1.4. Kısmi sıralama ve denklik bağıntısı.pdf

Prof. Dr. Hüseyin Çakallı, 

Maltepe University, 

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI 


Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit" , ≤ bağıntısı ile 

sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine 

aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. 

Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma, ters simetri ve geçişme 

özelliklerine sahip bir ≤ bağıntısı varsa X kümesine kısmi sıralı 

veya kısmi sıralanmış küme denir. 

(K1) her x∈X için x≤x dir. (Yansıma özelliği) 

(K2) herhangi x,y∈X için x≤y ve y≤x ise x=y dir. (Ters simetri 

özelliği) 

(K3) herhangi x,y,z∈X için x≤y ve y≤z ise x≤z dir. (Geçişme 

özelliği) 

X kısmi sıralanmış bir küme ise kısmi sıralama bağıntısını 

belirtmek için X kısmi sıralanmış bir küme yerine bazen (X,≤) kısmi 

sıralanmış küme de denir. 

Örnek 1. Bir Z kümesinin bütün altkümeler ailesi P(Z) kümesini gözönüne 

alalım. P(Z) kümesi, ⊂ , kapsama ile kısmi sıralı bir kümedir. 

Gercekten; 

U, P(Z) in herhangi bir elemanı ise U⊂U dir, dolayısiyla (K1) 

sağlanır. 

P(Z) in U⊂V ve V⊂U özelliklerini sağlayan herhangi iki elemanı 

U ve V ise U=V dir, dolayısiyla (K2) sağlanır. 

P(Z) in U⊂V ve V⊂W özelliklerini sağlayan herhangi üç elemanı U, V ve 

W ise U⊂W dir, dolayısiyla (K3) sağlanır. 

Bu örnekte P(Z) in verilen iki U ve V elemanı için ne U⊂V ne 

de V⊂U durumu karşımıza çıkabilir. Örnek olarak; Z={1,2,3,4,5} 

alırsak {1,2} ve {3,4} P(Z) in elemanıdır ancak ne {1,2} kümesi, 

{3,4} kümesini kapsar, ne de {3,4} kümesi, {1,2} kümesini kapsar. 

Diger bir deyisle, P(X) in ⊂ bağıntısına göre karşılaştırılamayan 

elemanları bulunmaktadir. 

Eğer kısmi sıralı bir kümenin her eleman çifti, üzerinde 

tanımlanan bağıntıya göre, karşılastırılabiliyorsa bu kümeye tam sıralı 

küme denir. Örnegin, R, reel sayılar kümesi "den küçük eşit" yani ≤ 

bağıntısı ile tam sıralı bir kümedir. 

Bundan sonra, karışıklık olmadığı sürece, bir X kümesi 

üzerindeki herhangi bir sıralama bağıntısını da R deki gibi ≤ sembolü 

ile gösterecegiz, ve hangi kısmi sıralama bağıntısı ile ilgileniyorsak 

onu kastetmiş olacagiz. 

25




X, ≤ ile kısmi sıralı bir küme ve A⊂X olsun. A nin herhangi 

a 1 ve a 2 elemanı için a 1 ≤a 2 olmasıni, a 1 ile a 2 nin X in elemanları 

olarak, a 1 ≤a 2 olması olarak tanımlamak suretiyle, A yi da kısmi sıralı 

küme olarak gözönüne alabiliriz. X, ≤ ile kısmi sıralı bir küme ve A⊂X 

olsun. Her a∈A için a≤m 1 oluyorsa, X in m 1 elemanına A kümesinin 

bir üst sınırı denir. Benzer şekilde, Her a∈A için m 2 ≤a oluyorsa, X 

in m 2 elemanına A kümesinin bir alt sınırı denir. Kısmi sıralı bir 

kümenin her altkümesinin bir üst sınıra veya bir alt sınıra sahip olması 

gerekmez. Bunu aşağıdaki örnekte göruyoruz. 

