Microsoft Word - Reel Analiz 1 30 Ekim 2006.pdf

H.L.Royden Real Analysis 

çeviri ve düzenleme Prof.Dr.Hüseyin Çakallı 

1. KÜMELER TEORİSİ 

1. Giriş. 

Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. 

Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege, 

Russel ve diğerleri tarafından başlamıştır ve matematiğin yalnız başına kümeler teorisi üzerine 

kurulabileceği ortaya çıkmıştır. Aslında çoğu matematik bilgilerini ve teorisini kümeler teorisi 

üzerine kurmak kolaydır, fakat maalesef kümeler teorisi Frege ve Russel’in varsaydığı gibi o 

kadar da kolay değildir. Çünkü çok geçmeden kümeler teorisinin kritik yapılmadan özgürce 

kullanılmasının çelişkilere neden olacağı ortaya çıkmıştır ve kabaca söyleyecek olursak, 

kümeden bahsederken kümeyle her şeyi kasdetmeye çalışırsak yani çok geniş bir şekilde 

kümeleri tanımlarsak çelişki ortaya çıkar. Bu kitapta çelişkileri önlemek için 

incelemelerimizde verilen belli bir X uzayı ya da kümesini ya da bir X kümesinin elemanları 

olan kümeleri ya da elemanları X in alt kümeleri olan kümeler sınıfını ya da elemanları X in 

alt kümelerinin aileleri olan ve benzer şekilde olan kümeleri gözönüne alacağız. İlk bir kaç 

bölümde de çoğu zaman X reel sayılar kümesini gösterecektir. 

Bu bölümde kümeler ile ilgili daha sonra kullanılacak kavramları açıklayacağız. Kümeler 

teorisi ile ilgili zorlayıcı ispatlardan ziyade doğrudan makul daha anlaşılır incelemeyi açıklayıcı 

olarak vermek amacımız olacaktır. 

Doğal sayılar (pozitif tamsayılar) bu kitapta önemli rol oynayacaktır. IN ile doğal sayılar 

kümesini göstereceğiz. Tümevarım prensibinin ve iyi sıralanma prensibininin de sağlandığını 

bileceğiz. 

Şimdi bir çoğu daha önceden bildiğiniz, incelememiz için gerekli olan kümeler teorisi ile 

ilgili bilgileri vereceğiz. 

Küme (veya cümle) deyince belli özelliğe sahip nesnelerin iyi tanımlı bir topluluğunu 

kastedeceğiz ve kümeyi meydana getiren nesnelere de kümenin elemanlari diyeceğiz. 

Kümeleri A, B, C, ..., X, V, W, Y, Z gibi büyük harflerle ve elemanları da a, b, c, ..., x, v, w, 

y, z gibi kücük harflerle göstereceğiz. a bir A kümesinin elemanı ise a∈A ile gosterecek, bir 

b elemanının bir A kümesine ait olmamasını ise b∉A şeklinde yazacağız. Kümeler ya 

elemanlarını kıvrımlı parantez içine yazmak suretiyle, örneğin a, b, c gibi üç elemandan ibaret 

olan bir kümeyi { a, b, c } şeklinde göstereceğiz. { a, b } ifadesinde sıralama önemli 

değildir, yani { a, b } ={ b, a } dır. Bu sebepten { a, b } gösterimine sırasız ikili ( sırasız 

çift) denir. 

1



Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir ve ∅ veya { } şeklinde gösterilir. Bir A 

kümesinin her elemanı bir diğer B kümesinin elemanı oluyorsa A ya B nin bir alt kümesi ( 

A ya B tarafından kapsanır veya B, A yi kapsar ya da B, A nin üst kümesidir) denir ve 

bu A⊂B şeklinde gösterilir. Bunu biz x∈A ise x∈B dir şeklinde de ifade edebiliriz. Boş 

küme her kümenin alt kümesidir. Eğer A⊂B ve B⊂A oluyorsa A ile B kümelerine esittir 

denir ve bu A=B yazılarak gösterilir. Bir A kümesi diğer bir B kümesinin alt kümesi 

değilse, A⊂B ifadesinde alt küme isaretinin üzerine bir eğik çizgi çizilerek gösterilir. Eğer 

A⊂B ve B⊂C ise A⊂C olduğu (p⇒q ve q⇒r) ise p⇒r olduğu gerçeğinden 

görülmektedir. 

Sıralı çift ya da sıralı ikili de ise elemanların sırası önemlidir, Sıralı çiftleri (a,b) şeklinde 

göstereceğiz. (a,b)=(c,d) olması için gerek ve yeter koşul a=c ve b=d olmasıdır. Sıralı 

ikililerde elemanların sırası değişirse sıralı değişir, yani (a,b)≠(b,a) dır. Benzer şekilde sıralı 

üçlüleri gözönüne alabiliriz. (a,b,c) sıralı üçlüsünde a, b ve c nin sırası önemlidir. 

(a,b,c)=(x,y,z) olması için gerek ve yeter koşul a=x , b=y ve c=z olmasıdır. X ile Y iki 

küme ise X ile Y nin kartezyen çarpımı birinci elemanları X kümesine ait olan ve ikinci 

elemanları Y kümesine ait olan bütün sıralı ikililerin kümesidir ve XxY ile gösterilir. Benzer 

şekilde X , Y ve Z kümeler ise bu üç kümenin XxYxZ kartezyen çarpım kümesi de birinci 

elemanları X kümesine, ikinci elemanları Y kümesine ve üçüncü elemanları da Z kümesine 

ait olan bütün sıralı üçlülerin kümesi olacaktır. XxX yerine X 2 gösterimi ve XxXxX yerine 

X 3 

gösterimi kullanılacaktır. 

Alıştırmalar 

1) {x : x ≠ x} = φ olduğunu gösteriniz. 

2) x ∈φ 

ise x in yeşil gözlü bir aslan olduğunu gösteriniz. 

3) Genel olarak Xx(YxZ) kümesi ile (XxY)xZ kümesinin farklı olduğunu ancak bu 

kümelerin her birisi ile XxYxZ kümesi arasında doğal bir eşlemenin var olduğunu gösteriniz. 

4) İyi sıralama prensibinin tümevarım prensibini gerektirdiğini {n∈IN: P(n) yanlış} kümesini 

göz önüne alarak ispat ediniz. 

5) İyi sıralama prensibini elde etmek için matematiksel tümevarım prensibini kullanınız. [ 

Elemanları pozitif tamsayı olan IN in bir alt kümesi için “ n∈S olduğunda S en küçük 

elemana sahip olsun” önermesine P(n) diyelim]. 

