Unit Step fonksiyonu, Impulse fonksiyonu

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:Unit Step fonksiyonu, Impulse fonksiyonu:Unit Step Fonksiyonu:Tanim:Unit Step fonksiyonu aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabilir. Her iki tanımda literatürdekullanılmaktadır1 x > 0⎩⎨⎧≥ 1 x 0u x)=u( x)=⎪⎩⎪⎨⎧= 0. 5 x 0 .0 otherwise0 otherwiseUnit Step fonksiyonunun grafiği her iki tanım için aşağıdaki gibi sırasıyla görünmektedir.( ;⎪⎭⎪⎬⎫Unit Delta Step fonksiyonu:Unit delta step fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi verilmiştir. Unit delta step fonksiyonudaha sonra tanımını vereceğimiz impulse fonksiyonunun tanımı için kullanacağız,u1if 0 ≤ x ≤( x)= ∆.0 otherwise⎭⎬⎫ u(x) 1 x u(x)1 0.5 x∆⎪⎭⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧∆Unit delta step fonksiyonunun grafiği ise aşağıdaki gibi verilmiştir,u∆(x)∆Unit Delta Impulse Fonksiyonu:Unit Delta Impulse Fonksiyonunun tanımı ve de grafiği aşagıdaki gibi verilmiştir.du (x)∆= (x)dx∆ δ

δ∆(x)1∆∆Unit Impulse Fonksionu:Unit impulse fonksionu unit delta impulse fonksiyonundan aşağıdaki şekliyle elde edilir,δ ( x)= lim δ ( x).∆→0∆Unit impulse fonksiyonu kısa şekilde impulse fonksiyonu diye de isimlendirilebilir ve degrafiği aşağıdaki gibi verilmiştir. Impulse fonksiyonu boylamı enlemine göre çok daha uzunolan ama alanı sabit ve de ‘1’ sayısına eşit olan bir dikdörtgen gibi düşünülebilir.δ (x)Impulse fonksiyonu matematiksel olarak şöyle ifade edilir,δx − x)=1=(0⎩⎨⎧ ⎭⎬⎫0ifxx0otherwise;.Diğer bir değişle;δ x)=Impulse fonksiyonunun özellikleri:10if x = 0;⎩⎨⎧(⎭⎬⎫otherwise.Impulse fonksiyonu komünikasyon ve de sinyal işlemede çok fazla kullanılan temelfonksiyonlardan birisidir. Bu açıdan impulse fonksiyonunun bazı temel özelliklerinin çok iyikavranması gerekmektedir. Devam eden satırlarda bu özellikleri sıralıyoruz.1) δ ( x − x0 ) f ( x)= δ ( x − x0) f ( x0) ; burada x0reel bir sayı olup, x ise bir değişkeni ifadeetmektedir.2) δ ( x − x0 ) f ( x − x1) = δ ( x − x0) f ( x0− x1); (1)’in daha genel bir ifadesi olmaktadır.3) ∫dx δ ( x)= 1; ya da δ ( x − x0 ) dx = 1.4) δ x − x ) f ( x)dx = f ( ) ; ya da δ x − x ) f ( x − x ) dx = f ( x − ) . ∫ ∫ ∫(0x0(0 10x1Özellik (4)’ün ispatı, (1)- (2) ve (3) özellikleri kullanılarak ispatlanabilir. Özellik (4)’ünispatını aşağıdaki gibi veriyoruz.

Özellik (4)’ün Đspatı:Özelik (1)’den δ ( x − x0 ) f ( x)dx = ∫− δ ( x x0) f ( x0) dx ;δ x − x ) f ( x ) dx = f ( x ) ( x − x ) dx ; ∫ ∫(0 00δ0Özelik (3)’ten f ( x ) ∫δ0( x − x0) dx = f ( x0). 1Impulse fonksiyonunun türevleri de tanımlanabilir; δ (x)fonksiyonunun 1., 2. ve de n....(türevleri sırasıyla δ ( x), δ x)ve de δşeklinde n (x)gösterilmektedir. Impulse fonksiyonununn. türevi ile ilgili olarak aşağıdaki özelliği öğrenmekte fayda görmekteyiz,nf ( x)δ ( x − x0n∂ f ( x)) =n∂xnn ∂ f ( x)f ( x)δ ( x − x0) =n∂x∫x=x0δ ( x − xx=x0.0);Ramp Fonksiyonu:Son olarak göreceğimiz fonksiyon ramp fonksiyonudur. Ramp fonksiyonun hatırlamak içinaraba ile rampa çıkma olayını hatırlayabilirsiniz. Ramp fonksiyonunun türevi unit stepfonksiyonunu vermektedir. Ramp fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır;⎭⎬⎫1 if x 0;r( x).0 otherwise≥=⎩⎨⎧Ramp fonksiyonunun grafiği ise Şekil XX de gösterilmiştir.Unit Step fonksiyonu, impulse fonksiyonu ve de ramp fonksiyonu arasında matematikselbağlantılar vardır. Fonksiyonlar arasındaki matematiksel bağlantılar devam eden satırdaaçıklanmıştır,xx∞∫2dr(x)du(x)∂ r(x)u(x)= , r(x) = u(x)dx,δ (x) = , u(x) = δ ( x)dx,δ(x)= .2dxdx−∞−∂ xŞimdi olduğumuz bu temel fonksiyonları pekiştirmek için bazı örnekler verelim.öğrenmiş∫

