O klasyfikacji skończonych grup prostych

ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMATYCZNEGO 

SeriaII:WIADOMO´SCIMATEMATYCZNEXXXVIII(2002) 

C.Bagiński(Białystok) 

M.Łuba(Białystok) 

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 

1.Wprowadzenie.JednymznajbardziejfascynującychosiągnięćmatematykiXXwiekujestzakończenieklasyfikacjiskończonychgrupprostych(SGP).Całośćklasyfikacjimożnaująćwjednym,pozornienieskomplikowanymtwierdzeniu: 

Twierdzenie1.Grupa Gjestskończonągrupąprostą wtedyitylko 

wtedy,gdyjestizomorficznazjednąznastępującychgrup: 

(a)cyklicznągrupą Cpzespolonychpierwiastkówstopnia pzjedynki, 

gdziepjestliczbąpierwszą; 

(b)grupąAnpermutacjiparzystychzbiorun-elementowego,n5; 

(c)grupąprostątypuLiego; 

(d)jednązdwudziestusześciusporadycznychgrupprostych. 

Dowódtegotwierdzeniajestczymśwyjątkowymwcałejhistoriimatematyki.Wobecnieznanymkształciemieścisięna10–15tysiącachstron 

rozrzuconychwokoło500artykułachponadstuautorów.Jestonzatem 

nietyledowodemkonkretnegotwierdzenia,cocałymobszernymdziałem 

współczesnejmatematyki. 

Zarazpotym,gdywlutym1981rokuwąskagrupanajwybitniejszych 

specjalistówzaangażowanychwklasyfikacjęuznała,żejestonazakończona, 

ukazałasięksiążka[6],którejautor,DanielGorenstein,zapowiedziałpełną 

„rewizję”całegodowodu,mającąrozwiaćwątpliwościsceptyków.DziękiwysiłkomGorensteina( 

1 )iinnych,napoczątkulat90-tychrozpoczętorealizacjęprojektu,któregocelemjestuporządkowaniecałejteorii.Wramach 

projektuzapowiedzianoukazaniesiędwunastutomówzawierającychpełny 

dowódklasyfikacji,ołącznejobjętościszacowanejna3–4tysiącestron.Wlatach1994–2001ukazałysięczterypierwszeksiążkizapowiadanejserii[7]. 

Ogromwykonanejpracy,pięknetwierdzeniaipłodneidee,jakichpełno 

wpublikacjachpoświęconychklasyfikacjiSGP,wcześniejczypóźniejodciśnieswojepiętnonainnychdziałachmatematyki,główniealgebry,teorii 

( 1 )Gorensteinzmarłw1992roku.

38 C. Bagiński, M. Łuba 

liczbikombinatoryki.Naliścietych,którzyzostawiliswójśladwteoriiskończonychgrupprostychniemanazwiskmatematykówpolskich.Wartowięc 

tętematykępopularyzować,zwłaszczawśródludzirozpoczynającychswoją 

pracęnaukowąlubposzukującychnowychideiwobszarachdotykających 

teoriigrup. 

2.Trochęhistorii.Grupyprostespełniająanalogicznąrolędotej,jaką 

odgrywająliczbypierwszewteoriiliczb,albocząstkielementarnewfizyce. 

WyjaśniatotwierdzenieJordana–Höldera,jedenznajstarszychwyników 

uzyskanychwteoriigrupskończonych: 

Twierdzenie2.JeżeliGjestgrupąskończoną,toistniejewniejskończonyciągpodgrup 

1=G0

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 39 

zbioru.Wtamtymczasiegrupyskończonebyłyrozważaneprzedewszystkimwtakimcharakterze.TakąpostaćmająwszczególnościniełatwewkonstrukcjigrupyMathieu,odkrytewlatachsześćdziesiątychXIXwieku,które 