Örnek 2. X=]0,1[ yi R nin alışılmıs "küçük eşittir" bağıntısı ile 

gözönüne alalım. A=X yazalım. Bu takdirde A kümesinin X de üst sınırı 

da yoktur, alt sınırı da yoktur. Gercekten; kabul edelim ki x 1 , A nin X 

de bir üst sınırı olsun. Bu durumda, 0




kümesini gözönüne alalım. A kümesinin Q da en küçük üst sınırı yoktur. 

Ancak A nin R de en küçük üst sınırının 2 olduğunu biliyoruz. 

R reel sayılar kümesinde üstten sınırlı her alt kümenin en küçük 

üst sınıra sahip olduğu bilinmektedir. Bunun ise R reel sayılar 

kümesinde alttan sınırlı her alt kümenin en buyuk alt sınıra sahip 

olması özelliğine denk olduğu bilinmektedir. Bu özelliğin R de her 

Cauchy dizisinin yakinsak olması ve her mutlak yakinsak serinin 

yakinsak olması özelliklerinden herbirine denk olduğu gösterilebilir. 

Bundan dolayi R reel sayılar kümesinde üstten snırlı her alt 

kümenin en küçük üst sınıra sahip olması özelliğine R nin tamlik özelliği 

de denir. 

X kısmi sıralı bir küme ve A⊂X olsun. m 1 ∈A olmak üzere her a∈A\{m 1 } 

için m 1 ≤a olmuyorsa m 1 elemanına A da bir maksimal elemandir denir. 

m 2 ∈A olmak üzere her a∈A\{m 2 } için a≤m 2 olmuyorsa m 2 elemanına A 

da bir miniimal elemandir denir. Maksimal eleman birden fazla ve 

minimal eleman birden fazla olabilir. 

X kısmi sıralanmış bir küme A⊂X ve m 1 ∈A olsun. Eger her x∈A 

için x≤m 1 özelliği saglaniyorsa m 1 elemanına A nin en buyuk elemanı 

veya maksimum elemanı denir ve max A =m 1 ile gösterilir. X kısmi 

sıralanmış bir küme A⊂X ve m 2 ∈A olsun. Eger her x∈A için m 2 ≤x 

oluyorsa m 2 ye A nin en küçük elemanı veya minimum elemanı denir 

ve min A = m 2 ile gösterilir. 

Bir kümenin maksimum elemanı varsa bir tek olduğu ve minimum elemanı 

varsa bir tek olduğu kolayca gorulebilmektedir; gercekten, bir m3∈A 

elemanı da A kümesinin m 1 den baska bir maksimum elemanı olsaydi, 

maksimum eleman tanımından m 1 maksimum eleman olduğundan m4≤m 1 ve m5 

maksimum eleman olduğu kabulunden m 1 ≤m6 olurdu ki buradan da kısmi 

sıralama bağıntısının ikinci özelliğinden, yani ters simetri özelliğinden 

m7 =m 1 bulunurdu. Benzer bir ispat minimum için de yapilabilir. Her 

maksimum eleman bir maksimal eleman ve her minimum eleman bir minimal 

elemandir ancak karsiti her zaman dogru degildir. R yi alisilmis ≤ 

kısmi sıralama bağıntısı ile gözönüne alalım ve A={1,2,5} olsun. Bu 

takdirde, 5, A da bir maksimal elemandir ve 1, A da bir minimal 

elemandir. Hatta max A=5 ve min A=1 dir. 

Örnek 5. R reel sayılar kümesinin P(R) kuvvet kümesini ⊂ kapsama 

bağıntısı ile kısmi sıralanmış olarak gözönüne alalım ve A={ {1}, {2}, 

{5} } olsun. A nin herbir elemanı hem maksimal eleman, hem de minimal 

elemandir. P(R) de ise R maksimal eleman ve ∅ minimal elemandir. 