xa)−∫∞b)−∫∞δ ( x − 2) dx = ?xu ( x − 2) dx = ?c) f ( x)= δ ( x 2 − 4)fonksiyonu için açık bir ifade yazınız.Çözüm:xa)−∫∞b)−∫∞δ ( x − 2) dx = u(x − 2)xu ( x − 2) dx = r(x − 2)x = − 2 or x=c)⎩⎨⎧ ⎭⎬⎫f ( x)= δ ( x2− 4) =1 if0otherwise2,Örnek–4:Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.a) f ( x)= δ ( x + 2) + δ ( x − 3)b) f ( x)= −δ ( x + 3) + δ ( x)c) f ( x)= u(x − 3)d) f ( x)= u(x −1)+ u(x − 4)e) f ( x)= δ ( x + 1) + u(x −1)f) f ( x)= δ ( x − 2) + u(x −1)g) f ( x)= r(x − 3)h) f ( x)= r(x −1)+ r(x − 2) − 2r(x − 5)ı) f ( x)= δ ( x − 3) + r(x −1)Çözüm:Grafikler aşağıda verilmiştir, lütfen her şekli iyice inceleyerek anlamaya çalışınız.

a) b)c) d)e) f)f(x)-3 x 0 f(x)1-21 x f(x) f(x) 1x f(x) f(x) 3 1 4f(x) 1 -1 2 f(x) x 1 1g) h)ı)Örnek–5:Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonları unit step fonksiyonu türünden yazınız.1 2 x x 1 f(x) 34 72 5 13 3 x

f(x)a) b)c) d)f(x)f(x) 2 5 24 242 1 5 xe) f)Çözüm:f(x) 34 f(x) f(x) 2 5 6 2 2 4 -2 4 5 4 423 2 6xAslında grafikler karışık gibi gözükse de mantık olukça basittir. Grafiklerdeki atlamanoktaları göz önüne alınarak ve de atlama noktalarındaki atlama miktarları hesaplanarakfonksiyonlar unit step fonksiyonu türünde kolayca yazılanabilir.a) f ( x)= 2u(x − 2) + 3u(x − 5)b) f ( x)= 2u(x − 2) − 2u(x − 5)c) f ( x)= 2u(x − 2) − 4u(x − 4) + 2u(x − 6)d) f ( x)= 2u(x − 2) − 4u(x − 4) + 2u(x − 6)e) f ( x)= 2u(x + 2) + 2u(x − 4) − 2u(x − 6)f) f ( x)= 4u(x − 2) − 2u(x − 3) + 2u(x − 4) − 4u(x − 5)xÖrnek–6:Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonları unit step fonksiyonu ve de impulse fonksiyonlarıtüründen yazınız.a) b)

Çözüm:Örnek–7:a) f ( x)= δ ( x + 1) + u(x −1)− δ ( x − 3) − u(x − 4)b) f ( x)= u(x −1)+ δ ( x − 2) − u(x − 4)Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonları unit step fonksiyonu, impulse fonksiyonu ve deramp fonksiyonları türünden yazınız.f(x) f(x)a) b)xc)d)e) f)f(x) -2 1 3 -2 2 xÇözüm:g) h)f(x)-3f(x)31234-113f(x) -2 2 2 -2 24 23 13 2f(x)-2 f(x) xşey fonksiyonun değişim gösterdiği durumlarda yatayeksendeki noktaları tespit etmektir. Daha sonra ramp, unit step, ve de impulse fonksiyonlarınıkullanarak grafikleri matematiksel olarak yazmaya çalışırız. Aşağıdaki çözümleri grafiklerebakarak iyice anlamaya çalışınız.Bu tür sorularda yapmamız gereken ilk234a) f ( x)= r(x + 2) − r(x −1)b) f ( x)= r(x + 2) − 2r(x)+ r(x − 2)c) f ( x)= r(x + 3) − r(x)− 4u(x − 2) + 4u(x − 3) − 3u(x − 4)x