2



2. Fonksiyonlar 

Fonksiyon kavramını vermeden önce kartezyen çarpım ve bağıntı tanımlarını ifade edelim: 

A ve B iki küme olsun. a∈A, b∈B olmak üzere bütün (a,b) sıralı ikililerinin kümesine A 

ile B nin kartezyen çarpımı denir ve AxB ile gösterilir. Buna göre, 

AxB = { (a,b) : a∈A ve b∈B } 

dir. AxB nin BxA ya eşit olması ancak A=B özel durumunda karşımıza çıkar. Ayrıca 

Ax∅=∅xA=∅ dir. 

AxB nin her bir alt kümesine A dan B ye bağıntı denir. Eğer β bir bağıntı ve (a,b)∈β 

ise aβb yazarak gösterilir. 

Eger X den Y ye bir f bağıntısı için her x∈X için (x,y)∈f olacak sekilde bir y∈Y varsa 

ve (x,y)∈f ve (x,z)∈f olması y=z olmasını gerektiriyorsa f ye X den Y ye bir 

fonksiyon denir ve (x,y)∈f yerine f(x)=y yazılır ve f : X|Y gösterimi kullanılır. X 

kümesine f nin tanım kümesi ve 

{y∈Y : en az bir x∈X için y=f(x) } 

kümesine f nin görüntü kümesi denir ve f(X) ile gösterilir. Her x 1, x 2∈X için f(x 1)=f(x 2) 

olması x 1=x 2 olmasını gerektiriyorsa f fonksiyonuna birebirdir denir eğer f(X)=Y 

oluyorsa X den Y ye f fonksiyonuna örtendir denir. 

Buna göre X den Y ye bir f fonksiyonunun birebir olması için gerek ve yeter kosul x 1#x 2 

özelliğini saglayan her x 1, x 2∈X için f(x 1)#f(x 2) olmasıdır ve örten olması için gerek ve yeter 

koşul her y∈Y için f(x)=y olacak sekilde en az bir x∈X elemanının var olmasıdır. 

f, X den Y ye bir fonksiyon ise A⊂X için 

f(A)={ y : y∈Y ve y=f(x) olacak sekilde en az bir x∈A vardır } 

dir ve f(A) ya A nin f altında görüntüsü denir ve B⊂Y olmak üzere { x : f(x)∈B } 

kümesine B kümesinin ters görüntüsü denir ve f -1 (B) ile gösterilir. Buna göre 

f -1 (B) = { x : f(x)∈B } 

dir. 

{ (x,f(x)) : x∈X } kümesine f fonksiyonunun grafiği denir ve G f ile gösterilir. Buna gore 

G f = { (x,f(x)) : x∈X } 

dir. 

f ve g tanım kümeleri sırasıyla X ve Z olan fonksiyonlar olsun. Eğer X=Z ve 

her x∈X için f(x)=g(x) oluyorsa f ile g fonksiyonları eşittir denir ve bu f=g yazılarak 

gösterilir. 

3



f ve g tanım kümeleri sırasıyla X ve Z olsun. Eğer Z⊂X ve her x∈Z için g(x)=f(x) 

oluyorsa g ye f in Z ye kısıtlaması denir ve f /Z ile gösterilir. 

I : X → X fonksiyonu her x∈X için I(x)=x özelliğini sağlıyorsa I fonksiyonuna 

özdeşlik fonksiyonu denir ve alışıldığı üzere I ile gösterilir. g : X → X ve Z⊂X olmak 

üzere her x∈Z için g(x)=x oluyorsa g ye özdeşleyen fonksiyon denir. 

Z ye 

f : X→ Y ve g : Y→ Z ise f ile g nin gof seklinde gösterilen bileşke fonksiyonu X den 

gof = {(x,z) : x∈X ve ∃ y∈Y için (x,y)∈f ve (y,z)∈g } 

biciminde tanımlanan fonksiyondur. gof ile fog nin farklı olduğunu eşitliğin ancak çok özel 

durumlarda söz konusu olduğunu görüyoruz. 

Fonksiyonları sıralı ikililer olarak tanımlayabiliyoruz. Sıralı ikilileri de fonksiyon 

yardımıyla tanımlıyabiliyoruz. Bir sıralı ikili tanım kümesi {1,2} kümesi olan bir fonksiyondur. 

Benzer şekilde n terimli sonlu bir dizi tanım kümesi {i∈IN: i≤n} kümesi olan bir fonksiyondur. 

Benzer şekilde sonsuz bir dizi tanım kümesi doğal sayılar kümesi olan bir fonksiyondur. Bir 

dizinin değer kümesi bir X kümesinde ise X de bir dizi ya da X in elemanlarının bir dizisi 

diyeceğiz. Dizilerle uğraşırken alışılmış fonksiyon notasyonundan farklı olarak fonksiyonun I 

deki değerini x i olarak göstereceğiz ve bu değere dizinin i-inci elemanı diyeceğiz. Sıralı n-liyi 

n 

( x i ) 

i= 1 ile ve sonsuz dizileri ∞ 

( x i ) i =1 ile göstereceğiz. Bir (x i ) dizisinin değer kümesini 

{ x i} i 

∞ =1 ile göstereceğiz. Böylece sıralı n-li 

olacaktır. 

n 

( x i ) 

i= 1 nin değer kümesi n 

{ xi} 

i = 1 

sırasız n-li 

Bir A kümesi sonlu bir dizinin değer kümesi ise A kümesine sonlu küme denir, eğer bir dizinin 

değer kümesi ise A kümesine sayılabilir küme denir.( Çoğu yazar sayılabilir kümesinin 

kullanılışını sonsuz ve sayılabilir kümelere kısıtlarlar ancak bizim tanımımız sonlu kümeleri de 

sayılabilir kümeler olarak almaktadır. 

Bir dizi tanımlamanın en yararlı yollarından biri aşağıdaki prensip ile verilmektedir: 

Ardışık tanımlama prensibi: Bir X kümesinden kendisine bir fonksiyon f olsun ve a da 

X in bir elemanı olsun. Bu takdirde x 1 =a ve her bir i için x i+1 =f(x i ) olacak şekilde bir tek (x i ) 

sonsuz dizisi vardır. 

Böyle bir dizinin varlığı sezgisel olarak açıktır: x 1 =a , x 2 =f(a), x 3 =f(f(a)) ve böyle devam ederek 

tanımlayalım. Daha formal bir ispat aşağıdaki gibi verilebilir: Önce her bir n doğal sayısı için 

( n) 

n 

x 

1 = a ve 1≤i



olacak şekilde 

n 

x 1 , 

n 

x 2 , …, 

n 

x n biçiminde bir tek sonlu dizinin var olduğunu n e göre 

tümevarımla ispat edelim. Teklikten dolayı, 1≤n≤m 

için 

( n) 

( m) 

x i = x i elde edilir. Böylece 

eğer x n = 

(n) 

( n) 

x n olarak tanımlarsak, x i = xi 

gereklerini sağladığını görürüz. 

elde ederiz ve x i 

dizisinin prensibimizin 

Bu prensibin biraz daha geneli aşağıdadır: Her bir n doğal sayısı için f n fonksiyonu X n 

den X e olsun ve a∈X olsun. Bu takdirde x 1 =a ve x i+1 =f i (x 1 , x 2 ,…,x i ) olacak şekilde X 

den alınan bir tek (x i ) dizisi vardır. 