Örnek 6. X={a,b,c,d,e} olsun. Aşağıda, daha once de baska bir örnekde 

27




verilmis olan, şekilde görüldüğü gibi X üzerinde şu şekilde bir 

kısmi sıralama bağıntısı tanımlayalım. 

x≤y ⇐⇒ x=y ya da x den y ye daima isaret edilen yonde 

hareket edilebilir. 

8 

A={a,b,d,e} olsun. a, A nin bir maksimal elemanı, d ile e de A nin 

minimal elemanlarıdir. B={a,c,d,e} kümesini gözönüne alalım. a, B 

nin maksimum elemanıdır dolayısiyla maksimal elemanıdır, d ile e B 

nin minimal elemanlarıdir, ancak B nin minimum elemanı yoktur. 

Örnek 7. X={1,2,5,6} olsun. Aşağıda şekilde görüldüğü gibi X üzerinde 

şu şekilde bir kısmi sıralama bağıntısı tanımlayalım. 

x≤y ⇐⇒ x=y ya da x den y ye daima isaret edilen yonde 

hareket edilebilir. 

9 

A={1,2,5,6} olsun. 1, 2 A nin maksimal elemanlarıdir. Maksimum elemanı 

yoktur. 5 ve 6 A nin minimal elemanlarıdir. Minimum eleman yoktur. 

Bir kümenin en küçük üst sınırı kümeye aitse maksimum eleman, en 

buyuk alt sınırı kümeye aitse minimum eleman olduğu 

gorulmektedir. 

Örnek 8. X bos olmayan herhangi bir küme olmak üzere (P(X), ⊂) 

kısmi sıralanmış kümesini gözönüne alalım. X in alt kümelerinin bir 

ailesi A={A i : i∈I} olsun. Bu takdirde, 

sup A = 

Ai , inf A = Ai 

i∪ 

∈ I 

I 

i∩ 

∈ 

10 

olur. Asikar olarak sup P(X)=X ve ve inf P(X) = ∅ dir. Ayrica max 

P(X)=X ve min P(X)=∅ dir. 

Eger kısmi sıralı bir X kümesinin bir A alt kümesinin her eleman 

çifti X üzerindeki kısmi sıralama bağıntısı tarafindan dogurulan 

bağıntıya göre karşılastırılabiliyorsa, A ya X de bir zincir denir. 

Diger bir ifadeyle kısmi sıralı bir X kümesinin bir A alt kümesinin 

her x, y elemanları için ya x≤y ya da y≤x oluyorsa A kümesine X 

de bir zincir adi verilir. Buna göre, kısmi sıralı bir kümenin tam sıralı 

her bir alt kümesine bir zincir denmektedir. Eger X tam sıralı bir küme 

ise X kendi içinde bir zincir olacaktir. Ornegin, R reel sayılar 

kümesini "küçük veya eşit" bağıntısı ile kısmi sıralanmış bir küme 

olarak gözönüne alabilecegimiz gibi, tam sıralı bir küme 

olarak da dusunebilecegimizi biliyoruz. Bu durumda R nin her A 

alt kümesinin R de bir zincir olduğunu göruyoruz. 

Örnek 9. X = { a, b, c, d, e} olmak üzere 

{ {a}, {a,b}, {a,b,c}, {a,b,c,d}, X } 

28




ailesi P(X) de ⊂, kapsama bağıntısına göre bir zincirdir. 

Örnek 10. X = { a, b, c, d, e} kümesini üzerinde Örnek 6 daki kısmi 

sıralama bağıntısı ile gözönüne alalım. Bu takdirde {a,b,d} kümesi X de 

bir zincirdir, ancak B={a,b,c} kümesi X de bir zincir olamaz; çünkü, 

ne b≤c ne de c≤b dir. 