późniejokazałysiębyćpierwszymisporadycznymigrupamiprostymi.Mimo 

tychwynikówstanwiedzyzteoriigrupskończonychbyłbardzoskromny, 

aproblematykajeszczeprzezwielepóźniejszychlatniedocenianaidaleka 

odmodnychnurtów.DośćwspomniećoartykuleA.Cayleya( 2 )(patrz[9], 

str.362–363),wktórymwymieniatrzy( 3 )nieizomorficznegrupyrzędu6 

orazoartykule[5],wktórymtylkomarginalniewspomnianoodokonaniach 

wteoriigrupjednejznajznamienitszychpostacitejteorii,W.Burnside’a 

(patrztakże[2]).TematykągrupskończonychBurnsidezainteresowałsię 

napoczątkulatdziewięćdziesiątychXIXwieku.Jegopierwszapracaopublikowanaw1893rokuzawieraładowódtego,żejedynągrupąprostą,którejrządjestiloczynemczterech(niekoniecznieróżnych)liczbpierwszych, 

jestA5.Nawetdzisiajjesttoniełatwezadanie,jeśliuświadomićsobie,że 

jedynymmocniejszymrezultatem,zktóregoBurnsidekorzystał,byłytwierdzeniaSylowa.Wciągukilkudalszychlatpojawiłasięcałaseriaważnych 

dlaklasyfikacjiwynikówBurnside’a,odnoszącychsięgłówniedowpływu 

strukturypodgrupSylowaorazznaczeniarzędugrupydlajejprostoty.Odnotujmykilkaznich,obecnieuważanychzaelementarne. 

Twierdzenie3.(a)Jeśli2-podgrupaSylowagrupyGjestcykliczna,to 

Gniejestprosta. 

(b)Jeślip-podgrupaSylowaPgrupyGjestzawartawcentrumswojego 

normalizatora,toistniejenormalnapodgrupaHwGtaka,żeH∩P={1} 

iHP=G. 

(c)Jeśli Gjestgrupąprostą, którejrządjestiloczynempięciuliczb 

pierwszych,to|G|∈{2 3 ·3·7,2 2 ·3·5·11,2 2 ·3·7·13}. 

NadalszebadaniaBurnside’aznaczącywpływmiałoodkrycieteoriicharakterówdokonanew1896roku.Autortegoodkrycia,FerdynandGeorgFrobenius(1847–1917),zająłsieteoriągrupskończonychjużw1880rokupublikujączręcznydowódtwierdzeniaSylowa.ZainteresowaniaFrobeniusateoriągrupbyłymotywowanepewnymipytaniamizteoriiliczbpostawionymi 

wpracachDedekindaiKroneckera.Takąmotywacjęmiałytakżebadania, 

którewkońcudoprowadziłydoodkryciateoriicharakterówgrupskończonych,awkonsekwencji–teoriireprezentacji( 

4 ).SwoistywyścigBurnside’a 

( 2 )ArtykułukazałsięwpierwszymnumerzeAmericanJournalofMathematicsw1878 

roku. 

( 3 )Dowolnagruparzędu6jestcyklicznaalboizomorficznazgrupąizometriitrójkąta 

równobocznego. 

( 4 )Zaskakującymożewydaćsięfakt,iżpodstawyteoriicharakterówstworzoneprzez 

Frobeniusaniewykorzystywałypojęcialiniowejczymacierzowejreprezentacjigrupyio 

conajmniejrokwyprzedziłypojawieniesięteoriireprezentacji,cowięcej,dopierow1900 

rokuBurnside’awyprowadzaobecnieznanenaturalnezależnościtychteorii(patrz[4]).


iFrobeniusazprzełomuXIXiXXwiekuszybkoujawniłogromneznaczenie 

tychteoriidlabadaniagrupskończonych( 5 ),ajejtzw.wersjamodularna, 

rozwiniętaprzezBrauerakilkadziesiątlatpóźniej,doprowadziładozakończeniaklasyfikacjiSGP.Wśródwielutwierdzeńudowodnionychprzedokoło 

stulatyistniejątakie,którychdodziśnieudałosięudowodnićzpominięciem 

teoriicharakterów,awieleznichprzezdziesiątkilatopierałosięinnymtechnikom,jakchociażbytwierdzenieBurnside’aorozwiązalnościgrup,których 

rząddzielisięprzezconajwyżejdwieróżneliczbypierwsze. 

