1. kısım MAT 152 Genel Matematik II 12 Mart 2013.pdf

Prof. Dr. Hüseyin Çakallı Genel Matematik Prof. Dr. İhsan Yılmaz 

(İktisat ve İşletme Lisans Öğrencileri için) 

DOKUZUNCU BÖLÜM 

TÜREV 

Bu bölümde diferansiyel hesap da denilen türev hesaplamanın bazı temel 

teknikleriyle, işletme ve iktisat problemlerine uygulamalarını vereceğiz. Diferansiyel 

hesap bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki eğimini bulmak için bir yöntemdir. Eğim 

bulmada çok kullanışlı olan türev hesaplama optimizasyon problemleriyle, işletme 

problemlerinde örneğin bir şirketin toplam karının ne zaman maksimum olacağının 

hesaplamasında ve marjinal gelir, marjinal maliyet, marjinal kar hesaplarında çok 

büyük kolaylık sağlamaktadır. 

Örneğin bir şirketin karayolları idaresinden ihale yolu ile viyadük köprü ihalesi 

aldığını ve ihale teklifinde q viyadük sayısını ve p fiyatı göstermek üzere aşağıdaki 

tabloya göre toplam gelir, toplam maliyet milyon TL cinsinden verildiğine göre karın 

maksimum olduğu durumu inceleyelim. 

Toplam Kar=Toplam gelir – Toplam maliyet 

TK=TG-TM 

Mal adedi Fiyat Toplam Toplam Kar 

gelir maliyet 

q p TG TM TK=TG-TM MG MM 

-386-



0 - 0 8 -8 - - 

1 36 36 12 24 36 4 

2 30 60 20 40 24 8 

3 24 72 32 40 12 12 

4 18 72 48 24 0 16 

5 12 60 68 -8 -12 20 

6 6 36 92 -56 -24 24 

Bu tabloya baktığımızda 3 adet viyadük ihalesi alındığında kar maksimum olmakta 40 

milyon TL kar elde edilmektedir. Bu durum marjinal gelir ile marjinal maliyetin aynı 

olduğu durumdur, yani marjinal karın sıfır olduğu durumdur. O halde 3 adetten fazla 

viyadük ihalesi almak karı azaltmaktadır. Hatta 5 viyadük ihalesi alınınca bu verilere 

göre şirket 8 milyon TL zarar edecektir. O halde şirketin mümkünse 3 adet viyadük 

ihalesi alması en karlı durumdur. Bu durum da marjinal karın sıfır olduğu duruma 

karşılık gelmektedir, yani marjinal gelirin marjinal maliyete eşit olduğu durumdur. 

Diferansiyel hesabın temel kurallarının uygulamaları çok basit ve hemen sonucu 

verecek şekildedir. Şimdi yalnız bir terimi olan 

fonksiyonunu göz önüne 

alalım. Bu fonksiyonun her bir noktasında eğimini hesaplamak için tüm terimi x in 

kuvveti ile çarparız ve x in kuvvetini bir birim azaltırız. Bu örnekte nin önünde 4 terimi 

vardır ve x in kuvveti 2 den 1 e bir birim azalır, dolayısıyla bu fonksiyon için her bir 

noktasındaki eğimin değerini bulma kuralı 

olur. 

-387-



36 

16 

4 

0 

1 2 

3 

Şekil 9.1.1. 

Yukarıdaki şekildeki grafiğe bakarak yaptığımızın doğru olduğunu yaklaşık olarak 

değerleri görerek kontrol edebilmekteyiz. Burada e ne kadar artış verirsek verelim 

li terim yani değeri artmaktadır. Dolayısıyla bu fonksiyonun eğimi artmaktadır. 

-388-



9.1.Türev Kavramı 

Bağımsız değişkene bir artma verildiğinde fonksiyonun alacağı bir artma 

olacaktır. Fonksiyonun artmasının değişkenin artmasına oranının artma miktarı sıfıra 

yaklaşırken bir limiti varsa bu limit değerine fonksiyonun türevi denmektedir. 

Bir tepeden bırakılan bir kaya yere düşmektedir. Katı ağır bir cismin serbestçe aşağı 

düşmesi durumunda x saniyede y=5x 2 (g yerçekimi olmak üzere y=(1/2)gx 2 serbest 

düşen cismin kat ettiği yol formülünde g=10 alınmaktadır) metre yol kat etmekte olduğu 

bilindiğine göre bu kayanın ilk 4 saniye içindeki ortalama hızını bulalım. Verilen bir 

zaman aralığında kayanın ortalama hızı kat edilen mesafe y ile gösterilmek üzere ve 

zaman aralığının uzunluğu x ile gösterilmek üzere 

dir. Buna göre 

metre/saniye bulunur. Şimdi de kayanın x=4 için, yani 4. saniyedeki hızını bulalım. 

olduğundan 

elde edilir. 

-389-



Şimdi de örnek olarak y=3x 2 +4x fonksiyonunun türevini hesaplayalım. 

Bağımsız değişken x in küçük miktarda x kadar arttırıldığını kabul edelim. Bağımsız 

değişkendeki bu artış ile bağımlı değişken olan y de bir y değişikliği olur. Buna göre 

üzere y+ y değeri y=3x 2 +4x eşitliğinde x yerine x+ x yazarak elde edilir. O halde 

y+ y=3(x+ x) 2 +4(x+ x)=3[x 2 +2x x+( x) 2 ] +4x +4 x 

=3x 2 +6x x+3( x) 2 +4x +4 x= 3x 2 +4x +6x x+3( x) 2 +4 x 

elde edilir. Bununla y=3x 2 +4x yi alt alta yazıp çıkartma yaparsak, 

y+ y=3x 2 +4x +6x x+3( x) 2 +4 x 

- 

y =3x 2 +4x 

y=6x x+3( x) 2 

+4 x 

elde ederiz. Bunu x e bölersek, 

buluruz. Eğer 

x sonsuz küçük olursa bu takdirde son terim ortadan kalkar ve 

elde edilir. Görüldüğü gibi yukarıda bahsettiğimiz şekilde de bu fonksiyonun türevini 

hesaplayınca aynı sonucu buluruz. Türev alma kuralları türev hesaplamada hızlı ve 

kolay işlem yapmamızı sağlar. Ayrıca bu örnek bize işletme ve iktisat konularında türevi 

nasıl kullanacağımızı anlamada da yardımcı olabilmektedir. 

-390-



Tanım 9.1.1. (Türev). aralığında tanımlı reel değerli bir fonksiyon ve 

x ] a, 

[ olsun. Eğer 

0 

b 

f ( x ) f ( x0 lim ) 

x x 0 

limiti varsa fonksiyonuna x 0 

x x 

0 

noktasında türevlenebilirdir (ya da diferansiyellenebilirdir) denir ve bu limite 

df( x0 

) 

fonksiyonunun x 0 noktasında türevi adı verilir. Bu türev f ( x0 ) , , Df( x0 

) 

dx 

sembollerinden biri ile gösterilir. Biz çoğunlukla ilk gösterimi bazen de ikinci gösterimi 

kullanacağız. Buna göre 

(1) 

f 

( 

x0 

) lim x 

a 

f ( x) 

 

x x 

f ( x 

0 

0 

) 

dır. Eğer 

x x 0 h yazarsak, x x0 

olması için gerek ve yeter koşul h 0 

olması olduğundan dolayı, (1) deki limit 

(1’) 

lim 

h 

0 

f ( x 

0 

h) 

 

h 

f ( x ) 

0 

limitine eşittir yani 

f '( x ) 

0 

lim h 

0 

f ( x 

0 

h) 

 

h 

f ( x ) 

0 

dir. 

