Reel Analiz 2 14 Kasım 2008.pdf

H.L.Royden Real Analysisçeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı26. x in E kümesinin bir değme noktası olması için gerek ve yeter koşul her n∈INiçin y n ∈E ve x=lim y n olacak şekilde bir (y n ) dizisinin var olmasıdır.27. Eğer bir x sayısı E∼{x} kümesinin bir değme noktası ise x sayısına Ekümesinin bir yığılma noktası denir. E nin yığılma noktaları kümesi E′ ilegösterildiğine göre E′ nün kapalı bir küme olduğunu ispat ediniz.28. E = E ∪ E′olduğunu ispat ediniz.29. Eğer E∩E′=φ oluyorsa E kümesine izole küme ( isolated set) denir. Reel sayılarkümesinin her izole alt kümesinin sayılabilir olduğunu ispat ediniz. (Çözüm.E∩E′=φ olsun. herhangi bir e∈E alalım. E∩E′=φ ve e∈E olduğundan e∉E′dir, dolayısıyla e noktası E nin yığılma noktası değildir ve dolayısıyla, {e}=U e ∩Eolacak şekilde e nin en az bir U e açık komşuluğu vardır. O halde E kümesi IRreel sayılar kümesinin alışılmış topolojisine göre alt uzay olarak diskret topolojiyesahiptir. IR ikinci sayılabilir olduğundan sayılabilir bir bazı vardır, dolayısıyla Enin bünyesel topolojisinin de sayılabilir bazı vardır. {{e}:e∈E} sınıfı E nin birbazı olduğundan sayılabilirdir. )30. D = IR oluyorsa D kümesine IR de her yerde yoğun (ya da yoğun) küme denir.31. Önerme 5, 7 ve 14 ü kullanarak, Önerme 12 ve Önerme 13 ü ispat ediniz.32. Önerme 12, 13 ve 14 ü kullanarak, Önerme 5 ve Önerme 7 yi ispat ediniz.33. ]x-δ,x+δ[ aralığı A kümesi tarafından kapsanacak şekilde bir δ>0 sayısı varsa xnoktasına A kümesinin bir iç noktasıdır denir. A kümesinin bütün iç noktalarıkümesi A o ile gösterilir. Aşağıdakileri ispat ediniz.a . Bir A kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul A=A o olmasıdır.b.o t tA = [A ]34. Önerme 16 yı De Morgan kurallarını kullanarak, Heine-Borel teoreminden eldeediniz.35. Reel sayılar kümesinin F n+1 ⊂F n özelliğine sahip boş olmayan kapalı altkümelerinin bir dizisi (F n ) olsun. Eğer F n kümelerinden bir tanesi sınırlı ise, butakdirde∞Ii=1F ≠ φ dir ispat ediniz. Eğer kümelerden hiç biri sınırlı değilse buisonucun doğru olmadığına dair bir örnek veriniz.Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 42