Örnek 11. N dogal sayılar kümesinde bir bağıntıyı şöyle 

tanımlayalım: eger n, m sayisini tam olarak boluyorsa n, ≤ 

bağıntısı ile m e bagli olsun. N kümesinin kısmi sıralı bir küme olduğu 

gösterilebilir. Ayrica her n sabit dogal sayisi için 

A n = {1, n, n 2 , n 3 , ...,n k ,...} 

kümesinin N de bir zincir olduğu gösterilebilir. Mesela, n=2 için 

A 2 = {1, 2, 4, 8, ...,2 k ,...} 

kümesi N de bir zincirdir. 

Simdi kümeler teorisinin temel aksiyomlarından biri olan seçme 

aksiyomuna eşdeğer olan bir lemmayı aşağıda veriyoruz. Bunun 

ispatını konumuz dışına taşması nedeniyle vermiyoruz. 

Lemma 1.4.1 (Zorn Lemması). X kısmi sıralanmış bir küme ve X deki her 

zincir bir üst sınıra sahip olsun. Bu takdirde X bir maksimal elemana 

sahiptir. 

IR, reel sayılar kümesindeki eşitlik, = bağıntısına benzer olarak 

herhangi bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma, simetri ve geçişme 

özelliklerine sahip olarak tanımlanan ≅ bağıntısına X üzerinde bir 

denklik bağıntısı denir: 

(D1) her x∈X için x≅x dir, (Yansıma özelliği) 

(D2) her x, y∈X için x≅y ise y≅x dir, (Simetri özelliği) 

(D3) her x, y, z∈X için x≅y ve y≅z ise x≅z dir. (Geçişme 

özelliği) 

Örnegin, bütün düzlemsel üçgenlerin kümesi üzerinde benzerlik ve ayni 

alana sahip olmak birer denklik bağıntısıdir. Baska bir örnek olarak, Z 

tamsayılar kümesi üzerinde n-m farkinin 3 ile tam olarak bolunebilir 

olmasıni, yani n≡m(mod3) olmasıni n≅m ile gösterirsek, ≅, Z üzerinde 

bir denklik bağıntısı olur. 

X bir küme ve X üzerinde bir denklik bağıntısı ≅ olsun. x∈X 

olmak üzere X in ≅ denklik bağıntısına göre x e bagli olan bütün 

elemanlarınin kümesine x in denklik sınıfı denir ve bu [x] ile 

gösterilir. Buna göre, 

[x] = { y∈X : x≅y } 

dir. Örneğin, bütün düzlemsel üçgenlerin kümesi üzerinde benzerlik denklik 

bağıntısına göre bir düzlemsel üçgenin denklik sınıfı o üçgene benzer 

olan bütün üçgenlerin kümesi olacaktir. Z tamsayılar kümesi üzerinde n-m 

29




farkinin 3 ile tam olarak bölünebilir olması, yani n≡m(mod3) 

olması denklik bağıntısı ≅ ni gözönüne alırsak, 

[1] = { ..., -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, ...} 

dir. 

Şimdi denklik bağıntısı ile ilgili bir teorem veriyoruz. 

Teorem 1.4.2. X boş olmayan herhangi bir küme ve X üzerinde herhangi 

bir denklik bağıntısı ≅ olsun. Bu takdirde, X in denklik sınıfları 

kümesi { [x] : x∈X }, X in bir parcalanisini olüsturur. Karsit 

olarak, X in verilen herhangi bir P parcalanisi için bu 

parcalanisi doğuracak şekilde X üzerinde bir ≅ denklik bağıntısı vardir. 

