bulunuyorsa l ye (x n ) dizisinin limitidir denir.Daha zayıf bir durum l nin∈ komşuluğunda dizinin sonsuz çoklukta teriminin bulunması durumudur. Bu durumda l ye (x n )dizisinin değme noktasıdır denir. Buna göre eğer verilen ∈>0 için, ve verilen her N içinx n − l 0 için k≥nolduğunda bütün k≥n için x k < l +∈ olacak şekilde ∃ n vardır, ve (ii) verilen ∈>0 için ve niçin x k > l -∈ olacak şekilde ∃ k ≥ n vardır. ∞ genişletilmiş reel sayısının bir (x n ) dizisinin limitsuperiörü olması için gerek ve yeter koşul verilen ∆ ve n için x k > ∆ olacak şekilde bir k≥ n invar olmasıdır. Genişletilmiş reel sayısı - ∞ un bir (x n ) dizisinin limit superiörü olması için gerek veyeter koşul -∞ =lim x n olmasıdır.Limit inferiör tanımınıProf.Dr.Hüseyin Çakallı 31
Page 1 and 2: H.L.Royden Real Analysisçeviri ve
Page 7: H.L.Royden Real Analysisçeviri ve
Page 11: H.L.Royden Real Analysisçeviri ve

Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?