Dizi kavramı ile ilgili önemli bir tanım da alt dizi kavramıdır. IN den IN e bir g 

fonksiyonu eğer (i>j) ⇒ (g(i)>g(j) ) oluyorsa monotondur denir. f sonsuz bir dizi olduğunda ( 

yani, tanım kümesi IN olan bir fonksiyon ise ) eğer h=fog olacak şekilde IN den IN e 

monoton bir g fonksiyonu varsa h ya f sonsuz bir alt dizisi denir. Eğer f yi (f i ) olarak ve 

ve g yi (g i ) olarak yazarsak, fog yi de ( 

f g i 

) olarak yazarız. 

Problemler 

6. Boş olmayan bir X uzayından Y içine bir dönüşüm f : X→Y olsun. f fonksiyonunun 

birebir olması için gerek ve yeter koşul gof in X üzerinde özdeşlik dönüşümü olacağı şekilde , 

yani her x∈X için g(f(x))=x olacak şekilde bir g : Y→ X dönüşümünün var olmasıdır. 

7. X den Y ye bir dönüşüm f : X→Y olsun. Eğer fog fonksiyonu Y üzerinde özdeşlik 

dönüşümü olacak şekilde yani her y∈Y için f(g(y))=y olacak şekilde bir g: Y→X 

dönüşümü varsa f in örten olduğunu ispat ediniz( Karşıtı için problem 20 ye bakınız.). 

8. Yukarıda konu içinde ifade edilen genelleştirilmiş ardışık tanım prensibini matematiksel 

tümevarımı kullanarak ispat ediniz. 

3. Birleşim, Arakesit ve Tümleyen 

A nın elemanı olup da B nin elemanı olmayan elemanların kümesine B nin A ya 

göre tümleyeni denir ve A\B ile gösterilir. Bazen A\B ye A dan B nin farki kümesi de denir. 

A nin evrensel küme dedigimiz, ilgilendigimiz bütün kümeleri kapsayan en buyuk kümeye göre 

tümleyeni \A veya A t ile ya da X evrensel küme olmak üzere X\A ile gösterilir. 

5



Hem A da hem de B de bulunan elemanların kümesine A ile B nin kesişim (veya 

arakesit) kümesi denir ve A∩B ile gösterilir. Buna göre, 

A∩B = { x : x∈A ve x∈B } 

dir. A da veya B de ( burada veya kelimesi ile hem A da hem B de olan elemanlar ile A da 

ya da B de bulunan elemanlar kastediliyor) bulunan elemanların kümesine A ile B nin 

birleşim kümesi denir ve A∪B ile gösterilir. Bunu 

A∪B = { x : x∈A veya x∈B } 

ile gösteririz. Kesişimin birleşim üzerine ve birleşimin kesişim üzerine dağılma özellikleri 

vardır, yani 

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) ve A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 

dir. İki kümenin kesişim ve birleşiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kuralları 

X\(A∪B) =(X\A)∩(X\B) ve X\(A∩B) = (X\A)∪(X\B) 

dir. 

Kümelerin çok sayıda elemandan oluşması halinde indisler kullanarak { x i : i∈I } 

şeklinde ya da kümenin elemanlarının sahip olduğu özelliği belirleyen kuralı yazmak 

suretiyle gösterilir. Mesela rasyonel sayılar kümesi Q={p/q :p∈Z ve q∈N } şeklinde 

gösterilir. 

I, herhangi bir küme olmak üzere, { x i : i∈I } kümesine indislendirilmis küme denir. 

Örneğin, { 1, 3, 5 } kümesi I={ 1, 2, 3 } olmak üzere x i =2i-1 yazarsak { x i : i∈I } 

şeklinde gösterilebilecektir.Başka iki örnek olarak, tüm tek doğal sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: 

i∈N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i∈N } şeklinde gösterilebilecektir. 

Herhangi bir I indis kümesi tarafından 

{G i : i∈I } ise bu ailenin elemanlarınin birleşimi olan küme 

{ x : en az bir i∈I için x∈G i } 

olup, 

i∪∈I 

Gi 

Ayni ailenin kesişimi de 

{ x : her i∈I için x∈G i } 

veya ∪ { G i : i∈I } ya da Gi 

I∪ 

olup, i 

∈ 

∩ 

I G i veya ∩ {G i : i∈I } ya da Gi 

I∩ 

üzerinden kesişim ve birleşim için aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz. 

indislendirilmis kümelerin herhangi bir ailesi 

şeklinde yazılarak gösterilir. 

şeklinde gösterilir. Boş sınıf 

6



∪ { G i : i∈∅ } = ∅ ve ∩ { G i : i∈∅ } = X. 

Bir X kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye X in kuvvet kümesi denir ve P(X) ( 

veya 2 X ) ile gösterilir. 

Bir kümeler ailesinin birleşim ve kesişiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kurallarını 

aşağıda veriyoruz: 

{ G i : i∈I } ⊂ P(X) olduğuna göre aşağıdakiler sağlanır: 

(i) X\( ∩ { G i : i∈I }) = ∪ { X\G i : i∈I } 

(ii) X\( ∪ {G i : i∈I }) = ∩ { X\G i : i∈I } 

İspat. (i) Eşitliğin doğru olduğunu ispatlamak için eşitliğin iki yanındaki her bir kümenin 

biribirinin altkümesi 

olduğunu göstereceğiz. Yani 

X\( ∩ { G i : i∈I }) ⊂ ∪ { X\G i : i∈I } 

ve 

∪ { X\G i : i∈I } ⊂ X\( ∩ { G i : i∈I }) 

olduğunu ispatlayacağız. Önce 

X\( ∩ { G i : i∈I }) ⊂ ∪ { X\G i : i∈I } 

olduğunu gosterelim. Bunun için herhangi bir x∈ X\( ∩ { G i : i∈I }) 

alalım. Bu takdirde, x∈X ve x∉( ∩ { G i : i∈I }) dir. Buradan 

x∈X ve en az bir i∈I için x∉G i dir. Dolayısıyla en az bir 

i∈I için x∈X\G i dir. Boylece 

x∈ ∪ { X\G i : i∈I } olur. Buradan 

X\( ∩ { G i : i∈I }) ⊂ ∪ { X\G i : i∈I } 

elde edilmis olur. Simdi de 

∪ { X\G i : i∈I } ⊂ X\( ∩ { G i : i∈I }) 

7



olduğunu ispat edelim. Bunun için herhangi bir x∈∪ { X\G i : i∈I } alalım. Bu durumda en az 

bir i∈I için x∈X\G i olur. Buradan x∈X ve en az bir i∈I için x∉G i elde edilir. Dolayısıyla 

x∈X ve x∉∩ { G i : i∈I } ve dolayısıyla x∈X\( ∩ { G i : i∈I }) elde edilir. 

