4. MOD LN LOGIKY - Atrey

20
logickou: þjestli¾e Jirka vìøí v¹emu, co je napsáno v té knize, vìøí i nìjakému konkrétnímu tvrzení, které
se v té knize vyskytujeÿ je toti¾ tvrzení pravdivé na základì èisté logiky, i kdy¾ se nejedná o logiku
výrokovou, ale predikátovou: (8xV (Jx)) ) V (JA).
Páté tvrzení je ukázkovým pøíkladem logické nutnosti.
Øe¹ení cvièení 10 A znamená, ¾e z na¹ich poznatkù je odvoditelné A nemáme-li dojít ke sporu,
:A odvoditelné není a tedy podle na¹ich znalostí je A mo¾né (}A).
Øe¹ení cvièení 11 V situaci, kdy A u¾ je pravdivý výrok, mohu samozøejmì snadno dosáhnout
toho, abybyl pravdivý - prostì nechám v¹echnyvìci tak, jak jsou. Tak¾e A )}A platí. (Pravdìpodobnì
u¾ se Ti stalo, ¾e se s Tebou nìkdo vsadil, ¾e docílí nìèeho neuvìøitelného, ve skuteènosti v¹ak u¾ vechvíli
sázky byla ta neuvìøitelná vìc realitou.)
Øe¹ení cvièení 14
Samozøejmì, ¾e ze svìta :-( jsou dosa¾itelné v¹echny ostatní svìty (v¾ádnému¾tonemù¾e být hor¹í),
zatímco svìt :-) je dosa¾itelný zev¹echsvìtù (nejsou v nìm poøu¹eny ¾ádné morální principy). Ze svìta
:-j je dosa¾itelný onsámasvìt :-), ze svìta :-) jen on sám. Pro pøehlednost si mù¾eme nakreslit obrázek,
ve kterém ¹ipka z jednoho svìta do druhého znázoròuje, ¾e druhý je dosa¾itelný z prvního:
:-|
Poznámka ke cvièení 14
V¹imni si, ¾e má-li relace dosa¾itelnosti mít význam þv dosa¾itelném svìtì není poru¹ováno víc pravidel
ne¾ v pùvodnímÿ, bude urèitì re exivní -ka¾dý svìt bude dosa¾itelný alespoò sám ze sebe. Mohli bychom
ji ov¹em de novat také tak, ¾e dosa¾itelnýsvìt je dokonalý (¾ádná pravidla v nìm nejsou poru¹ena). V tom
pøípadì by seov¹em mohlo stát, ¾e ¾ádný svìt dosa¾itelný nebude, proto¾e v ka¾dém mo¾ném svìtì je
poru¹eno nìjaké pravidlo. (Napøíklad pokud si pravidla zvolíme tak, ¾e nebude mo¾né øídit se obìma
souèasnì: odvá¾nému ¹tìstí pøeje, ale opatrnosti nikdy nezbývá.)
Øe¹ení cvièení 15 Z de nice modelu je vidìt, ¾e S :A právì kdy¾ S 6 A.
Øe¹ení cvièení 16 Jestli¾e není dosa¾itelný ¾ádný mo¾nýsvìt, tak samozøejmì ¾ádný výrok nemù¾e
být pravdivý v nìjakém dosa¾itelném svìtì (tak¾e nic není mo¾né), ale zato je ka¾dý výrok pravdivý ve
v¹ech nula dosa¾itelných svìtech (tak¾e v¹echno je nutné).
Øe¹ení cvièení 17 Hloubka formule je celoèíselný údaj, který se poèítá následovnì:
1 . Atomické formule mají hloubku 1.
2 . Jestli¾e formule F vznikne z formulíAaB,kterémajíhloubku n a m, pomocí spojek : ^ _ ) ,,
je její hloubkarovna vìt¹ímu z èísel n a m. Je-li hloubkaArovna n, je hloubkaformulí F = AaF=}A
rovna n +1.
Tvrzení budeme dokazovat indukcí podle hloubky h formule F.
1 . Je-li h =0,závisí pravdivost F ve svìtì S pouze na mo¾ném svìtì S. Spojení formulí navzájem
pomocí negace, konjunkce, disjunkce nebo implikace nijak nezmìní mno¾inu mo¾ných svìtù, do kterých
se musíme þpodívatÿ, abychom zjistili, je-li daná formule pravdivá.
2 . Pøedpokládejme, ¾e hloubka formulí A a B je nejvý¹e h. Je-li F = A nebo F = }A, musíme se pøi
vyhodnocování pravdivosti F vesvìtì S podívat, zda je A pravdivávesvìtech T , které jsou z S dosa¾itelné
po 1 ¹ipce k tomu musíme (podle indukèního pøedpokladu) nahlédnout nejdál do svìtù vzdálených oh
:-(
:-)