İspat. X herhangi bos olmayan bir küme ve bu küme üzerinde herhangi 

bir denklik bağıntısı ≅ olsun. { [x] : x∈X } ailesinin X in 

bir parcalanışı olduğunu göstermek için X= 

x∪ 

∈ 

X 

[x] olduğunu ve X in 

her bir elemanınin { [x] : x∈X } 

ailesinin yalnız bir tek elemanına ait olduğunu göstermeliyiz. Her x∈X 

için [x]⊂X olduğu yansıma özelliğinden gorulmektedir. Dolayısiyle 

∪ 

∈X x 

[x]⊂X dir. Her x∈X için x≅x olduğundan, x∈[x] olacağından, 

X⊂∪ [x] dir. Boylece 

x ∈X 

∪ [x]⊂X ve 

x ∈X 

X⊂∪ 

x ∈X 

bulunur. Simdi de X in her bir elemanınin 

[x] olur ki X=∪ 

x ∈X 

{[x] : x∈X } ailesinin yalnız bir tek elemanına ait olduğunu 

gösterecegiz. Kabul edelim ki bir z∈X elemanı hem [x] 

[x] 

ye hem de [y] 

ye ait olsun. Bu takdirde, z∈[x] ve z∈[y] dir, buradan z≅x ve z≅y 

yazabiliriz. Simetri özelliğinden dolayi x≅z ve z≅y dir. Geçişme 

özelliğinden, x≅y bulunur. Bu ise y∈[x] demektir. Oysa bu [y]=[x] 

olmasıni gerektirir. Bunu göstermek için [y]⊂[x] ve [x]⊂[y] 

olduğunu göstermeliyiz. [y]⊂[x] olduğunu göstermek için herhangi bir 

t∈[y] alalım. Bu takdirde, t≅y dir. y∈[x] olduğundan, y≅x dir. 

Dolayısiyla geçişme özelliğinden, t≅x bulunur. Bu ise t∈[x] olması 

demektir. Yani [y]⊂[x] dir. Benzer şekilde, [x]⊂[y] olduğu da 

gösterilebilir. Dolayısiyla [y]=[x] elde edilmis olur. 

Simdi de karsit olarak, X in herhangi bir P parcalanisi 

verilsin. X in herhangi iki x, y elemanınin P nin ayni bir 

elemanında bulunmasini x≅y ile göstererek X üzerinde bir ≅ 

bağıntısını tanımlayalım. Bu şekilde tanımladığımız bağıntı X üzerinde 

bir denklik bağıntısı olacaktir. Bu denklik bağıntısının doguracagi 

30




parcalanis ile P parcalanışının ayni olacagi gorulmektedir. 

Örnek 12. f : X → Y olsun. X deki herhangi iki x 1 , x 2 elemanları 

için x 1 ≅x 2 olmasıni f(x 1 )=f(x 2 ) olması seklinde tanımlarsak, ≅ X 

üzerinde bir denklik bağıntısı olur. X in denklik sınıfları kümesini 

[X] ile gösterelim. Simdi f 1 ile bir f fonksiyonunu herhangi bir 

x∈X için f 1 ([x])=f(x) olarak tanımlamak suretiyle esleyelim. f 

birebir olmadığı halde f 1 birebirdir. İlk once x 1 ≅x 2 olmasıni 

f(x 1 )=f(x 2 ) olması seklinde tanımladığımızda ≅ nin bir denklik 

bağıntısı olduğunu gösterelim. Her x∈X için f(x)=f(x) olduğu için x≅x 

olur ki ≅ yansıma özelliğine sahiptir. x 1 ≅x 2 ise f(x 1 )=f(x 2 ) dolayısiyla 

f(x 2 )=f(x 1 ) ve dolayısiyla x 2 ≅x 1 olur ki ters simetri özelliği saglanmis 

olur. Simdi x 1 ≅x 2 x 2 ≅x 3 olsun. Bu takdirde, f(x 1 )=f(x 2 ) ve 

f(x 2 )=f(x 3 ) olur ki buradan f(x 1 )=f(x 3 ) elde edilir bu ise x 1 ≅x 3 

demektir. O halde geçişme özelliği de sağlanır. Boylece ≅ nin bir 

denklik bağıntısı olduğu elde edilmis olur. Simdi de f| nin denklik 

sınıfının temsilcilerinden bagimsiz olduğunu gösterelim. Yani z, [x] 