Böylece 

∪ { X\G i : i∈I } ⊂ X\( ∩ { G i : i∈I }) 

olduğu gösterilmis olur. (i) in sagındaki eşitliğin her iki yani biribirinin alt kümesi olduğundan 

(i) deki eşitliğin doğru olduğu gosterilmis oldu. 

Simdi de (ii) nin ispatını verelim. (i) deki eşitligi kullanarak bunu kısaca ispat edebiliriz. 

(i) deki eşitlikte G i ler yerine X\G i kümelerini alır ve X\(X\A)=A olduğunu 

kullanırsak, 

X\( ∩ { X\G i : i∈I }) = ∪ { X\(X\G i) : i∈I } = ∪ { G i : i∈I }) 

elde ederiz. Yani 

∪ { G i : i∈I }) = X\( ∩ { X\G i : i∈I }) 

olur. Bu eşitliğin her iki yanının X e göre tümleyeni alınırsa, 

X\( ∪ { G i : i∈I }) =X\(X\( ∩ { X\G i : i∈I })) = ∩ { X\G i : i∈I } 

bulunur. Bu da ispatı tamamlar. 

A\B kümesi ile B\A kümesinin birleşimi kümesine A 

A∆B ile gösterilir. Buna göre 

A∆B = (A\B)∪(B\A) 

ile B nin simetrik farki denir ve 

dir. Buna göre A∆B=B∆A olduğunu görüyoruz. Ayrıca A∆B nin (A∪B)\(A∩B) kümesine 

esit olduğu kolayca görülür. Yani A∆B=(A∪B)\(A∩B) dir. İki kümenin simetrik farkının 

tümleyeni ise birinin tümleyeni ile diğerinin simetrik farkına eşittir. Yani 

(A∆B) t =A t ∆B=A∆B t 

dir. Bu eşitlikten faydalanarak iki kümenin simetrik farkının o kümelerin 

tümleyenlerinin 

simetrik farkına eşit olduğu gösterilebilir. İki kümenin simetrik farkının boş olması için 

gerek ve yeter koşul birbirlerine esit olmasıdır. Simetrik farkın kümelerden birine eşit olması 

için gerek ve yeter koşul diğerinin boş olmasıdır. Kesişimin simetrik fark üzerine dağılma 

özelliği vardır, ancak birleşimin simetrik fark üzerine dağılma özelliği yoktur. 

8



1.1. ALISTIRMALAR ( BİRLEŞİM , ARAKESİT , TÜMLEYEN ) 

(9) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız. (a) ∅ t =X (b) X t =∅ (c) 

A∪A = A (d) A∩A = A 

(e) A∪∅=A (f) A∩∅=∅ (g) A∪X=X (h) A∩X = A 

(i) A\B=A∩B t (i) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C (j) A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 

(k) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (l) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 

(m) (A∪B)\C = (A\C)∪(B\C) (n) (A∩B)\C = (A\C)∩(B\C) 

(o) A t \B t =B\A (o) (A\B)\C=A\(B∪C) 

(p) A∩(B\C)=(A∩B)\(A∩C) (r) A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C) 

(s) P(A∩B)=P(A)∩P(B) 

(10) A ve B herhangi iki küme olsun. Aşağıdakileri ispatlayınız. 

(a) A∩B⊂A (b) A∩B⊂B (c) A⊂A∪B (d) B⊂A∪B 

(e) P(A)∪P(B) ⊂ P(A∪B) 

(11) A ve B iki küme olsun. A⊂B olmasının aşağıdaki koşullardan herbirine denk 

olduğunu ispatlayınız. 

(a) B t ⊂A t (b) A∩B t =∅ (c) A∩B=A (d) A∪B=B 

(e) A∪(B\A)=B (f) B\(B\A)=A 

(g) her bir C kümesi için A∪(B∩C)=B∩(C∪A) dir. 

(h) en az bir D kümesi için A∪(B∩D)=B∩(D∪A) dir. 

(i) P(A)⊂P(B) 

(12) A⊂B⊂C ise B\A⊂C\A ve C\(B\A)=A∪(C\B) dir. Ispat ediniz. 

(13) A, B ve C herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki denklikleri ispatlayınız: 

(a) A⊂B∪C olması için gerek ve yeter koşul A\B⊂C olmasıdır. 

(b) A⊂B∪C olması için gerek ve yeter koşul A\C⊂B olmasıdır. 

(14) A ve B herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki esitliklerin sağlandığını 

gösteriniz: 

(a) A∪(B\A) = A∪B (b) B∪(A\B) = A∪B (c) A\(A\B) = = A∩B 

15) A, B ve C herhangi kümeler olduğuna gore aşağıdakilerin sağlandığını gösteriniz: 

a) A∆B = B∆A ve A∩(B∆C)=(A∩B)∆(A∆C) dir. 

b) A∆B=∅ olması için gerek ve yeter koşul A=B olmasıdır. 

c) A∆B=X ⇔ A=B t 

9



d) A∆φ=A ve A∆X=A t 

e) A∆B=A olmasi icin gerek ve yeter koşul B=∅ olmasıdır. 

f) A∆B=B olmasi icin gerek ve yeter kosul A=∅ olmasıdır. 

g) B\(A∆B) = A∩B (h) (c) A∆B =(A∪B)\(A∩B) (ı) A∆B = A t ∆B t (i) (A∆B) t = A t ∆B 

(j) B∪(B∆A) = A∪B 

(k) A∪(A∆B) = A∪B (Yol Gösterme: A∆B=(A∪B)\(A∩B) olduğunu kullanınız.). 

(l) A∆(A\B)=A∩B (m) B∆(B\A)=A∩B (n) A\(A∆B)= A∩B (o) A∆(B∪A t ) = 

(A∩B) t (k) B∆(A∪B t ) = (A∩B) t 

(ö) A∆B = [A∆(A∪B)]∪[A∆(A∩B)] (p) A∆B = [B∆(A∪B)]∪[B∆(A∩B)] 

(16) f , X den Y ye bir fonksiyon A⊂X ve C⊂Y olsun. Bu takdirde aşağıdakilerin 

sağlandığını ispat ediniz: 

(a) A ⊂ B ise f(A) ⊂ f(B) dir; 

(b) C ⊂ D ise f -1 (C) ⊂ f -1 (D) dir; 

(c) A ⊂ f -1 (f(A)) 

(d) f(f -1 (C)) ⊂ C 

(e) f birebirse f -1 (f(A)) ⊂ A dir; 

(f) f örtense C⊂f(f -1 (C)) dir. 