2 

Örnek 9.1.2. f ( x) 

x , f : IR IR fonksiyonu her bir x 0 IR noktasında 

türevlenebilirdir. Gerçekten; 

f ( x0 

h) 

f ( x0 

) ( x0 

h) 

x0 

x0 

2x0h 

h x0 

lim h0 

lim h0 

lim h0 

 

h 

h 

h 

2 

2x 

h h 

lim 

h0 0 lim 

h0 

(2x 

2 

0 

h) 

lim 

h0 

2x0 

lim 

h0 

h 2x0 

0 x0 

bulunur, 

h 

dolayısıyla f '( 

x0) 

2x0 

dır. 

2 

2 

2 

2 

2 

-391-



Örnek 9.1.3. Herhangi bir sabit sayı olmak üzere her x IR için f ( x) 

s 

olarak tanımlanan sabit fonksiyon her bir 

Gerçekten; 

x 0 IR noktasında türevlenebilirdir 

lim 

xx 

0 

f ( x) 

f ( x 

x x 

0 

0 

) 

lim 

xx 

0 

s s 

x x 

0 

lim 

xx 

0 

0 

x x 

0 

lim 

xx 

0 

0 0 

bulunur, dolayısıyla f '( 

x0) 

0 dır. 

f 

Örnek 9.1.4. Herhangi bir sabit pozitif tamsayı olmak üzere her x IR için 

n 

( x) 

x olarak tanımlanan fonksiyonu her bir IR 

Çünkü; 

x noktasında türevlenebilirdir. 

f ( x h) 

f ( x) 

( x h) 

lim h0 

lim h0 

h 

h 

n 

x 

n 

 

lim 

h0 

n n n n1 

n n2 

2 

n n1 

n 

x 

x 

. h x 

. h ... x. 

h 

0 

1 

2 

h 

n1 

n 

h 

n 

x 

n 

 

lim 

h0 

n n1 

n n2 

2 n n1 

n n 

1 

x 

. h 2 

x 

. h ... n1 

x. 

h n 

h 

 

h 

n n1 

n n2 

2 n n3 

3 n n1 

n 

x 

. h x 

. h x 

. h x. 

h 

1 

2 

3 

n1 

n h 

lim h 0[ 

... 

] = 

h h h 

h h 

lim 

lim 

 

 

n n1 

n n2 

n n3 

2 n n2 

n n1 

x 

x 

. h x 

. h ... 

x. 

h h 

 

h 0[ 

1 

2 

3 

n1 

n ] 

n n1 

n n2 

n n2 

n n1 

x 

lim x 

. h ... 

lim x. 

h h 

 

h0 1 

h0 

2 

h0 

n1 

lim h0 

n 

n n1 

n n2 

n 

n2 

n 

n1 

x 

x 

.lim h ... 

x.lim 

h h 

1 2 

h0 

n1 

h0 

n lim h0 

n n1 

n n2 

n 

n n n1 

n1 

x 

x 

.0 ... 

x.0 

x 

nx 

1 2 

n1 

n 0 

1 

n 

-392-



bulunur. O halde her 

x IR için 

f '( x) 

nx 

n1 

dir. 

Örnek 9.1.5. 

(sin x)' 

cos x dir. Gerçekten; 

f ( x h) 

f ( x) 

sin( x h) 

sin( x) 

(sin x)cosh 

(cos x)sinh 

sin x 

lim h0 

lim h0 

lim h0 

 

h 

h 

h 

(sin x)[(cosh) 

1] 

(cos x)sinh 

(cosh) 1 

sinh 

lim h0 

lim h0 

(sin x) 

lim h0 

(cos x) 

h 

h 

h 

 

(cosh) 1 

sinh 

(sin x)lim 

h 0 (cos x)lim 

h0 

(sin x).0 

(cos x).1 

cos x dir. Çünkü; 

h 

h 

lim 

h0 

(cosh) 1 

lim 

h 

h0 

cos 

2 

h 

sin 

2 

h 

2 

h 

1 

2 

lim 

h0 

(1 sin 

2 

h 

) sin 

2 

h 

2 

h 

1 

2 

lim 

h0 

2sin 

h 

2 

h 

2 

 

h h 

h h 

h h 

sin .sin 

sin .sin 

sin sin 

1 

1 

lim 

2 2 

lim ( ).lim 

2 2 

0.lim 

2 

.lim 

2 

h 0 ( h) 

h0 

h h0 

h0 

h0 

0.1.1 0 

2 h h 

2 

h h 

h h 

. 

. 

2 2 

2 2 

2 2 

dır. O halde her 

reel sayısı için 

dir. 


(cos x)' 

sin 

x dir. Gerçekten; 

f ( x h) 

f ( x) 

cos( x h) 

cos x (cos x)cosh 

(sin x).sinh 

cos x 

lim h0 

lim h0 

lim h0 

 

h 

h 

h 

-393-



(cos x)[(cosh) 

1] 

(sin x)sinh 

(cosh) 1 

sinh 

lim h0 

lim h0 

(cos x) 

lim h0 

(sin x) 

h 

h 

h 

 

(cosh) 1 

sinh 

(cos x)lim 

h 0 (sin x)lim 

h0 

(cos x).0 

(sin x).1 

sin 

x O halde her x 

h 

h 

reel sayısı için (cosx)’=-sinx dir. 

Örnek 9.1.7 

f : IR 

IR fonksiyonunu göz önüne alalım. t 

yazarsak h 0 olması için gerek ve yeter koşul t olması olduğundan, 

x h 

h 

h 

ln 

ln(1 ) ln(1 ) 

f ( x h) 

f ( x) 

ln( x h) 

ln x 

 

 

 

x 

 

x 1 

lim 

x 

h 0 

lim h 0 

lim h 0 lim h 0 lim h0 

 

h 

h 

h 

h 

x h 

x 

x 

x 

1 h 1 

h 1 

1 t 1 1 1 

h 

h 

lim 

h 

0 

ln(1 ) .lim 

h0 

ln(1 ) .lim 

t0 

ln(1 ) .ln e .1 

x x x 

x x 

t x x x 

x 

h 

bulunur. O halde 

1 

(ln x)' 

(log e x)' 

dir. 

x 

Toplam Gelir ve Marjinal Gelir Fonksiyonları 

Diferansiyel hesap aslında bağımsız değişkene verilen sonsuz küçük artma 

miktarının bağımlı değişkene yaptığı etki olarak göz önüne alınabilinir, diferansiyel 

hesap bağımsız değişkene verilen artma miktarına karşılık bağımlı değişkende elde 

edilen artmayı göz önüne alıp bağımlı değişkendeki artmayı bağımsız değişkendeki 

artmaya oranlayıp bağımsız değişkendeki artma sıfıra yaklaşırken elde edilecek limiti 

hesaplamaktır. 

