Zadania z topologii II - 2013

3.4. Jeżeli G jest grupą topologiczną, to mnożenie w grupie G zadaje
działanie grupowe w zbiorze π1(G, e). Udowodnić, że jest ono identyczne z
działaniem zadanym przez składanie dróg i wykazać, że grupa π1(G, e) jest
abelowa.
3.5. Udowodnić, że jeżeli f, g : X −→ Y są dwoma homotopijnymi
przekształceniami takimi, że f(x0) = g(x0) = y0 oraz grupa π1(Y, y0) jest
abelowa to f♯ = g♯ : π1(X, x0) −→ π1(Y, y0).
Uwaga: Nie zakładamy, że rozpatrywane przekształcenia są homotopijne względem
{x 0 }.
3.6. Udowodnić, że jeżeli przekształcenie α : S 1 −→ X, α(1) = x0 jest
homotopijne z przekształceniem stałym w punkt x0, to [α] = 0 w π1(X, x0).
4 Nakrycia
4.1 Ogólne własności nakryć.
4.1. Pokazać, że jeżeli nakrycie jest homotopijną równoważnością, to jest
homeomorfizmem.
4.2. Udowodnić, że nakrycie skończone (to znaczy nakrycie, którego włókno
jest zbiorem skończonym) jest przekształceniem domkniętym. Podać przykład,
że założenie o skończoności włókna jest istotne.
4.3. Udowodnić, że jeżeli pi : Ei −→ Xi, i = 1, 2 są nakryciami to p1 × p2 :
E1 × E2 −→ X1 × X2 też jest nakryciem. Wyrazić krotność nakrycia p1 × p2,
w terminach krotności p1 i p2. Czy iloczyn kartezjański nieskończenie wielu
nakryć jest nakryciem?
4.4. Niech Y będzie spójną przestrzenią Hausdorffa zaś przestrzeń X
niech będzie spójna, lokalnie łukowo spójna i zwarta. Udowodnić, że jeżeli
p : X −→ Y jest lokalnym homeomorfizmem, to p(X) = Y i p jest nakryciem.
Podać przykład lokalnego homeomorfizmu p : R → S 1 , który nie jest
nakryciem.
4.5. Pokazać, że jeżeli p : ˜ X −→ X jest nakryciem a f : Y −→ X
przekształceniem ciągłym i nakrycie p : ˜ X −→ X jest trywialne, to nakrycie
p ′ : f ∗ ˜ X −→ Y jest trywialne. Czy z trywialności nakrycia p ′ : f ∗ ˜ X −→ Y
wynika trywialność nakrycia p? (podać przykład)
4.6. Sklejanie nakryć. Niech X = U1∪U2 będzie sumą podzbiorów otwartych
i niech nad każdym z nich będzie dane nakrycie pi : Ũi −→ Ui, i = 1, 2,
3