(17) Bir X kümesinden bir Y kümesine bir f fonksiyonunun birebir olmasi icin gerek ve 

yeter kosul X in her A alt kümesi icin A=f -1 (f(A)) olmasıdır. İspat ediniz. 

(18) Aşağıdakileri ispat ediniz. 

a) f nin birebir olması icin gerek ve yeter koşul X in her A alt kümesi için f(A)∩f(A t )=∅ 

olmasıdır. 

b) f nin örten olmasi icin gerek ve yeter koşul Y nin her B alt kümesi icin f(f -1 (B))=B 

olmasıdır. 

c) f nin örten olması için gerek ve yeter koşul X in her A alt kümesi icin Y\f(A)⊂f(X\A) 

olmasıdır. 

4. Küme Cebiri ( Boole Cebiri) 

Boş olmayan bir X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfı α olsun. Eğer aşağıdaki özellikler 

sağlanıyorsa α ya bir küme cebiri (ya da Boole cebiri) denir. 

(i) A,B∈α ise A∪B∈ α dir, 

10



(ii) A∈α ise A t ∈α dir. 

De Morgan kurallarından aşağıdaki özellik elde edilir. 

(iii) A,B∈α ise A∩B∈ α dir, gerçekten; A∩B=(A t ∪ B t ) t 

olduğu gerçeği göz önünde 

bulundurulduğunda, küme cebiri özellikleri kullanılarak, elde edilir. 

Eğer X in alt kümelerinin bir α sınıfı (ii) ve (iii) özelliklerini sağlıyorsa bu takdirde De 

Morgan kurallarından (i) özelliğini sağlar dolayısıyla küme cebiri ( Boole cebiri) olur. 

Sonlu defa birleşim alarak, A 1 , A 2 ,....,A n kümeleri α sınıfının elemanları iseler, A 1 ∪ A 2 ∪ 

....∪A n birleşim kümesi de α sınıfının elemanıdır. Benzer şekilde, A 1 , A 2 ,....,A n kümeleri α 

sınıfının elemanları iseler, A 1 ∩ A 2 ∩....∩A n arakesit kümesinin de α sınıfının elemanı 

olduğu, sonlu defa arakesit alarak, görülür. 

Örnek 1. Boş olmayan her X kümesi için 2 X bir küme cebiridir. Çünkü; 

(i) A∈2 X ve B∈2 X ise A∪B∈2 X ve 

(ii) A∈2 X ise A t ∈2 X dir. 

Örnek 2. Boş olmayan her X kümesi için α={φ,X} sınıfı bir küme cebiridir. Çünkü; 

(i) φ,X∈α ise φ∪X∈α dir ve 

(ii) φ t =X∈α ve X t =φ dir. 

Örnek 3. X=IN aldığımızda, α={φ,IN, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} sınıfının IN 

üzerinde bir küme cebiri olduğunu görüyoruz. 

Küme cebiri ile ilgili birkaç önerme vereceğiz. Bunlardan ilkini aşağıda veriyoruz: 

1. Önerme. X in alt kümelerinin herhangi bir sınıfı κ olsun. Bu takdirde κ yı kapsayan en 

küçük bir α küme cebiri vardır, yani β sınıfı κ yi kapsayan bir küme cebiri olduğunda β 

sınıfı α sınıfını kapsayacak şekilde κ sınıfını kapsayan bir α küme cebiri vardır. 

İspat. X in alt kümelerinin κ yi kapsayan bütün küme cebirlerinin ailesi γ olsun. 

α=∩{β: β∈γ} yazalım. Bu takdirde α sınıfı κ nın bir alt sınıfıdır, çünkü, γ deki her β 

sınıfı α yi kapsar, Hatta α bir küme cebiridir. Çünkü; A ve B kümeleri α nın elemanı ise 

bu takdirde her bir β∈γ için A∈β ve A∈β dır. β bir küme cebiri olduğundan dolayı 

A∪B∈β dır. Bu her bir β∈γ için sağlandığından dolayı A∪B∈α dır. Benzer şekilde A∈α 

ise A t ∈α olduğunu gösterebiliriz. Gerçekten A∈α ise her bir β∈γ için A∈β dır. β 

küme cebiri olduğundan dolayı A t ∈β dır. Bunu her β∈γ için yapabildiğimizden A t ∈α dır. 

α nın tanımından κ yı kapsayan herhangi bir β küme cebiri için β⊃α olur. Bu da ispatı 

tamamlar. 

11



2. Önerme. α bir küme cebiri ve (A i ) de α nın elemanlarının bir dizisi olsun. Bu 

takdirde n≠m için B n ∩B m =φ ve 

∞ ∞ 

U B i = U 

i= 

1 i= 

1 

olacak şekilde α nın elemanlarının bir (B i ) dizisi vardır. 

İspat. (A i ) sonlu olduğu zaman önerme aşikar olduğundan (A i ) yi sonsuz bir dizi olarak 

kabul edebiliriz. B 1 =A 1 yazalım ve her n>1 doğal sayısı için 

B n =A n ∼[A 1 ∪A 2 ∪...∪A n-1 ]=A n ∩[∼A 1 ]∩[∼A 2 ]∩ ... ∩[∼A n-1 ] 

yazalım. α nın elemanlarının arakesitleri ve tümleyenleri yine α da olduğundan her bir n 

doğal sayısı için B n ∈α dır. Aynı zamanda her n doğal sayısı için B n ⊂A n dir. m



bir dizisi ise 

∞ 

U 

i=1 

A birleşimi de α da olmalıdır. σ-cebiri tanımını küme cebiri tanımdan 

i 

ayrı olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz. 

Boş olmayan bir X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfı α olsun. Eğer aşağıdaki 

özellikler sağlanıyorsa α ya σ-cebiri denir. 

(σ i) Her n∈IN için A n ∈ A ise U A ∈α 

dir, 

(σ ii) A∈α ise A t ∈α dir. 

∞ 

n= 

1 

n 

De Morgan kurallarından α nın elemanlarının sayılabilir bir sınıfının arakesiti de yine α 

dadır: 

(σ iii) Her n∈IN için A n ∈ A ise I A ∈α 

dir. Gerçekten; 

∞ 

n= 

1 

n 

∞ 

I 

n= 

1 

n 

∞ 

U 

n= 

1 

t 

n 

A = ( A ) A,B∈α 

olduğu gerçeği göz önünde bulundurulduğunda, σ-cebiri özellikleri kullanılarak, elde edilir. 