Şu ana kadar tek değişkenli fonksiyonlarda nin e bağlı olduğu alışılagelmiş 

olan cebirsel notasyonu kullandık. İşletme ve iktisat problemlerini incelemek için 

-394-



notasyonun değiştirilmesi fonksiyonda bir değişkeninin bağımsız değişken diğerinin 

bağımlı değişken olduğu şekilde verildiği sürece diferansiyel hesabın sonucunu 

değiştirmez. İşletme ve iktisada giriş kitaplarında marjinal gelir (Marjinal Revenue) 

bazen bir birim mal artışında meydana gelen toplam gelirdeki artış miktarı olarak da 

tanımlanmaktadır. Bu açık bir tanım değildir. Bu sadece marjinal gelir için yaklaşık bir 

değer verir ve girdideki (maldaki) birim değiştiğinde marjinal gelir de değişir. Marjinal 

gelir için daha açık bir tanım ise girdideki artışa bağlı olarak toplam gelirin değişikliğinin 

oranı olarak verilir. 

Şekil 9.1.2 de A ile B noktaları arasındaki toplam gelirin değişme oranı 

dir, yani AB doğrusunun eğimidir ki bu da marjinal gelirin bu veri alanındaki yaklaşık bir 

değeridir. Şimdi A ile B arasındaki uzaklığın küçüldüğünü varsayalım. B noktası TG 

boyunca A ya doğru yaklaştıkça AB doğrusunun eğimi TT’ teğetinin eğim değerine 

yaklaşır. Böylece girdideki her bir yaklaşımda marjinal gelir MG toplam gelir TG nin A 

noktasındaki eğimine daha yakın olacaktır. Eğer yaklaşım sonsuz küçük olursa bu 

takdirde AB nin eğimi TT’ nün eğimi ile aynı olacaktır. Böylece her bir noktadaki marjinal 

gelir MG değeri toplam gelir TG nin eğimine eşit olacaktır. Diğer bir deyişle her bir 

noktadaki marjinal gelir değeri o noktadaki toplam gelir fonksiyonunun türevine eşittir. 

-395-



TL 

TG 

0 

Şekil 9.1.2. 

Örnek 9.1.8. Toplam gelir fonksiyonu 

marjinal gelir fonksiyonu MG yi bulunuz. 

olarak verildiğine göre 

dolayı 

Çözüm. Marjinal gelir fonksiyonu toplam gelir fonksiyonunun türevi olduğundan 

= 90-6q 

-396-



buluruz. Bu bulduğumuz sonucu kullanarak TG ile MG fonksiyonu arasındaki ilişkiyi 

açıklayabiliriz. Şekil 9.1.3 deki lineer talep çizelgesi D doğrusu 

fonksiyonunu temsil etmektedir. Tanımdan toplam gelir fonksiyonu 

bilindiğine gore 

olarak 

daki değerini de yerine koyarsak, 

3 

elde ederiz ki bu da başta verilen toplam gelir fonksiyonu ile aynıdır. TG fonksiyonu 

Şekil 9.1.3 ün alt kısmında yer almaktadır ve MG fonksiyonunu grafiği de Şekil 9.1.3 ün 

üst kısmında yer almaktadır. 

-397-



90 

MG 

30 

q 

575 

TL 

TG 

15 

30 

q 




olarak verildiğine gore 

dolayı 


= 40-2q 



-398-



fonksiyonunu temsil etmektedir. Tanımdan toplam gelir fonksiyonu 


olarak 

daki değerini de yerine koyarsak, 


Şekil 9.1.4 ün alt kısmında yer almaktadır ve MG fonksiyonunu grafiği de Şekil 9.1.4 ün 


Toplam gelir TG artarken marjinal gelir MG nin pozitif olduğunu ve toplam gelir 

TG azalırken marjinal gelir MG nin negatif olduğunu görüyoruz. TG deki artış oranı 

azalırken MG deki azalış oranı da azalır. Toplam gelir TG maksimum iken marjinal gelir 

MG değeri sıfırdır. 

Yukarıda elde edilen MG fonksiyonunda toplam gelir TG nin maksimum olduğu 

değeri doğrudan tam olarak bulunabilmektedir. Bu durumda TG yataydır ve eğimi 

sıfırdır dolayısıyla da MG=0 dır. TG maksimum olduğunda 

40-2q 

dır. 

40-2q 40=2q 20=q dır 

Bu noktada toplam gelir 

TG=40.20-(20) 2 =800-400=400 

dir. 

-399-



40 

MG 

400 

TL 

TG 

20 


-400-





olarak verildiğine gore 

dolayı 


= 80-4q 



fonksiyonunu temsil etmektedir. Tanımdan Toplam gelir fonksiyonu 


olarak 

daki p değerini 

de yerine koyarsak, 

2 


Şekil 9.1.5 in alt kısmında yer almaktadır ve MG fonksiyonunu grafiği de Şekil 9.1.5 in 


-401-



MG 

TL 

TG 


Örnek 9.1.11. Toplam gelir fonksiyonu 

TG=500q-2q 2 

ile verildiğine göre marjinal gelirin q=80 için değerini diferansiyel hesabı yani türev 

formülünü kullanarak ve 80 e yakın değerler vererek excell kullanarak bulunuz. 

Çözüm. Marjinal gelir fonksiyonu 

olduğundan q=80 için 

-402-



MG = 500 − 4(80) = 500 − 320 = 180 

bulunur. Şimdi de excell dosyasında ilk 6 satıra aşağıdaki şekilde kendimiz için 

açıklayıcı bilgiler yazarak 6. Satırdan sonra yapacağımız hesaplamalar ile ilgili işlemleri 

yapalım. 

Hücre Girilecek bilgi Açıklama 

İlk 6 satıra 

Tablo 9.1.2 deki açıklayıcı bilgiler 

girilecek 

D2 TG = 500q - 2q^2 Hangi fonksiyon olduğunu 

açıklamak için 

D3 80 q için başlangıç değeri 

D4 =500*D3-2*D3^2 Verilen q için TG değerini 

hesaplar 

B7 10 q daki başlangıç artış miktarı 

B8 =B7/10 Bir hücre üstteki q değerinin 

B9 dan 

B13 e 

A7 

A8 den A13 e 

B8 hücresindeki formülü aşağıya doğru 

sütun olarak kopyalayın 

=B7+D$3 

A7 hücresindeki formülü aşağıya doğru 


%10 u kadar yani 10 da biri 

kadar bir artışı hesaplar 

q nun her seferinde daha 

küçük değerlerini hesaplar 

C7 =500*A7-2*A7^2 A7 deki değere karşılık TG 

C8 den C13 e 

D7 

D8 den D13 e 

C7 hücresindeki formülü aşağıya doğru 


=C7-D$4 

D7 hücresindeki formülü aşağıya doğru 


değerini hesaplar 

E7 =D7/B7 TR / q yu hesaplar 

E8 den E13 e 

E7 hücresindeki formülü aşağıya doğru 


Tablo 9.1.1. 