d) f ( x)= r(x + 1) + r(x)− 2r(x −1)− 2u(x − 2) − u(x − 4)e) f ( x)= r(−x)− r(−x− 2) − 2u(−x− 2) + r(x)− r(x − 2) − 2u(x − 2)f) f ( x)= r(−x)− r(−x− 2) − 2u(−x− 2) + r(x)− r(x − 2) − 2u(x − 4)g) f ( x)= r(x)+ δ ( x − 2) − r(x − 2) + u(x − 3) − 3u(x − 4)h) f ( x)= 2u(x + 2) − 2δ( x −1)− r(x −1)− r(x − 3) + δ ( x − 3)Örnek–8:Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonların birince ve de ikinci türevlerini bulunuz ve degrafiklerini çiziniz.a) b)c)Çözüm:Grafikleri öncelikle ramp, unit step fonksiyonları türünden matematiksel olarak yazalım.Daha sonra matematiksel ifadenin türevini alarak sonucu elde edelim. Aslında matematikselifade yazmadan direk olarak fonksiyonların grafiklerinden yola çıkarak da türev sonucu eldeedilen fonksiyonların grafiklerini çizmek mümkündür. Bir sonraki örneğimizde matematikselifade yazmadan direk olarak grafik üzerinden sonuca ulaşmaya çalışacağız.a) f ( x)= u(x + 2) − u(x − 3)b) g ( x)= r(x + 2) − r(x)− 2u(x − 3)2 2c) h ( x)= r(−x)− r(−x− 2) − u(−x− 2) + r(x)− r(x − 3) − 2u(x − 3)3 3Şimdi matematiksel fonksiyonların türevlerini alalım,.a) f ( x)= δ ( x + 2) − δ ( x − 3).b) g(x)= u(x + 2) − u(x)− 2δ( x − 3).2 2c) h(x)= −u(−x)+ u(−x− 2) + δ ( −x− 2) + u(x)− u(x − 3) − 2δ( x − 3)3 3Türevlerin grafik çizimleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

.f ( x).g(x).h(x)Eğer türev grafiklerine dikkat edilirse, impulse fonksiyonu orijinal fonksiyonun dikey atlamayaptığı x değerlerinde ortaya çıkmaktadır. O halde kısa yolda türev sonuçlarının grafikleriniçizmek için aşağıdaki iki kuralı çıkarabiliriz.Kural 1: Türevi alınacak grafiğin hangi noktalarda dikey atlama yaptığını tespit edelim ve deatlama miktarlarını da hesaplayalım. Eğer yukarı doğru bir atlama olduysa türev grafiğindeatlama noktasında yukarıya doğru atlama miktarı kadar bir genliğe sahip olan bir impulsefonksiyonu oluşacaktır. Eğer atlama aşağıya doğru ise, türev grafiğinde atlama noktasındaaşağıya doğru, atlama miktarı kadar genliğe sahip bir impulse fonksiyonu belirecektir.Kural 2: Türevi alınacak olan grafikte eğimli doğrular varsa, eğim miktarı hesaplanır ve deyatay bir çizgi olarak grafikte belirtilirler.Şimdi konuyu pekiştirmesi açısından bir örnek daha verelim.Örnek–9:Aşağıdaki grafiklerin türevlerini formül yazmadan grafik üzerinden direk olarak hesaplayınız.Çözüm:

Grafikleri için formül yazmandan sadece kural–1 ve de kural–2’yi uygulayarak grafiklerintürevlerini direk olarak bulalım. Bunun için yapılması gereken şey grafiklerdeki atlamanoktalarının belirlenmesi ve de atlama miktarlarının hesaplanarak, aşağıya doğru olanatlamalarda aşağıya doğru atlama enliğine sahip olan bir impulse, yukarıya doğru olanatlamalarda ise yukarı atlama miktarı kadar yukarıya doğru bir impulse çizilmelidir. Eğimiolan doğrularda ise eğim miktarı hesaplanarak yatay bir çizgi çizilir. Bu kurallar uygularsaktürevi alınan grafikler aşağıdaki gibi görülecektir..f ( x)g(x).Matematiksel bazı fonsiyonların unit step ve de impulse fonksiyonları türünden yazılmaları:Bazı açık matematiksel ifadelerin, unit step ve de impulse fonksiyonları türünden yazılmalarıişlem yapmayı kolaylaştırmaktadır. Bu açıdan aşağıdaki örnekleri inceleyerek unit step ve deimpulse fonksiyonlarının açık matematiksel ifadeleri yazmak için nasıl kullanıldığına bakınız.Örnek–10:f ( x)=+ ≥⎩⎨⎧2x01x0;digeryukarıdaki fonksiyonu unit step fonksiyon kullanarak yazınız.⎭⎬⎫Çözüm:f ( x)= (2x+ 1) u(x)Örnek:Aşağıdaki fonksiyonu unit step ve de impulse fonksiyonları türünden yazınız,Çözüm:fx)=2− −⎪⎩⎪⎨⎧(⎪⎭⎪⎬⎫0x −21x ≥ 0;x =diger1;.f ( x)= (2x−1)u(x)− 2δ( x + 1)

Üstsel Fonksiyon:Kominikasyon ve de sinyal işleme konularında kullanılan diğer bir fonksiyonda üstselfonksiyondur. Üstsel fonksiyonun tanımı aşağıdaki gibi verilebilir,⎭⎬⎫→− xke x ≥ 0−xf ( x)= f ( x)= ke u(x).0 diger ⎩⎨⎧