denklik sınıfının herhangi bir elemanı ise f([z])=f([x]) olduğunu 

göstermeliyiz. z∈[x] ise x≅z dir, dolayısiyla f(x)=f(z) dir. f| nin 

tanımından, f|([x])=f|([z]) dir. O halde f 1 fonksiyonu denklik 

sınıfının temsilcilerinden bagimsizdir. f 1 nin birebir olduğunu göstermek 

için, f 1 ([x])=f 1 ([x 2 ]) alalım. Bu takdirde, f 1 nin tanımından f(x 1 )=f(x 2 ) 

dir. Buradan 

x 1 ≅x 2 ve dolayısiyla [x 1 ]≅[x 2 ] bulunur. O halde f 1 birebirdir. Burada f 

nin birebir olma zorunlulugunun olmadığını görmekteyiz. 

31




1.4. ALIŞTIRMALAR (KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI) 

(1) RxR üzerinde (x 1 ,x 2 ), (y 1 ,y 2 ) elemanları için x 1 =y 1 oluyorsa 

(x 1 ,x 2 )≅(y 1 ,y 2 ) diyelim. ≅ nin bir denklik bağıntısı olduğunu 

ispatlayiniz. (0,0) ve (0,1) in denklik sınıflarını bulunuz. 

(2) X boş olmayan herhangi bir küme ve A,B⊂X olsun. A dan B uzerine 

birebir bir fonksiyon bulunabiliyorsa A≅B diyelim. ≅ nin P(X) 

kuvvet kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu ispat ediniz. x∈X 

olmak üzere {x} tek nokta kümesinin denklik sınıfını bulunuz. x,y∈X 

olmak üzere {x,y} nin denklik sınıfını bulunuz. 

(3) NxN üzerinde (i,j)≅(m,n) ⇐⇒ in=jm ile bir ≅ 

bağıntısı tanımlayalım. ≅ 

gösteriniz. 

bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu 

(4) NxN üzerinde (i,j)≅(m,n) ⇐⇒ i+n=j+m ile bir ≅ 

bağıntısı tanımlayalım. ≅ bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu 

gösteriniz. (2,5) nin denklik sınıfını bulunuz. 

(5) RxR üzerinde (x,y)≅(w,z) ⇐⇒ x=w 

ile bir ≅ bağıntısı tanımlayalım. ≅ bağıntısının bir denklik bağıntısı 

olduğunu gösteriniz. (1,2) nin denklik sınıfını bulunuz. 

(6) a,b sabit reel sayılar olsun. RxR üzerinde (x,y)≅(w,z) ⇐⇒ 

x-w=ka, y-z=kb olacak şekilde bir k tamsayisi vardir. 

ile bir ≅ bağıntısı tanımlayalım. ≅ bağıntısının bir denklik bağıntısı 

olduğunu gösteriniz. Bazi denklik sınıflarının grafiğini çiziniz. 

(7) X kısmi sıralı bir küme olsun. Bu takdirde, X in tam sıralı baska 

hic bir alt kümesinin gercel alt kümesi olmayan tam sıralı bir alt kümesi 

vardir. (Yol Gösterme: X in bütün tam sıralı alt kümelerinin sınıfını 

A ile gösteriniz ve bunu küme kapsama bağıntısı ile kısmi sıralanmış 

küme olarak gözönüne aliniz. A nin tam sıralı bir alt sınıfı olarak B = 

32




{B i :i∈I} aliniz ve A= Bi 11 yaziniz. A 

i∪ 

∈ I 

nin tam sıralı olduğunu 

kullanip, Zorn lemmasindan yararlaniniz). 

(8) Boş olmayan herhangi bir X kümesi ve bu kümenin herhangi bir P 

parcalanisi verilsin. X in herhangi iki x, y elemanınin P nin ayni bir 

elemanında bulunmasini x≅y ile gösterelim. Bu şekilde tanımladığımız ≅ 

bağıntısının X üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. 

33

1.4. Kısmi sıralama ve denklik bağıntısı.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?