-403-



A B C D 

1 Örnek 9.1.11. Toplam gelir fonksiyonunun türevi 

2 Verilen fonksiyon TG = 500q - 2q^2 

3 İlk q değeri= 80 

4 İlk TG değeri= 27200 =500*D3-2*D3^2 

5 Marjinal gelir 

6 

q Delta q TG Delta TG 

(DeltaTG)/(Delta 

q) 

7 90 10 28800 1600 160 

8 81 1 27378 178 178 

9 80.1 0.1 27217.98 17.98 179.8 

10 80.01 0.01 27201.8 1.7998 179.98 

11 80.001 0.001 27200.18 0.179998 179.998 

12 80.0001 0.0001 27200.02 0.01799998 179.9998 

13 80.00001 0.00001 27200 0.0018 179.9999802 

Tablo 9.1.2. 

Toplam Maliyet ve Marjinal Maliyet Fonksiyonları 

Satılan ya da üretilen mal adedinde bir birim artışın toplam maliyette meydana 

getirdiği artışa marjinal maliyet demekteyiz. Satılan ya da üretilen mal adedi ile 

gösterildiğine göre toplam maliyet fonksiyonu ile verilsin. Eğer e kadar artma 

verirsek toplam maliyet olacaktır. oranının h0 iken limitini 

alırsak 

 

elde edilir. Bu ise in türevi dir. O halde marjinal maliyet fonksiyonu dir. 

Örnek 9.1.11. Bir şirketin adet derin dondurucu imalatı için toplam maliyet 

fonksiyonu 

olarak veriliyor. Aşağıdakileri cevaplayınız. 

C 

2 

x 20000 200x 

0.2x 

(0 x 800) 

-404-



a) 151 inci derin dondurucunun gerçek maliyeti kaç TL dir. 

b) Toplam maliyet fonksiyonunun x=150 için değişim oranını bulunuz. 

Çözüm. 

C 

 

 

a. 151 inci derin dondurucunun gerçek maliyeti C151 C150 

dir. 

151 C150 

2 

20000 200151 0.2151 

 

2 

200(151150) 

[0.2151 0.2150 

2 

20000 200150 0.2150 

 

200 0.2.(1).(301) 200 60,2 

139,8 

2 

] 200 0.2(151150)(151150) 

b. Toplam maliyet fonksiyonunun değişim oranı C' 

x 200 0. 

4x 

x=150 için C ' 150 200 0.4(150) 200 60 140 

buluruz. Diğer taraftan 

C 

151 C150 

C 

 

C 

 

151 C150 

150 

1 C150 C150 

h 

C150 

1 

 

1 

h 

dir. O halde 

şeklinde yazarak ve bunun türevle ilişkisini x=150 deki türevin ifadesi olan 

 

C' 

150 

 

C 

lim 

h0 

150 

h 

C150 

h 

eşitliğinden türevin toplam maliyet fonksiyonu 

iyi bir değer olduğunu görüyoruz. 

in değişimin ortalama oranı için çok 

Örnek 9.1.12. Bir şirketin 

adet cep telefonu üretildiğinde maliyet fonksiyonu 

olarak veriliyor. Marjinal maliyet fonksiyonunu bulunuz. 100 adet cep telefonu 

üretilmişse marjinal maliyet ne kadardır? 

Çözüm. 

-405-



= 

= 

bulunur. Burada x=100 yazarsak, 

buluruz. 

c’(100)=25+100=125 


TM = 40 + 82q − 6q 2 + 0.2q 3 

şeklinde verilen toplam maliyet fonksiyonu için ortalama değişken maliyet ne zaman 

minimum değerde olur. 

Çözüm. 

Marjinal maliyet fonksiyonun eğrisinin ortalama maliyet ve ortalama değişken 

maliyet fonksiyonlarının eğrilerini kestiği noktada toplam sabit maliyet, 

TSM=40 

dır. Toplam değişken maliyet fonksiyonu, 

-406-



TDM=82q − 6q 2 + 0.2q 3 

dır. O halde ortalama değişken maliyet fonksiyonu, 

dır ve marjinal maliyet fonksiyonu 

ODM=( TDM)/q =82-6q+0.2q 2 

MM= 

dır. Ortalama değişken maliyetin minimum olması 

MM=ODM 

eşitliğinin sağlanması durumunda gerçekleşeceğinden dolayı, 

olmalıdır. Buna göre 

82-6q+0.2q 2 

bulunur. O halde q=15 için değişken maliyet minimum olur. 


TM = 60 + 120q − 9q 2 + 0.1q 3 

şeklinde verilen toplam maliyet fonksiyonu için ortalama değişken maliyet ne zaman 

minimum değerde olur. 

Çözüm. Marjinal maliyet fonksiyonun eğrisinin ortalama maliyet ve ortalama 

değişken maliyet fonksiyonlarının eğrilerini kestiği noktada toplam sabit maliyet, 

TSM=60 

dır. Toplam değişken maliyet fonksiyonu, 

TDM=120q − 9q 2 + 0.1q 3 

dır. O halde ortalama değişken maliyet fonksiyonu, 

ODM=( TDM)/q =120-9q+0.1q 2 

dır ve marjinal maliyet fonksiyonu 

MM= 

dır. Ortalama değişken maliyetin minimum olması 

MM=ODM 

-407-



eşitliğinin sağlanması durumunda gerçekleşeceğinden dolayı, 

olmalıdır. Buna göre 

120-9q+0.1q 2 

bulunur. O halde q=45 için değişken maliyet minimum olur. 

Toplam Kar ve Marjinal Kar Fonksiyonları 

Toplam gelir fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonunu çıkarırsak toplam kar 

fonksiyonunu elde ederiz. Buna göre toplam kar fonksiyonu TK yı 

TK=TG-TM 

olarak ifade ederiz. Burada TG toplam gelir fonksiyonunu ve TM de toplam maliyet 

fonksiyonunu göstermektedir. Marjinal kar fonksiyonu ise bunun türevi olacaktır. 

Gösterimde kolaylık ve daha iyi anlaşılır olması için x üretilen ya da satılan mal adedi 

olmak üzere G(x) toplam gelir fonksiyonunu, M(x) toplam maliyet fonksiyonunu 

gösterdiğine göre 

K(x)=G(x)-M(x) 

olarak yazarsak, marjinal kar fonksiyonu 

K’(x)=G’(x)-M’(x) 

olacaktır. 

-408-



9.1.2.Tanım (Soldan Türev). 

ve x ] a, 

] olsun. Eğer 

0 

b 

aralığında tanımlı reel değerli bir fonksiyon 

(2) 

lim 

xx 

0 

f ( x) 

 

x x 

f ( x 

0 

0 ) 

limiti varsa ya da (2) de 

x x 0 h yazmak suretiyle elde edilen 

(2’) 

lim 

h0 

 

f ( x 

0 

h) 

 

h 

f ( x ) 

0 

limiti varsa fonksiyonuna x 0 noktasında soldan türevlenebilirdir denir ve bu limite 

fonksiyonunun x 0 noktasında soldan türevi adı verilir. Bu türev f x ) ve D-f( 

x0 

) 

sembollerinden biri ile gösterilir. 