Eğer X in alt kümelerinin bir α sınıfı (σii) ve (σiii) özelliklerini sağlıyorsa bu takdirde De 

Morgan kurallarından (σi) özelliğini sağlar dolayısıyla σ-cebiri olur. 

Örnek 1. Boş olmayan her X kümesi için 2 X 

(i) Her n∈IN için A n ∈2 X ise ∪A n ∈2 X 

(ii) A∈2 X ise A t ∈2 X dir. 

bir σ-cebiridir. Çünkü; 

Örnek 2. Boş olmayan her X kümesi için α={φ,X} sınıfı bir σ-cebiridir. Çünkü; 

(i) φ,X∈α ise φ∪X∈α dir ve 

(ii) φ t =X∈α ve X t =φ dir. 

ve 

Örnek 3. X=IN aldığımızda, α={φ,IN, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} sınıfının IN 

üzerinde bir σ-cebiri olduğunu görüyoruz. 

Örnek 4. α={φ,IN, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} yazalım. α sınıfının IN üzerinde bir σ- 

cebiri olduğunu görüyoruz. 

Önerme 1 in ispatının biraz değişik şekilde düzenlenmesi bize aşağıdaki önermeyi verir. 

t 

3.Önerme X in alt kümelerinin herhangi bir sınıfı γ olsun. Bu takdirde γ yı kapsayan en 

küçük bir σ-cebiri vardır. Yani γ yı kapsayan herhangi bir σ-cebiri β ise α⊂β olacak şekilde 

γ yı kapsayan bir α σ-cebiri vardır. 

Problem. 

13



19. Önerme 3 ü ispatlayınız. 

İspat. X in alt kümelerinin κ yi kapsayan bütün σ-cebirlerinin ailesi γ olsun. 

α=∩{β: β∈γ} yazalım. Bu takdirde α sınıfı κ nın bir alt sınıfıdır, çünkü, γ deki her β 

sınıfı α yi kapsar, Hatta α bir σ-cebiridir. Çünkü; Her n∈IN için A n kümeleri α nın 

elemanı ise bu takdirde her bir β∈δ için A n ∈β dır. β bir σ-cebiri olduğundan dolayı 

∪ n A n ∈β dır. Bu her bir β∈γ için sağlandığından dolayı ∪ n A n ∈α dır. Benzer şekilde A∈α 

ise A t ∈α olduğunu gösterebiliriz. Gerçekten A∈α ise her bir β∈γ için A∈β dır. β 

sınıfı σ-cebiri olduğundan dolayı A t ∈β dır. Bunu her β∈γ için yapabildiğimizden A t ∈α 

dır. α nın tanımından κ yı kapsayan herhangi bir β σ-cebiri için β⊃α olur. Bu da ispatı 

tamamlar. 

5. Seçme Aksiyomu ve Sonsuz Direkt (Kartezyen) Çarpımlar 

Kümeler teorisinde önemli bir aksiyom seçme aksiyomu adıyla bilinen aksiyomdur. Bu aksiyom 

diğer aksiyomlardan bir dereceye kadar daha elementerdir ve diğerlerinden bağımsız olarak 

bilinir. Çoğu matematikçi seçme aksiyomu ve sonuçlarını kullanma konusunda çok açık olmayı 

sever, ancak biz bu aksiyomu kullanma konusunda oldukça rahat davranacağız. Aksiyomu 

aşağıda veriyoruz: 

Seçme Aksiyomu. Boş olmayan kümelerin herhangi bir sınıfı α olsun. Bu takdirde her bir 

A∈α kümesine karşılık A da bir F(A) elemanı karşılık gelecek şekilde α üzerinde tanımlı 

bir F fonksiyonu vardır. 

Buradaki F fonksiyonu seçme aksiyomu adını alır ve varlığı α daki A kümelerinin herbiri 

için A da bir eleman seçmenin sonucu olarak düşünülebilir. α daki kümelerin sayısı sonlu ise 

bunu yapmada hiçbir zorluk yoktur, fakat α nın sonsuz olması durumunda seçme aksiyomuna 

ihtiyacımız vardır. Eğer α daki kümeler ayrıksa, seçme aksiyomunu, α daki kümelerin her 

birinden bir üye alınarak oluşturulan bir temsilci seçmenin olasılığını iddia etmek olarak 

düşünebiliriz. 

Bir I indis kümesi ile indislendirilmiş kümelerin bir sınıfı α={X i } olsun. ∏ i X i direkt 

çarpımını, I ile indislendirilmiş bütün {x i } kümelerinin x i ∈X i özelliğine sahip sınıfı olarak 

tanımlıyoruz. Eğer I={1,2} ise X 1 ve X 2 kümelerinin daha önce verdiğimiz X 1 xX 2 

kartezyen çarpımı tanımı karşımıza çıkar. Eğer z={x i } elemanı ∏ i X i nin bir elemanı ise x i 

ye z nin i inci koordinatı denir ve z={x i } 

yerine z=(x i ) yazılır. 

14



Eğer X i lerin bir tanesi boş kümeyse ∏ i X i kartezyen çarpım kümesi de boştur. Seçme 

aksiyomu aşağıdaki karşıt ifadeye eşdeğerdir: Eğer X i lerin hiç biri boş değilse, bu takdirde 

∏ i X i kartezyen çarpım kümesi de boş değildir. Bu sebepten dolayı Bertrand Russell seçme 

aksiyomu yerine çarpımsal aksiyom demeyi tercih etmiştir. 

Problem 

20. f : X→Y dönüşümü Y üzerine olsun. Bu takdirde fog bileşkesi Y üzerinde özdeşlik 

fonksiyonu olacak şekilde bir g:Y→X dönüşümü vardır. [ { A : A=f -1 [{y}] olacak şekilde en 

az bir y∈Y vardır.} sınıfına seçme aksiyomunu uygulayınız. ]. 

6 Sayılabilir Kümeler 

Daha önce bir kümenin bir dizinin değerler kümesi olduğunda sayılabilir küme olduğunu 

belirtmiştik. Sonlu bir dizinin değer kümesi oluyorsa sonlu küme deriz, ancak sonsuz bir dizinin 

değer kümesi de sonlu olabilir. Aslında boş olmayan her sonlu küme sonsuz bir dizinin değer 

kümesidir. Örneğin; {x 1 , x 2 , ..., x n } kümesi 1 ≤ i ≤ n için x i =x i ve i>n için x i =x n olarak 

tanımlanan (x i ) dizisinin değer kümesidir. Eğer sonlu terimi biribirinden farklı dizinin değil de 

sonsuz terimi biribirinden farklı bir dizinin değer kümesi oluyorsa kümeye sayılabilir sonsuz 

küme denir. Doğal sayılar kümesi IN sayılabilir sonsuz kümeye bir örnektir. 

