4. MOD LN LOGIKY - Atrey

16
Je ná¹ svìt nejlep¹í?
Leibniz, jak známo, pova¾oval ná¹ svìt za þnejlep¹íÿ z mo¾ných svìtù, co¾ Schopenhauer pohotovì
opravil na vìrohodnìj¹í þkdy¾ u¾, tak nejhor¹íÿ.
Vojtìch Kolman: Elementy kritiky modalit. Ve sborníku Mo¾nost, skuteènost, nutnost, str. 25.
Gödelùv dùkaz Bo¾í existence
V pozùstalosti významného logika Kurta Gödela se na¹el následující dùkaz Bo¾í existence, který se
v mnohém podobá dùkazùm støedovìkým, ale vyu¾ívá notaci moderní modální logiky (a to predikátové
logiky druhého øádu).
Uva¾ujme o vlastnosti být bo¾ský to, ¾e nìjaký objekt x je bo¾ský, oznaèíme Gx. Podobnì Vx aWx
znaèí, ¾e objekt x má vlastnost V, respektive W.
Dále pøedpokládejme, ¾e nìkteré vlastnosti jsou pozitivní mno¾inu pozitivních vlastností znaème }.
Dùkaz vychází ze ètyøech axiomù:
Je-li nìjaká vlastnost V pozitivní, pak :V není pozitivní. V 2 } ) (:V) 62 } (1)
V¹echny vlastnosti, které nutnì vyplývají z pozitivních vlastností, jsou pozitivní.
fV 2 } ^ (Vx ) Wx)g ) W 2 } (2)
Bo¾ská bytost má nutnì v¹echny dobré vlastnosti. Gx ) (V 2 } ) Vx) (3)
Být bo¾ský je pozitivní vlastnost. G 2 } (4)
Na základì tìchto axiomù lze dokázat, ¾e je-li nìjaká vlastnost pozitivní, pak je mo¾né, ¾e existuje
objekt s touto vlastností: V 2 } ) }9xVx (5)
pro spor pøedpokládejme, ¾e 8x:Vx
implikace s nepravdivým pøedním èlenem je pravdivá, tak¾e (Vx ):Vx)
Podle axiomu (2) a pøedpokladu V 2 } dostáváme :V 2 }, co¾ je spor s axiomem (1).
Tak¾e V 2 } ) }9xVx.
Z (4) a (5) plyne, ¾e mo¾ná existuje nìco bo¾ského. }9xGx (6)
Nyní uká¾eme, ¾e je-li nìco bo¾ské, pak to je nutnì bo¾ské: Gx ) Gx (7)
Dle (4) G 2 }.
Dle (3) tedy Gx ) Gx.
Nyní uká¾eme, ¾e nutnì existuje nìjaký bo¾ský objekt: 9xGx
Podle (6) a (7) }9x Gx. Z toho lze na základì predikátové modální logiky S5 odvodit, ¾e } 9xGx.
V logice S5 je ov¹em formule zaèínající více modalitami ekvivalentní formuli zaèínající poslední z tìchto
modalit, ta¾e dostáváme 9xGx.
Poznámka k Rossovì paradoxu
Osobnì mne velmi pøekvapilo zji¹tìní, ¾e nìkterým ètenáøùm tohoto textu se na Rossovì paradoxu
nezdálo nic podivného. Zdá se, ¾e mezi matematiky je roz¹íøená pøedstava, ¾e sémantika klasické logiky
þsprávnìÿ vystihuje povahu spojek pøirozeného jazyka z tohoto hlediska samozøejmì není na Rossovì
paradoxu nic paradoxního - pokud ke splnìní úkolu musím donést dopis na po¹tu, tak jej musím donést
na po¹tu nebo spálit, tak¾e z pøíkaz þdones tento dopis na po¹tu!ÿ vyplývá pøíkaz þdones tento dopis na
po¹tu nebo jej spal!ÿ.
Proè se nám tato implikace nelíbí? Dostanu-li pøíkaz þrozdìlej oheò!ÿ, budu v duchu uva¾ovat asi
takto: þnejprve musím donést nìjaké døevo, sehnat papír na podpal a sirky nebo zapalovaèÿ. V tomto
smysluzpøíkazu þrozdìlej oheò!ÿ vyplývají pøíkazy þdones nìjaké døevo! se¾eò papír na podpal! se¾eò
sirky nebo zapalovaè!ÿ. Mohu nyní postupovat tak, ¾e þzapomenuÿ na pùvodní pøíkaz a nejprve splním
pøíkazy, které jsou jeho dùsledkem potom se mohu znovu rozpomenout, proè jsem si donesla døevo, papír
a sirky a splnit pùvodní zadání. Rossùv paradox spoèívá v tom, ¾e vykonáním implikovaného pøíkazu si
mohu znemo¾nit vykonání pùvodního pøíkazu.
Na druhou stranu je názor, ¾e na Rossovì paradoxu není nic paradoxního, dobøe obhájitelný nazákladì
srovnání logiky pøíkazù s logikou oznamovacích vìt. Tento paradox zøejmì souvisí s rozdílem mezi
(logickou) sémantikou a pragmatickým u¾itím jazyka. Pøi praktickém u¾ití jazyka toti¾ vìt¹inou pøedpokládáme,
¾e s námi ná¹ partner v dialogu spolupracuje v tom smyslu, ¾e nám podává právìty informace,
které potøebujeme napø. k úspì¹nému zvládnutí úkolu - tedy ani ¾ádné dùle¾ité informace nevynechá, ani
nám nedává ¾ádné navíc. Od implikace intuitivnì oèekáváme, ¾e se tímto principem kooperace 25 bude
25 Principy konverzaèní kooperace poprvé formuloval lingvista H. P. Grice.