' 

( 0 


f ( x) 

x fonksiyonunun x 0 noktasında soldan türevi -1 dir 

0 

Çünkü; 

lim 

lim 

xx 

x 

x 

0 

0 

 

0 

f ( x) 

 

x x 

f ( x ) 

0 

( 1) 

1 

0 

lim 

x0 

x 0 

x 0 

lim 

x0 

x 

x 

lim 

x 

x 

0 

 

0 

x 

x 

lim 

x 

x 

0 

 

0 

x 

x 

 

dir. 

Tanım 9.1.3. (Sağdan Türev). 

ve x [ a, 

[ olsun. Eğer 

0 

b 

aralığında tanımlı reel değerli fonksiyon 

-409-



(3) 

lim 

xx 

0 

f ( x) 

 

x x 

f ( x 

0 

0 ) 

limiti varsa ya da (3) de 

x x 0 h yazmak suretiyle elde edilen 

(3’) 

lim 

h0 

 

f ( x 

0 

h) 

 

h 

f ( x ) 

0 

limiti varsa fonksiyonuna x 0 noktasında sağdan türevlenebilirdir denir ve bu limite 

fonksiyonunun x 0 noktasında sağdan türevi adı verilir. Bu türev f x ) ve 

D 

0 

 

f( x ) sembollerinden biri ile gösterilir. 

' 

( 0 


f ( x) 

x fonksiyonunu x 0 noktasında sağdan türevi 1 dir 

0 

Çünkü; 

lim 

lim 

xx 

x 

x 

0 

0 

 

0 

f ( x) 

 

x x 

1 1 

f ( x ) 

0 

0 

lim 

x0 

x 0 

x 0 

lim 

x0 

 

x 

x 

lim 

x 

x 

0 

 

0 

x 

x 

lim 

x 

x 

0 

 

0 

x 

x 

 

dir. Bir fonksiyonun bir noktada bir limitinin var olması için gerek ve yeter koşul soldan 

ve sağdan limitlerinin var olması ve biribirine eşit olması olduğundan dolayı bir 

fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için gerek ve yeter koşul o noktada soldan ve 

sağdan türevlerinin var olması ve biribirine eşit olmasıdır. 


 

 

şeklinde tanımlanan 

fonksiyonu noktasında hem soldan süreklidir, hem de soldan 


-410-



 

 

olduğundan fonksiyonu noktasında soldan süreklidir. Ayrıca x1/2 için 

olduğundan ve iken olduğundan dolayı fonksiyonunun 

noktasında soldan türevlenebilirdir ve soldan türevi -1 dir. Diğer taraftan, x1/2 için 

olduğundan ve iken olacağından dolayı fonksiyonunun 

noktasında sağan türevlenemez. 


f ( x) 

x fonksiyonunun x 0 noktasında soldan ve sağdan 

0 

türevleri birbirinden farklı olduğundan x 0 0 noktasında türevlenemez. f ( x) 

x 

fonksiyonunun x 0 0 noktasında türevlenemediğini gördük. Diğer taraftan f ( x) 

x 

fonksiyonu x 0 noktasında süreklidir. O halde bir fonksiyon bir noktada sürekli 

0 

olabilir ancak türevlenemeyebilir. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilirse sürekli 

olduğunu aşağıdaki teoremde veriyoruz: 

Teorem 9.1.4. aralığında tanımlı reel değerli fonksiyon ve x ] a, 

[ 

olsun. Eğer fonksiyonu x 0 noktasında türevlenebilirse süreklidir. 

0 

b 

-411-



İspat. 

g :]a,b[ 

{ x0 } IR : fonksiyonunu 

f ( x ) f ( x0 g( 

x) 

) şeklinde tanımlayalım. 

x x 

fonksiyonu x 0 noktasında türevlenebilir olduğundan, fonksiyonunun x 0 

noktasında limiti vardır ve lim x x g( 

x) 

f '( x0) 

dır. in eşitlik ifadesinden 

f 

( 0 x0 

0 

x) 

f ( x ) g( 

x)( 

x ) elde edilir. Bu son eşitlikte limite geçilirse 

lim x x f ( x) 

lim xx 

[ f ( x ) ( x x0) 

g( 

x)] 

lim xx 

f ( x0) 

lim xx 

( x x0) 

g( 

) 

0 

x 

0 0 

0 

0 

0 

 

f 

( x 

0 

) (lim x x g( 

x)).lim 

xx 

( x x0) 

f ( x0) 

f '( x0).0 

f ( x ) bulunur. 

0 0 

0 

fonksiyonunun x 0 noktasında limiti f ( x 0 ) olarak elde edilir ki bu da 

fonksiyonunun x 0 noktasında sürekli olması demektir. Bu da teoremin ispatını 

tamamlar. 


f ( x) 

x fonksiyonunun 0 noktasında soldan türevi –1 ve 

sağdan türevi +1 olduğundan 0 noktasında soldan ve sağdan türevleri farklı 

olmaktadır dolayısıyla da fonksiyonunun 0 noktasında türevi yoktur, ancak 

lim x 0 f ( x) 

lim x0 

x 0 0 f (0) olduğundan fonksiyonu 0 noktasında 

süreklidir. 

Örnek 9.1.20. f ( x) 

x 1 

fonksiyonu 

lim x 1 f ( x) 

lim x1 

x 1 

lim x1 

( x 1) 

0 0 olduğundan, x 0 1 noktasında 

süreklidir fakat türevlenemez. Çünkü; 

f ( x) 

f ( x ) x 1 

11 

x 1 

0 

x 1 

0 

x 1 

lim 

lim 

lim 

lim 

lim 

 

xx 

x x 

x1 

x 1 

x0 

x 1 

x 1 

x 1 

0 

0 

x 

x 

1 

1 

x 

x 

1 

0 

lim 

x 

x 

1 

 

0 

( 1) 

1 

' 

dir, dolayısıyla f (1) 1 

bulunur. Diğer taraftan, 

 

-412-



f ( x) 

f ( x ) x 1 

11 

x 1 

0 

x 1 

0 

x 1 

lim 

lim 

lim 

lim 

lim 

 

xx 

x x 

x1 

x 1 

x1 

x 1 

x 1 

x 1 

lim 

0 

x 

x 

1 

 

0 

0 

1 1 

' 

dir, dolayısıyla f (1) 1 bulunur. fonksiyonunun 1 noktasında soldan ve sağdan 

 

türevleri biri birinden farklı olduğundan türevlenemez. 

x 

x 

1 

0 

x 

x 

1 

0 

Teorem 9.1.5. aralığında tanımlı reel değerli fonksiyon ve x ] a, 

] 

0 

b 

olsun. Eğer fonksiyonu x 0 noktasında soldan türevlenebilirse soldan süreklidir. 

İspat. 

g :]a,b] 


f ( x ) f ( x0 g( 

x) 

) şeklinde tanımlayalım. 

x x 

0 

fonksiyonu x 0 noktasında soldan türevlenebilir olduğundan, g fonksiyonunun x 0 

noktasında soldan limiti vardır ve lim x x g( 

x) 

f '( x0 

) 

 

dır. g(x) in eşitlik ifadesinden 

0 

f ( x) 

f ( x0) 

g( 

x)( 

x x0) 

elde edilir. Bu son eşitlikte soldan limite geçilirse 

lim x x 

f ( x) 

lim xx 

[ 

f ( x ) ( x x0) 

g( 

x)] 

lim xx 

 

f ( x0) 

lim xx 

 

( x x0) 

g( 

) 

0 

x 

0 0 

0 

0 

 

' 

f ( x ) (lim 

 

g( 

x)).lim 

 

( x x0) 

f ( x0) 

f 

 

( x0).0 

f ( 

0) 

0 x 

x 

x 

0 xx0 

bulunur. f fonksiyonunun x 0 noktasında soldan limiti f ( x 0 ) olarak elde edilir ki bu 

da fonksiyonunun x 0 noktasında soldan sürekli olması demektir. Bu da sonucun 

ispatını tamamlar. 

