Zadania z topologii II - 2013

4.15. Analizując podnoszenie dróg w nakryciu ósemki przy pomocy bukietu
trzech okręgów ( nad jednym okręgiem z 3 , nad drugim z 2 i id) wykazać, że
grupa podstawowa ósemki jest nieprzemienna.
4.16. Niech p: S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1 będzie nakryciem danym wzorem:
p(z1, z2) = (z 2 1, z 3 2). Niech (1, 1) ∈ S 1 × S 1 będzie punktem wyróżnionym.
a) Znaleźć krotność tego nakrycia i podgupę
p∗(π1(S 1 × S 1 , (1, 1))) ≤ π1(S 1 × S 1 , (1, 1)).
b) Niech q : S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1 będzie nakryciem danym wzorem:
q(z1, z2) = (z 3 1, z 2 2). Zbadać, czy istnieje h: S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1 będące
morfizmem nakrycia q w nakrycie p, tzn. ph = q.
c) Znaleźć grupę automorfizmów nakrycia p.
4.17. Udowodnić, że dla dowolnej jednospójnej przestrzeni Y , każde spójne
nakrycie p : ˜ X −→ X indukuje bijekcję
p♯ : [(Y, y0), ( ˜ X, ˜x0)] −→ [(Y, y0), (X, x0)].
Zauważyć, że jeżeli przestrzeń ˜ X jest ściągalna, to każde odwzorowanie
Y −→ X jest ściągalne.
4.18. Niech p : ˜ X −→ X będzie nakryciem. Pokazać, że dowolna droga
ω : I −→ X zadaje bijekcję hω : p −1 (ω(0)) −→ p −1 (ω(1)), przy czym złożeniu
dróg odpowiada złożenie bijekcji.
4.19. Wykazać, że przekształcenie f : Y −→ X przestrzeni spójnych, lokalnie
łukowo spójnych indukuje izomorfizm f♯ : π1(Y, y0) −→ π1(X, x0) wtedy
i tylko wtedy gdy nakrycie indukowane przez f z nakrycia uniwersalnego
przestrzeni X jest nakryciem uniwersalnym przestrzeni Y .
4.20. Niech G będzie spójną, lokalnie łukowo spójną grupą topologiczną
i niech e ∈ G będzie elementem neutralnym G. Niech ˜ G będzie spójne i
p : ˜ G −→ G będzie nakryciem. Niech h0 ∈ ˜ G będzie takie, że p(h0) = e.
Pokazać, że:
a) istnieje dokładnie jedna struktura grupy topologicznej na ˜ G taka, że h0
jest elementem neutralnym i p jest homomorfizmem.
b) jeżeli G jest abelowa, to ˜ G także
c) ker p ≤ Z( ˜ G)
d) grupa automorfizmów nakrycia p: ˜ G −→ G jest izomorficzna z kerp.
4.21. Niech p : ˜ X −→ X będzie skończonym spójnym nakryciem. Pokazać,
że istnieje pętla w przestrzeni X, której żadne podniesienie nie jest pętlą.
5