Podsumowaniedokonańpierwszegookresuklasyfikacjizamykadrugie 

wydanieksiążkiBurnside’a([3])z1911roku.Składająsięnaniewyniki 

m.in.O.Höldera,F.N.Cole’a,E.H.Moore’a,L.E.DicksonaioczywiścieBurnside’aorazFrobeniusa.Opróczwynikówocharakterzeogólniejszym,jakchociażbywyżejwymienionetwierdzeniaBurnside’a,czydowód 

prostotyklasycznychgrupliniowychnaddowolnymiciałamiskończonymi, 

podanywlatach1897–1905przezDicksona,sporouwagipoświęconoklasyfikacjigrupprostychmałychrzędów.Jednakżedo1911rokusklasyfikowano 

zaledwietegrupyproste,którychrządnieprzekraczał2000.Poszerzenie 

tegoprzedziałuszłodośćopornie.Do1924rokusklasyfikowanogrupyorzędzienieprzekraczającym6232(zpominięciemgrupprostychrzędów5626 

i6048–patrzniżejtwierdzenie5).Podalszych20latachprzedziałten 

poszerzonodo20000,stwierdzając,żenieistniejegrupaprostaorzędzie 

należącymdoprzedziałuod6232do20000.Badaniaotakimcharakterze 

kończywynikM.Hallaz1975rokuzawierającyklasyfikacjęgruporzędach 

niewiększychod1000000,zpominięciemkilkuprzypadkówuzupełnianych 

doroku1980. 

BadaniaprowadzoneprzezBurnside’a,adotyczącetego,jakieliczby 

mogąbyćrzędamigrupprostych,jużw1895rokudoprowadziłydosformułowaniahipotezygłoszącej,żenieistniejąnieabelowegrupyprostenieparzystegorzędu.SamBurnsidedostarczyłwieluargumentówpotwierdzających 

tęhipotezę.Pokazałmiędzyinnymi,że 

Twierdzenie4.(a)Nieistniejenieabelowagrupaprosta,którejrząd 

jestliczbąnieparzystąmniejsząod40000. 

(b)Jeśli|G|jestliczbąnieparzystąpodzielnąprzez3alenieprzez9,to 

Gzawierapodgrupęnormalnąoindeksie3. 

(c)JeśliGjestgrupąprostąnieparzystegorzęduipjestliczbąpierwszą 

dzielącą|G|,toalbop 4 ,albop 3 ip 2 +p+1sądzielnikami|G|. 

MetodyBurnside’a,opartegłównienapojęciutransferu,kombinatorycznychspostrzeżeniachiraczejelementarnychwłasnościachreprezentacji,szybkowyczerpałyswojąsiłę,alejegoideewyznaczyłykierunkibadań 

( 5 )Wewstępiedopierwszegowydaniaswojejksiążki[3]z1897rokuBurnsidewyrażapoważnewątpliwościcodoprzydatnościreprezentacjiliniowychwbadaniachgrup 

skończonych.


nawielelat,nietylkowteoriigrupskończonych.JednąznichbyłosięgnięciedometodgrupialgebrLiego,stworzonychgłównieprzezS.Liego,W.KillingaiE.Cartana.Burnsideczerpałznichprzedewszystkiminspiracjedlarozwijaniateoriireprezentacji.JegonaśladowcywistotnymstopniuwykorzystalijedoklasyfikacjiSGP.Jakwspomnieliśmywyżej,jużnapoczątkuwiekuL.E.Dicksondowiódłprostotyklasycznychgrupliniowych. 

Ponadto,wykorzystującklasyfikacjęgrupprostychLiego,podałdwiedalsze 

serieskończonychgrupprostych,będąceanalogonamidwóchtzw.wyjątkowychprostychgrupLiego. 