Örnek 9.1.21. 

-413-



şeklinde tanımlanan fonksiyonu noktasında hem soldan süreklidir, hem de soldan 


 

olduğundan fonksiyonu noktasında soldan süreklidir. Diğer taraftan, 

olduğundan ve iken olduğundan dolayı fonksiyonunun noktasında 

soldan türevlenebilirdir. 

Teorem 9.1.6. aralığında tanımlı reel değerli fonksiyon ve x [ a, 

[ 

0 

b 

olsun. Eğer fonksiyonu x 0 noktasında sağdan türevlenebilirse sağdan süreklidir. 

İspat. 

g :]a,b] 


f ( x ) f ( x0 g( 

x) 

) şeklinde 

x x 

0 

tanımlayalım. fonksiyonu x 0 noktasında sağdan türevlenebilir olduğundan, 

fonksiyonunun x 0 noktasında sağdan limiti vardır ve lim x x g( 

x) 

f '( x0 

) 

 

dır. 

in eşitlik ifadesinden f x) 

f ( x ) g( 

x)( 

x ) elde edilir. Bu son eşitlikte 

sağdan limite geçilirse 

( 0 x0 

lim x x f ( x) 

lim 

 

 

 

xx 

[ f ( x ) ( ) ( )] lim 

0 

x x0 

g x xx 

f ( x ) lim 

0 xx 

( x x ) ( ) 

0 

g x 

0 

0 

0 

0 

0 

 

' 

f ( x0 

) (lim g( 

x)).lim 

( x x0 

) f ( x0 

) f 

 

( x0 

).0 f ( x0 

) 

 

 

x 

x 

0 

xx 

0 

bulunur. fonksiyonunun x 0 noktasında sağdan limiti f ( x 0 ) olarak elde edilir ki bu 

da fonksiyonunun x 0 noktasında sağdan sürekli olması demektir. Bu da sonucun 

ispatını tamamlar. 

-414-




şeklinde tanımlanan fonksiyonu noktasında sağdan süreklidir, ve sağdan türevi 

vardır. Gerçekten; 

 

olduğundan 

fonksiyonu 0 noktasında sağdan süreklidir. Diğer taraftan, 

olduğundan ve iken olduğundan dolayı fonksiyonunun 

noktasında sağdan türevi vardır ve 0 dır. 

Teorem 9.1.5. ile fonksiyonları bir noktasında türevlenebilirse her 

x IR için şeklinde tanımlanan fonksiyonu da 

noktasında türevlenebilirdir ve 

dir. (Toplamın türevi türevler toplamına eşittir.). 

İspat. 

( f g)( 

x h) 

( f g)( 

x) 

lim h0 

lim h0 

h 

f ( x h) 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x) 

g( 

x) 

 

[ f ( x h) 

f ( x)] 

[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

f ( x h) 

f ( x) 

g( 

x h) 

g( 

x) 

lim 

h 0 

lim 

h0[ 

 

h 

h 

h 

 

] 

f ( x h) 

f ( x) 

lim h 0 

lim h0 

h 

g( 

x h) 

g( 

x) 

 

h 

f '( 

x) 

g'( 

x) 

elde edilir. Bu da ispatı tamamlar. 

 

-415-




f ( x) 

(sin x) 

ln x ise 

f 

1 

'( 

x) 

((sin x) 

ln x)' 

(sin x)' 

(ln 

x)' 

(cos x) 

 

x 

bulunur. 


f ( x) 

x 

2 cos x ise 

f '( x) 

( x 

2 

elde edilir. 

cos x)' 

( x 

2 

)' (cos 

x)' 

2x 

sin x 

Sonuç 9.1.6. ile fonksiyonları bir noktasında soldan türevlenebilirse her 


noktasında soldan türevlenebilirdir ve 

dir. (Toplamın soldan türevi soldan türevler toplamına eşittir.). 

İspat. 

( f g)( 

x h) 

( f g)( 

x) 

lim 

h0 

 

lim 

h0 

h 

 

f ( x h) 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x) 

g( 

x) 

 

[ f ( x h) 

f ( x)] 

[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

f ( x h) 

f ( x) 

g( 

x h) 

g( 

x) 

lim 

h 0 

lim 

h0[ 

 

] 

h 

h 

h 

f ( x h) 

f ( x) 

lim 

h 0 

lim 

h0 

h 

g( 

x h) 

g( 

x) 

h 

' 

' 

 

f ' 

 

( x) 

g 

( x) 


-416-



her 

Sonuç 9.1.7. ile fonksiyonları bir noktasında sağdan türevlenebilirse 

x IR için şeklinde tanımlanan fonksiyonu 

da 

noktasında sağdan türevlenebilirdir ve 

dir. (Toplamın sağdan türevi sağdan türevler toplamına eşittir.). 

İspat. 

( f g)( 

x h) 

( f g)( 

x) 

lim 

h0 

 

lim 

h0 

h 

 

f ( x h) 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x) 

g( 

x) 

 

[ f ( x h) 

f ( x)] 

[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

f ( x h) 

f ( x) 

g( 

x h) 

g( 

x) 

lim 

h 0 

lim 

h0[ 

 

] 

h 

h 

h 

f ( x h) 

f ( x) 

lim 

h 0 

lim 

h0 

h 

g( 

x h) 

g( 

x) 

h 

' 

' 

 

f ' 

 

( x) 

g 

( x) 


Teorem 9.1.8. ile fonksiyonları bir noktasında türevlenebilirse her 



( 

dir. (Çarpımın türevi birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birincidir.). 

İspat. 

( f . g)( 

x h) 

( f . g)( 

x) 

lim h0 

lim h0 

h 

f ( x h). 

g( 

x h) 

f ( x). 

g( 

x) 

 

h 

lim h 

0 

f ( x h). 

g( 

x h) 

 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

f ( x). 

g( 

x) 

 

[ f ( x h) 

 

lim h 

0 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

-417-



[ f ( x h) 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

lim h 0 [ 

 

] 

h 

h 

[ f ( x h) 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

lim h0 

lim h0 

h 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

h 

[ f ( x h) 

f ( x)] 

[ g( 

x h) 

g( 

x)] 

[lim h0 

].lim h0 

g( 

x h) 

[lim 

h0 

f ( x)].lim 

h0 

 

h 

h 

 

f '( 

x). 

g( 

x) 

g'( 

x). 

f ( x) 

elde edilir. O halde 

(f.g)’(x)=f’(x).g(x)+g’(x).f(x) 

dir. Bu da teoremin ispatını tamamlar. 


4 

f ( x) 

x . sin x ise 

f 

'( 

x) 

( x 

4 

.sin x)' 

( x 

4 

)'.sin x (sin x)'. 

x 

4 

4x 

3 

.(sin x) 

(cos x). 

x 

4 

dir. 


