Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallıya ait olduğundan dolayı, x noktasının her bir F∈α nın bir değme noktası olduğunugörürüz. Her bir F kapalı olduğundan, α daki her bir F için x∈F elde ederiz. Buradan,x∈∩{F:F∈α} buluruz.14.Önerme: Açık bir kümenin tümleyeni kapalıdır ve kapalı bir kümenin tümleyeni açıktır.İspat. A açık bir küme olsun. Eğer x∈A ise, x − y < δ olduğunda y∈A olacak şekildebir δ>0 vardır. Buradanx − y < δ özelliğine sahip hiçbir y∈A t olmadığından, dolayı,x noktası A t nin bir değme noktası olamaz. Böylece de A t kümesi bütün değmenoktalarını içerir, dolayısıyla kapalıdır.Diğer taraftan F kapalı olsun ve x∈F t alalım. x noktası F nin bir değme noktasıolmadığından,Buradan eğerx − y < δ özelliğine sahip hiçbir y∈F olmayacak şekilde bir δ>0 vardır.x − y < δ ise y∈F t dir. Böylece F t kümesi açık olur.Eğer F⊂∪{A:A∈α} ise kümelerin α topluluğuna F nin bir örtüsü denir. Eğer her birA∈α açık ise α ya F in bir açık örtüsü denir. Eğer α yalnız sonlu sayıda kümelerdenoluşuyorsa, α ya sonlu örtü denir. Bu terminoloji tutarsızdır: sonlu örtü ifadesinde sonlusıfatı sınıfla, toplulukla ilgilidir ve sınıftaki kümelerin sonlu kümeler olmasını gerektirmez.Bundan dolayı, “açık örtü” ifadesi lisanı kötü kullanmaktır ve doğru olarak söylemekgerekirse “açık kümelerin örtüsü” denmelidir. Maalesef, şimdiye kadar ki terminolojimatematikte oldukça oturmuş ve yerleşmiş bir ifadedir. Bu terminoloji ile aşağıdaki teoremiifade ediyoruz:15. Teorem (Heine-Borel) Reel sayılar kümesinin sınırlı ve kapalı boş olmayan bir alt kümesiF olsun. Bu takdirde F nin her bir açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır. Yani,F⊂∪{A:A∈α}nolacak şekilde açık kümelerin bir topluluğu α ise F⊂ UA ii=1olacakşekilde α sınıfının elemanlarından oluşan sonlu bir {A 1 , A 2 , ...,A n } topluluğu vardır.İspat. Önce F nin -∞ < a< b < ∞ olmak üzere [a,b] kapalı aralığı olması halini gözönüne alalım. [a,x] aralığı α nın elemanlarının sonlu sayıdakileri ile örtülebilecek şekildekibütün x≤b sayılarının kümesi E olsun. E kümesi b ile üstten sınırlıdır, dolayısıyla üstsınırlarının bir c en küçüğü vardır. c ∈[a,b] olduğundan, c yi içeren bir O∈α vardır. Oaçık olduğundan, ]c-ε, c+ε[ aralığı O tarafından kapsanacak şekilde bir ε>0 vardır. c -εsayısı E kümesi için bir üst sınır olmadığından dolayı, x>c-ε özelliğine sahip bir x∈Evar olmalıdır. x ∈E olduğundan α nın elemanlarının [a,x] aralığını örten sonlu birProf.Dr.Hüseyin Çakallı 40