Dotychideipowróconowlatachpięćdziesiątych.W1955rokuukazała 

sięważnapracaChevalleya,wktórejprzedstawiłgłębokąanalizępółprostychalgebrLiegonadciałem 

Cliczbzespolonych,dziękiczemuznalazł 

ogólneanalogiemiędzygrupamiprostymiLiegoiSGP,ipodałkilkanowych,nieznanychdotąd,nieskończonychseriigrupprostych.KlasyfikacjaprostychgrupLiegojestznanaodlatdziewięćdziesiątychXIXwieku.Istniejączterynieskończonerodzinytakichgrup:An(C),Bn(C),Cn(C)iDn(C)odpowiadającekolejnospecjalnymgrupomliniowymSLn(C),grupomortogonalnymnieparzystegostopniaO2n+1(C),symplektycznymSp2n(C)iortogonalnymstopniaparzystegoO2n(C).Ponadtoistniejepięćwyjątkowych 

grupprostychLiegooznaczonychsymbolamiG2(C),F4(C),E6(C),E7(C) 

iE8(C).Chevalleydowiódłistnieniacałkowito-liczbowejbazywprostejalgebrzeLiego,copozwoliłomuzastąpićciało 

Cdowolnymciałemskończonym 

iwkonsekwencjiuzyskałSGPbędąceodpowiednikamiwszystkichwymienionychwyżejgrupLiego.CzterypierwszeserieorazG2(q)iE6(q)byłyjużznaneodczasówDicksona.Chevalleydałichpełnąjednolitąprezentację.WszystkiedziewięćseriiznanychjestpodnazwągrupChevalleyalub 

nieskręconychskończonychgrupprostychtypuLiego. 

W1959rokuR.SteinbergprzeprowadziłdalsząanalizęmetodyChevalleya.DlaniektórychgrupprostychLiegoistniejąichanalogonynadciałem 

Rliczbrzeczywistych.Steinbergdostrzegłodpowiednikitychanalogiidla 

grupChevalleyaiskonstruowałdalszeserieSGP–analogonygrupChevalleya: 

2 Dn(q)–drugarodzinagruportogonalnychparzystegostopnia, 2 E6(q) 

i 3 D4(q).WtenschematSteinbergawpisująsięodkryteprzezDicksona 

grupyunitarne,oznaczaneodtegoczasusymbolem 2 An(q). 

W1961rokuR.Reezauważyłdalszeanalogiekonstruującserie 2 G2(3 n ) 

i 2 Fn(2 n ).Zwróciłrównieżuwagę,żeskonstruowanew1957rokugrupy 

Suzuki(patrzponiżej)sątakżewariacjamigrupChevalleyaBn(q),stądich 

obecneoznaczenie 2 B2(2 n ).WszystkiesiedemseriiodkrytychprzezSuzuki, 

SteinbergaiReenosząnazwęskręconychgrupprostychtypuLiego. 

W1968rokuSteinbergdałjednolitącharakteryzacjęwszystkichszesnastuseriigruptypuLiego.Zauważyłmianowicie,żekażdaznichmożebyć 

przedstawionajakogrupapunktówstałychodpowiedniegoautomorfizmu 

grupyalgebraicznejnadalgebraicznymdomknięciemciałaskończonego.


PołowalatpięćdziesiątychbyłaprzełomowądlaklasyfikacjiSGPjeszcze 

zjednegopowodu,niemniejistotnego,niżpraceChevalleya.Podłożemdla 

nowychideistałysięwynikiR.Braueradotyczącemodularnychreprezentacjigrupskończonych,tzn.reprezentacjiliniowychnadciałami,którychcharakterystykadzielirządgrupy.PierwszepraceBrauerapoświęconereprezentacjommodularnympowstaływlatach1937–1940.ZapowiedziąskutecznościideiBrauerabyływynikiopublikowanenapoczątkulatczterdziestych,dotyczącem.in.charakteryzacjiskończonychgrupprostych,których 

rząddzielisięprzezpewnąliczbępierwsząpiniedzielisięprzezp 2 orazgrup 

prostych,którychrząddzielisięprzezdokładnietrzyróżneliczbypierwsze. 

WymienimyniektórezelementarniebrzmiącychrezultatówBraueraztamtegookresu: 

Twierdzenie5.NiechGbędziegrupąprostą. 