3 

f ( x) 

x . ln x ise 

f '( x) 

( x 

dir. 

3 

.ln x)' 

( x 

3 

)'.(ln x) 

(ln x)'. 

x 

3 

3x 

2 

1 

.(ln x) 

. x 

x 

3 

3x 

2 

.(ln x) 

x 

2 

x 

2 

[3(ln x) 

1] 

her 

Sonuç 9.1.9. ile fonksiyonları bir noktasında soldan türevlenebilirse 


noktasında soldan türevlenebilirdir ve 

dir. (Çarpımın soldan türevi birincinin soldan türevi çarpı ikinci artı ikincinin soldan 

türevi çarpı birincidir). 

İspat. 

( f . g)( 

x h) 

( f . g)( 

x) 

lim 

h0 

 

lim 

h0 

h 

 

f ( x h). 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x). 

g( 

x) 

 

-418-



lim 

h 

0 

 

f ( x h). 

g( 

x h) 

 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

f ( x). 

g( 

x) 

 

lim 

h 

0 

 

[ f ( x h) 

 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

[ f ( x h) 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

lim 

h 0 [ 

 

h 

h 

 

] 

 

[ f ( x h) 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

lim 

h0 

 

lim 

h0 

h 

 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

h 

[ f ( x h) 

f ( x)] 

[lim 

h0 

 

].lim 

h0 

g( 

x h) 

[lim 

h0 

f ( x)].lim 

h0 

h 

= 


 

[ g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

h 

dir. Bu da sonucun ispatını tamamlar. 

her 



noktasında sağdan türevlenebilirdir ve 

dir. (Çarpımın sağdan türevi birincinin sağdan türevi çarpı ikinci artı ikincinin sağdan 

türevi çarpı birincidir.). 

İspat. 

( f . g)( 

x h) 

( f . g)( 

x) 

lim 

h0 

 

lim 

h0 

h 

 

f ( x h). 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x). 

g( 

x) 

 

lim h 

0 

f ( x h). 

g( 

x h) 

 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

f ( x). 

g( 

x) 

 

-419-



lim 

h 

0 

 

[ f ( x h) 

 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

 

h 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

[ f ( x h) 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

lim 

h 0 [ 

 

h 

h 

 

] 

 

[ f ( x h) 

f ( x)]. 

g( 

x h) 

lim 

h0 

 

lim 

h0 

h 

 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

h 

[ f ( x h) 

f ( x)] 

[lim 

h0 

 

].lim 

h0 

g( 

x h) 

[lim 

h0 

f ( x)].lim 

h0 

h 

 

[ g( 

x h) 

g( 

x)] 

 

h 


dir. Bu da sonucun ispatını tamamlar. 

Sonuç 9.1.11. Bir fonksiyonu bir noktasında türevlenebiliyorsa herhangi 

bir sabit reel sayı olmak üzere her x IR için (sf)(x)=s.f(x) ile tanımlanan 

fonksiyonu da 


dir. 

İspat. Bu sonucun ispatı bir önceki teoremde fonksiyonlardan biri sabit fonksiyon olarak 

alınırsa elde edilir. 

Örnek 9.1.27. f(x)=5.sinx ise 

f’(x)=(5.sinx)’=5.(sinx)’=5.cosx bulunur. 


f ( x) 

3. ln x ise 

f 

'( 

x) 

( 

3.ln x)' 

 

3.(ln x)' 

 

1 

3. 

x 

 

3 

x 

elde edilir. 

-420-



fonksiyonu 

x IR için 

Teorem 9.1.12. ile fonksiyonları bir noktasında türevlenebilirse ve 

türevlenebilirdir ve 

( 

noktasının belli bir komşuluğunda sıfırdan farklı değerler alıyorsa her 

f f ( x) 

)( x) 


g g( 

x) 

f 

g 

fonksiyonu da 

noktasında 

( 

f 

g 

)'( x) 

 

f '( x). 

g( 

x) 

g'( 

x). 

f ( x) 

( g( 

x)) 

2 

dir. (Bölümün türevi payın türevi çarpı payda eksi paydanın türevi çarpı pay bölü 

paydanın karesidir). 

İspat. 

f f 

( )( x h) 

( )( x) 

g g 

lim h0 

lim h0 

h 

f ( x h) 

 

g( 

x h) 

h 

f ( x) 

g( 

x) 

 

f ( x h). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x h) 

lim h 0 

lim h0 

h. 

g( 

x h). 

g( 

x) 

f ( x h). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

h. 

g( 

x h). 

g( 

x) 

 

lim [ f ( x h) 

f ( x)]. 

g( 

x) 

f ( x).[ 

g( 

x h) 

g( 

x)] 

h 

 

0 h. 

g( 

x h). 

g( 

x ) 

f ( x h) 

f ( x) 

g( 

x h) 

g( 

x) 

. g( 

x) 

f ( x). 

lim 

h 

h 

h 

0 

 

g( 

x h). 

g( 

x) 

f ( x h) 

f ( x) 

g( 

x h) 

g( 

x) 

lim 

h0[ 

. g( 

x) 

f ( x). 

] 

 

h 

h 

 

lim g( 

x h). 

g( 

x) 

lim 

 

h0 

h0 

f ( x h) 

f ( x) 

. g( 

x) 

lim 

h 

h 

lim g( 

x h).lim 

h0 

0 

h0 

g( 

x h) 

g( 

x) 

f ( x). 

h 

g( 

x) 

 

f ( x h) 

f ( x) 

lim h0 

.lim h0 

g( 

x) 

lim h0 

f ( x).lim 

h0 

 

h 

g( 

x). 

g( 

x) 

g( 

x h) 

g( 

x) 

] 

h 

 

-421-



f ( x h) 

f ( x) 

(lim h0 

). g( 

x) 

f ( x)lim 

 

h 

2 

( g( 

x)) 

f '( x). 

g( 

x) 

g'( 

x) 

f ( x) 

 

2 

( g( 

x)) 

h0 

g( 

x h) 

g( 

x) 

h 

 


( 

f 

)'( x) 

 

g 

f '( x). 

g( 

x) 

g'( 

x) 

f ( x) 

( g( 

x)) 

2 

dir. 

Örnek 9.1.29. Pozitif sabit bir tamsayı n olmak üzere her xIR için 

f 

n 

( x) 

x fonksiyonunun türevi 

n1 

f '( x) 

nx 

dir. Çünkü; 

f '( x) 

( x 

n 

1 1'. x 

)' ( )' 

n 

x 

n 

( x 

( x 

n 

) 

2 

n 

)'.1 0. x 

 

n 

nx 

x 

2n 

n1 

.1 

 

nx 

x 

n1 

2n 

nx 

n1 

x 

2n 

nx 

n1 

dir. 

Her n pozitif tamsayısı için 

( 

n n1 

x )' nx olduğunu daha önce görmüştük. Her 

negatif j tamsayısı için 

( 

j j1 

x )' jx olduğunu da şimdi yukarıdaki örnekte gördük. 

Böylece n=0 için 

( x 

0 

)' (1)' 0 0x 

01 

olduğundan her m tamsayısı için 

( 

m m1 

x )' mx eşitliği sağlanır. 