Konumuzda daha fazla ilerlemeden boş küme ile ilgili düşünelim. Boş küme hiçbir dizinin değer 

kümesi değildir. Bununla beraber, boş kümeyi sonlu ve dolayısıyla sayılabilir olacak şekilde 

sonlu ve sayılabilir kümeleri tanımlamak uygun olacaktır. 

Tanım Boş küme ya da sonlu bir dizinin değer kümesi olan kümeye sonlu küme denir. Boş 

küme ya da bir dizinin değer kümesi olan kümeye sayılabilir (numaralanabilir) küme denir. 

Hemen görülebileceği gibi sayılabilir bir kümenin görüntüsü de sayılabilirdir, yani sayılabilir 

tanım kümesine sahip her fonksiyonun değer kümesi sayılabilirdir ve benzer bir durum sonlu 

kümeler için de vardır. 

Biraz farklı fakat denk bir tanım olan birebir eşleme kavramına dayalı tanımı vermek 

matematikte yaygın olarak yapılır. Önce sonlu bir küme ile birebir eşleme yapılabilen her kümenin 

sonlu olması gerektiğine ve sayılabilir bir küme ile birebir eşleme yapılabilen her kümenin 

15



sayılabilir olması gerektiğine dikkat ediyoruz. Doğal sayılar kümesi IN sayılabilir fakat sonlu 

olmadığından doğal sayılar kümesi IN ile birebir eşleme yapılabilen her küme sayılabilir 

sonsuzdur. Bizim burada verdiğimiz tanımın alışılmış geleneksel kullanımına denk olduğunu 

göstermek için eğer bir sonsuz E kümesi bir (x n ) dizisinin değer kümesi ise bu takdirde E nin 

doğal sayılar kümesi IN ile birebir eşleme yapılabildiğini göstememiz gerekir. . Bunu yapmak 

için IN den IN e aşağıdaki şekilde ardışık olarak bir ϕ fonksiyonu tanımlayalım: 

ϕ(1)=1 olsun ve ϕ(n+1) değerini i ≤ ϕ(n) özelliğini sağlayan bütün i ler için x m ≠x i olacak 

şekildeki en küçük m değeri olarak tanımlayalım. E sonsuz olduğundan böyle bir m sayısı 

daima mevcuttur ve IN için iyi sıralama prensibinden dolayı daima böyle bir en küçük m vardır. 

n→x ϕ(n) 

eşlemesi IN ile E arasında birebir bir eşlemedir. Böylece bir kümenin sayılabilir 

sonsuz olması için gerek ve yeter koşulun IN ile birebir eşlenebilmesi olduğunu göstermiş olduk. 

Şimdi sayılabilir kümeler ile ilgili bazı basit önermeler verecek duruma geldik: 

4. Önerme Sayılabilir bir kümenin her alt kümesi de sayılabilirdir. 

İspat. E={x n } kümesi sayılabilir herhangi bir küme olsun ve A da E nin herhangi bir alt 

kümesi olsun. A boş ise tanımdan sayılabilirdir. Eğer A boş değilse A dan bir x seçelim. x n ∈A 

ise y n =x n ve x n ∉A ise y n =x yazarak yeni bir (y n ) dizisi tanımlayalım. Bu takdirde A kümesi 

(y n ) dizisinin değer kümesidir dolayısıyla sayılabilirdir. 

5. Önerme A sayılabilir bir küme olsun. Bu takdirde terimleri A dan alınan bütün sonlu dizilerin 

kümesi de sayılabilirdir. 

İspat. A kümesi sayılabilir olduğundan dolayı doğal sayılar kümesi IN in bir alt kümesi ile 

birebir eşleme yapılabilir. Dolayısıyla, bütün doğal sayı dizilerinin S kümesinin sayılabilir 

olduğunu ispatlamak yeterlidir. (2,3,5,7,11,…,p k ,…,) dizisi asal sayılar dizisi olsun. Bu takdirde 

x1 

x1 

x k 

IN nin her bir n elemanı x i ∈IN o =IN∪{0} ve x k >0 olmak üzere n = 2 .3 ....p 

k 

şeklinde bir tek çarpım olarak yazılabilir. IN üzerinde tanımlı f fonksiyonu n doğal sayısını 

terimleri N o dan alınan (x 1 ,x 2 ,…,x k ) sonlu dizisine karşılık getiren fonksiyon olsun. Bu takdirde 

S kümesi f fonksiyonunun değer kümesinin bir alt kümesidir. Bu takdirde S kümesi Önerme 4 

den dolayı sayılabilirdir. 

6.Önerme Rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. 

7.Önerme Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimi sayılabilirdir. 

İspat. Sayılabilir kümelerin sayılabilir bir sınıfı α olsun. Eğer α daki kümelerin hepsi boş 

küme ise birleşimi boş olacak ve dolayısıyla sayılabilir olacaktır. Böylece α nın boş olmayan 

16



kümeler içerdiğini ve boş kümenin α nın birleşimine hiç bir şey katmayacağından α daki 

kümelerin boş olmayan kümeler olduğunu kabul edebiliriz. Böylece her bir A n kümesi 

( x nm ) ∞ m =1 sonsuz dizisinin değer kümesi olmak üzere α sınıfı sonsuz bir ( A n ) ∞ n =1 dizisinin 

değer kümesidir. (n,m) den x nm e tanımlanan dönüşüm doğal sayıların sıralı çiftlerinin 

kümesinden α nın elemanlarının birleşimi üzerine bir fonksiyondur. Doğal sayıların sıralı 

ikililerinin kümesi sayılabilir olduğundan, α sınıfının birleşimi de sayılabilir olmalıdır. 

Problemler 

21. Sonlu bir kümenin her alt kümesi de sonludur. 

22. Önerme 4 ve 5 i kullanarak Önerme 6 yı ispat ediniz.[Yol Gösterme: 

(p,q,1)→p/q 

(p,q,2)→-p/q 

(1,1,3)→0 

şeklinde tanımlanan fonksiyon tanım kümesi IN in elemanlarının sonlu dizilerinin kümesinin bir 

alt kümesi ve değer kümesi rasyonel sayılar kümesi olan bir fonksiyondur.]. 

23. Terimleri {0,1} kümesinden alınan sonsuz dizilerin E kümesinin sayılamaz olduğunu ispat 

ediniz. [ Yol Gösterme: IN den E ye bir fonksiyon E olsun. Bu takdirde f(v) bir ( a vn ) ∞ n =1 

dizisidir. b v =1-a vv yazalım. Bu takdirde (b v ) dizisi de terimleri {0,1} in elemanlarından oluşan 

bir dizidir ve her bir v∈IN için (b n )≠(a vn ) dir. Bu ispat yöntemi Cantor diagonal işlemi olarak 

bilinir.]. 

