Zadania z topologii II - 2013

1 Homotopia przekształceń. Homotopijna równoważność.
1.1. Pokazać, że jeżeli X jest przestrzenią ściągalną, to zbiór klas homotopii
[X, Y ] jest w bijekcji ze zbiorem składowych łukowych przestrzeni Y .
(Dugundji, chap.XV, tw.3.1)
1.2. Pokazać, że jeżeli Y jest przestrzenią ściągalną, to [X, Y ] jest przestrzenią
jednopunktową.
1.3. Niech f : X → S n będą dowolnymi odwzorowaniami takimi, że dla
każdego x ∈ X zachodzi f(x) ̸= −g(x). Wykazać, że f i g są homotopijne.
Wywnioskować, że każde przekształcenie f : X −→ S n , które nie jest ”na”
jest homotopijne z przekształceniem stałym.
1.4. Pokazać, że każde przekształcenie S 1 → S n , n > 1 jest homotopijne
ze stałym.
1.5. Udowodnić, że dowolne dwa odwzorowanie f, g : X → U ⊂ R n
o wartościach w otwartym podzbiorze R n , które są dostatecznie bliskie są
homotopijne. Zauważyć, że otwarty podzbiór można zastąpić przez sferę lub
ogólniej dowolny podzbiór A ⊂ R n , który jest retraktem pewnego swojego
otoczenia.
1.6. Pokazać, że każde przekształcenie S k → S n , n > k jest homotopijne
ze stałym.
(Wskazówka: Skorzystać z poprzedniego zadania, twierdzenia Sarda i zadania
1.3)
1.7. Pokazać, że odwzorowanie f : S 1 → X jest homotopijne z przekształceniem
stałym wtedy i tylko wtedy gdy rozszerza się na dysk
D 2 := {z ∈ C : |z| ≤ 1} tzn. istnieje ¯ f : D 2 → X takie, ze ¯ f|S 1 = f.
2 Pary Borsuka. Homotopijne równoważności.
Uwaga: Będziemy zakładać, że X jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem A
jest podzbiorem domkniętym.
2.1. Udowodnić, że jeżeli A ⊂ X jest parą Borsuka i włożenie
iA : A ↩→ X jest homotopijną równoważnością, to podprzestrzeń A jest
retraktem deformacyjnym przestrzeni X.
1