1 

2 

( tgx)' 

1 

tg x dir. Çünkü; 

2 

cos x 

( tgx)' 

 

sin 

( 

cos 

x (sin x)'.cos 

x (cos x)'.sin 

x 

)' 

2 

x 

cos x 

(cos x).cos 

x ( sin 

x).sin 

x 

 

2 

cos x 

2 

cos x sin 

 

2 

cos x 

2 

x 

 

-422-



2 

2 

cos x sin x 1 

2 

 

1 

tg x dir. 

2 

2 

cos x cos x 

1 

2 

Örnek 9.1.31. (cot gx)' 

(1 

cot g x) 

2 

sin x 

dir. Çünkü; 

cos x (cos x)'.sin 

x (sin x)'.cos 

x 

(cot gx)' 

( )' 

2 

sin x 

sin x 

dir. 

( sin 

x).sin 

x (cos x).cos 

x 

 

2 

sin x 

2 

sin x cos 

 

2 

sin x 

2 

x 

 

Sonuç 9.1.13. ile fonksiyonları bir noktasında soldan türevlenebilirse ve 

fonksiyonu 

x IR için 

soldan türevlenebilirdir ve 

( 

noktasının belli bir komşuluğunda sıfırdan farklı değerler alıyorsa her 

f f ( x) 

)( x) 


g g( 

x) 

f 

g 

fonksiyonu da 

noktasında 

( 

f 

g 

) 

' 

 

( x) 

 

f 

' 

 

( x). 

g( 

x) 

g 

( g( 

x)) 

' 

 

2 

( x). 

f ( x) 

dir. (Bölümün soldan türevi payın soldan türevi çarpı payda eksi paydanın soldan türevi 

çarpı pay bölü paydanın karesidir.). 

İspat. 

f f 

( )( x h) 

( )( x) 

g g 

lim 

h0 

 

l lim 

h0 

h 

 

f ( x h) 

 

g( 

x h) 

h 

f ( x) 

g( 

x) 

 

f ( x h). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x h) 

lim 

h 0 

lim 

h0 

h. 

g( 

x h). 

g( 

x) 

 

f ( x h). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x) 

f ( x). 

g( 

x h) 

 

h. 

g( 

x h). 

g( 

x) 

-423-



-424- 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

. 

)] 

( 

) 

( 

).[ 

( 

) 

( 

)]. 

( 

) 

( 

[ 

lim 0 x 

g 

h 

x 

h g 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

. 

) 

( 

) 

( 

lim 0 x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

lim 

] 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

. 

) 

( 

) 

( 

lim 

0 

0 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

h 

= 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

).lim 

( 

lim 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

lim 

) 

( 

. 

) 

( 

) 

( 

lim 

0 

0 

0 

0 

x 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

h 

h 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

] 

) 

( 

) 

( 

).lim 

( 

lim 

) 

( 

.lim 

) 

( 

) 

( 

lim 0 

0 

0 

0 

x 

g 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

h 

h 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

0 

0 

)) 

( 

( 

) 

( 

) 

( 

)lim 

( 

) 

( 

). 

) 

( 

) 

( 

(lim 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

h 

2 

' 

' 

)) 

( 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

x 

g 

x 

f 

 

 

 

 


2 

' 

' 

' 

)) 

( 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

) 

( 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

f 

 

 

 

 

 

dir. 


ve fonksiyonu noktasının belli bir komşuluğunda sıfırdan farklı değerler alıyorsa



-425- 

her 

IR 

x için 

) 

( 

) 

( 

) 

)( 

( 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

f 


g 

f 

fonksiyonu da 

noktasında 

sağdan türevlenebilirdir ve 

2 

' 

' 

' 

)) 

( 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

) 

( 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

f 

 

 

 

 

 

dir. (Bölümün sağdan türevi payın sağdan türevi çarpı payda eksi paydanın sağdan 

türevi çarpı pay bölü paydanın karesidir.). 

İspat. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h 

x 

g 

x 

f 

h 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

g 

f 

h 

x 

g 

f 

h 

h 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

lim 

) 

)( 

( 

) 

)( 

( 

lim 0 

0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

. 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

). 

( 

lim 

) 

( 

). 

( 

. 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

). 

( 

lim 0 

0 

x 

g 

h 

x 

h g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

h g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

. 

)] 

( 

) 

( 

).[ 

( 

) 

( 

)]. 

( 

) 

( 

[ 

lim 0 x 

g 

h 

x 

h g 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

. 

) 

( 

) 

( 

lim 0 x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

lim 

] 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

) 

( 

. 

) 

( 

) 

( 

lim 

0 

0 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

).lim 

( 

lim 

) 

( 

) 

( 

). 

( 

lim 

) 

( 

. 

) 

( 

) 

( 

lim 

0 

0 

0 

0 

x 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

h 

h 

h 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

( 

). 

( 

] 

) 

( 

) 

( 

).lim 

( 

lim 

) 

( 

.lim 

) 

( 

) 

( 

lim 0 

0 

0 

0 

x 

g 

x 

g 

h 

x 

g 

h 

x 

g 

x 

f 

x 

g 

h 

x 

f 

h 

x 

f 

h 

h 

h 

h



(lim 

 

h0 

f ( x h) 

 

h 

f ( x) 

). g( 

x) 

f ( x)lim 

( g( 

x)) 

2 

h0 

g( 

x h) 

g( 

x) 

h 

 

 

f 

' 

 

( x). 

g( 

x) 

g 

( g( 

x)) 

' 

 

2 

( x) 

f ( x) 


( 

f 

g 

) 

' 

 

( x) 

 

f 

' 

 

( x). 

g( 

x) 

g 

( g( 

x)) 

' 

 

2 

( x) 

f ( x) 

dir. 

-426-



9.1.Alıştırmalar (Türev Kavramı) 

1) 

fonksiyonunun her noktada türevlenebilir olduğunu tanımdan yararlanarak 

hesaplayınız. 

Çözüm. 

= 

 

 


dir. 

2) 

3) 

4) ise y’=? 

5) ise y’=? 

6) ise y’=? 

7) ise y’=? 

8) ise y’=? 

-427-



9) ise y’=? 

10) =? 

11) =? 

12) =? 

13) ln =? 

14) =? 

15) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal 

gelir fonksiyonu MG yi bulunuz. 

16) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal 

gelir fonksiyonu MG yi bulunuz 

17) Bir şirketin adet cep telefonunu üretildiğinde maliyet fonksiyonu 

olarak veriliyor. Marjinal maliyet fonksiyonunu bulunuz. 120 adet cep telefonu üretilmişse 

marjinal maliyet ne kadardır? 

18) Toplam maliyet fonksiyonu TM=8+6q 2 olduğuna göre marjinal maliyet 

fonksiyonunu bulunuz. 

19) 

eşitliklerini kullanarak aşağıdaki türevleri hesaplayınız. 

a) 

-428-



Çözüm. 

ve 

yazarsak, 

bulunur. 

b) 

Çözüm. 

değişken değiştirmesini yaparsak, 

-429-



elde ederiz. 

-430-

1. kısım MAT 152 Genel Matematik II 12 Mart 2013.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?