24. Bir X kümesinden X in bütün alt kümelerinin p(X) sınıfına bir fonksiyon f olsun. Bu 

takdirde f in değer kümesinde olmayan bir E⊂X kümesi vardır. (E={x: x∉f(x) } alınız.). 

25. Seçme aksiyomunu ve genelleştirilmiş ardışık tanımını her sonsuz X kümesininn sayılabilir 

sonsuz bir alt küme kapsadığını göstermek için kullanınız. 

7. Bağıntılar ve Denklikler 

Verilen x ve y biribirine x=y , x∈y, x⊂y ifadelerinde olduğu gibi ya da sayılar için x



gözönüne aldığımızdan, X üzerindeki her bağıntı grafiği tarafından bir tek olarak tespit edilebilir 

ve karşıt olarak, XxX in her bir alt kümesi X üzerindeki bir bağıntının grafiğidir. Böylece 

istersek, X üzerindeki bir bağıntıyı onun grafiği ile aynı alabiliriz ve bağıntı tanımını XxX in bir 

alt kümesi olarak verebiliriz. Kümeler teorisi ile ilgili çoğu çalışmada bağıntı genel olarak basitçe 

sıralı ikililerin bir kümesi olarak verilir. 

Eğer X deki her x,y,z için xRy ve yRz olması xRz olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına 

X kümesi üzerinde geçişmelidir denir. Buna göre = ve < ler reel sayılar kümesi üzerinde 

geçişmeli bağıntılardır. Eğer X deki her x ve y için xRy olması yRx olmasını gerektiriyorsa 

R bağıntısına X üzerinde simetriktir denir. Eğer her x∈X için xRx oluyorsa R ye X 

üzerinde yansımalıdır denir. 

X üzerinde geçişmeli, yansımalı ve simetrik olan bir bağıntıya X üzerinde bir denklik 

bağıntısıdır denir ya da basitçe X üzerinde bir denkliktir denir. ≡ nın bir X kümesi üzerinde bir 

denklik bağıntısı olduğunu kabul edelim. Verilen bir x∈X için E x kümesi x e denk olan 

elemanların kümesi olsun, yani E x ={y: y≡x } olsun. Eğer y ve z nin her ikisi de E x de ise bu 

takdirde y≡x ve z≡x dir ve simetri ile geçişme özelliklerinden z≡y elde ederiz. O halde E x in 

herhangi iki elemanı denktir. Eğer y∈E x ve z≡y ise bu takdirde z≡y ve y≡x dir ki buradan 

z≡x ve böylece z∈E x olur. Böylece E x in bir elemanına denk olan X in her elemanı E x in bir 

elemanıdır.Sonuç olarak, X in herhangi x ve y elemanları için E x ve E y kümeleri ya eşittir 

(x≡y ise) ya da ayrıktır (eğer x≠y ise). {E x : x∈X} sınıfındaki kümeler ≡ altında X in denklik 

kümeleri ya da X in denklik sınıfları adını alır. O halde X kümesi ≡ altındaki denklik 

sınıflarının ayrık bir birleşimidir. x∈E x ve hiç bir denklik sınıfının boş olmadığına dikkat ediniz. 

Bir ≡ denklik sınıfına göre denklik sınıflarının topluluğu X in ≡ bağıntısına göre bölümü 

adını alır ve bazen X /≡ ile gösterilir. x→E x dönüşümüne X den X /≡ üzerine doğal dönüşüm 

adı verilir. 

XxX den X e bir dönüşüme X kümesi üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer x≡x′ ve y≡y′ 

olması x+y≡x′+y′ olmasını gerektiriyorsa, ≡ denklik bağıntısına + ikili işlemi ile uyumludur 

denir. Bu durumda + işlemi q=X /≡ bölümü üzerinde aşağıdaki şekilde bir işlem tanımlar: Eğer 

E ve F nin ikisi de q ya aitse x∈E, y∈F seçelim ve E+F yi E x+y olarak tanımlayalım. ≡ bir 

denklik bağıntısı olduğundan E+F nin x ile y nin seçimine bağlı değil yalnız E ve F ye bağlı 

olduğu görülmektedir. Daha çok ayrıntı için okuyucu Birkoff ve Maclane [2] de sayfa 145 e 

bakabilir. 

Problemler 

26 Yukarıda tanımlanan F+G nin yalnız F ve G ye bağlı olduğunu ispatlayınız. 

18



27 + işlemine göre bir abelian grup X olsun. Bu takdirde ≡ işleminin + ile uyumlu 

olması için gerek ve yeter koşul x≡x′ olmasının x+y=x′+y olmasını gerektirmesidir. 

Elde edilen işlem bölüm uzayını grup yapar. 

8. Kısmi Sıralamalar ve Maksimal Prensibi 

X deki her x , y için xRy ve yRx olması x=y olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X 

kümesi üzerinde antisimetriktir denir. Eğer bir < bağıntısı X üzerinde geçişmeli ve antisimetrik 

ise kısmi sıralama denir. Buna göre ≤ bağıntısı reel sayılar kümesi üzerinde bir kısmi sıralama 

bağıntısıdır ve ⊂ de p(X) üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır. Eğer X in x ve y 

elemanları için ya x



X in bir maksimal lineer sıralı S alt kümesi vardır; yani < tarafından lineer sıralı ve S⊂T⊂X 

ve T sıralaması < tarafından lineer sıralı olduğunda S=T olması özelliğini sağlayan X in bir 

S alt kümesi vardır. 

Problemler 

28. X üzerinde bir kısmi sıralama < olsun. Bu takdirde x≠y için x



Yukarıdaki önermede verilen iyi sıralanmış X kümesi örnekler oluşturmak için çok faydalıdır. 

Eğer Y aynı özelliklere sahip diğer bir iyi sıralı küme ise bu takdirde X ile Y arasında 

sıralamayı koruyan birebir bir eşleme olması anlamında önermedeki X kümesi bir tektir. X deki 

en son elemana ilk sayılamaz ordinal ve X e ilk sayılamayan ordinale eşit ya da küçük 

ordinallerin kümesi denir. X



segmentlerin sınıfını gözönüne alınız. Bu sınıfın S birleşiminden Y içine olan ve S=X 

ya da f[S]=Y olan bir ardışıklığı koruyan f dönüşümünün var olduğunu ispat ediniz.] 

(f) Önerme 8 deki iyi sıralı X kümesinin izomorfizm açısından bir tek olduğunu gösteriniz. 

22

Microsoft Word - Reel Analiz 1 30 Ekim 2006.pdf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?