(a)Jeżeli|G|=5616,toG ∼ =PSL3(3). 

(b)Jeżeli|G|=6048,toG ∼ =PSU3(3). 

Twierdzenie6.JeśliGjestgrupąprostąi|G|=pqr m ,gdziep,qir 

sąliczbamipierwszymi,to|G|=60lub|G|=168. 

Twierdzenie7.Niech Gbędziegrupąprostąi |G|=pq m t,gdzie p 

iqsąliczbamipierwszymi,natomiast mitliczbaminaturalnymi,przy 

tym t3lub 

G ∼ =PSL2(2 n ),ip=2 n +1,p>3. 

CałaseriaznaczącychpracBrauera,zarównoocharakterzeogólnym,jak 

iodnoszącychsiębezpośredniodoklasyfikacjiSGP,znalazłapodsumowanienaMiędzynarodowymKongresieMatematykóww1954rokuwAmsterdamie,gdziewwygłoszonymwtedywykładzieBrauerwyznaczyłkierunkiposzukiwań,któremogłybyprzybliżyćklasyfikację.Donajważniejszychfaktów,naktórychoparłswojesugestie,należąnastępującetwierdzenia,pierwszeznichudowodnioneprzezniegowspólniezjegouczniemK.A.Fowlerem. 

Twierdzenie8.Istniejetylkoskończonaliczbaskończonychgrupprostych,którezawierająinwolucjęocentralizatorzeizomorficznymzwcześniej 

ustalonągrupą. 

Twierdzenie9.NiechGbędzieskończonągrupąprostązawierającąinwolucję,którejcentralizatorjestizomorficznyzGL2(q),gdzieqjestpotęgą 

nieparzystejliczbypierwszej.WówczasG ∼ =PSL3(q),lubq=3iGjest 

izomorficznazgrupąprostąMathieurzedu7912. 

IdeaBrauera,którazczasemprzekształciłasięwtzw.lokalnąanalizę, 

znalazławieluzwolennikówiostateczniedoprowadziładozakończeniaklasyfikacji.W1957rokuM.Suzuki,prowadzącanalizęgrupprostych,wktórych


centralizatordowolnejinwolucjijest2-grupą,skonstruowałnieskończonąserięSGP.Udowodniłtakże,żegrupaprosta,wktórejcentralizatordowolnegoelementu=1jestabelowy,musimiećparzystyrząd.Trzylatapóźniej 

W.Feit,M.HallJr.iJ.Thompsonpokazali,żewtwierdzeniuSuzukimożna 

zastąpićsłowoprzemiennysłowemnilpotentny,adalszewysiłkiW.Feita 

iJ.Thompsonadoprowadziłydoudowodnieniaw1962rokuhipotezyBurnside’aorozwiązalnościgrupynieparzystegorzędu.Dowódodługości257stron,opublikowanyw1963roku,zająłcałynumerczasopismaPacificJournalofMathematics.Latasześćdziesiąteipocząteklatsiedemdziesiątych 

przyniosłycałąseriębardzoważnychibardzodługichpracpoświęconych 

klasyfikacji.DlaprzykładuJ.Thompsonwseriisześciupracopublikowanychwlatach1968–74,ołącznejobjętości416stron,sklasyfikowałm.in. 

SGP,którychkażdawłaściwapodgrupajestrozwiązalna( 6 ). 

Twierdzenie10.JeślikażdawłaściwapodgrupaskończonejgrupyprostejGjestrozwiązalna,toGjestizomorficznazjednąznastępującychgrup: 

(a)PSL2(p),gdziepjestliczbąpierwszą,p>3ip 2 −1niedzielisię 

przez5; 

(b)PSL2(2 p ),gdziepjestliczbąpierwszą; 

(c)PSL2(3 p ),gdziepjestnieparzystąliczbąpierwszą; 

(d)PSL3(3); 

(e)Sz(2 p ),gdziepjestnieparzystąliczbąpierwszą. 

Ztejklasyfikacjiwynikawszczególności,że 

Twierdzenie11.JeślirządskończonejgrupyprostejGdzielisięprzez 

dokładnie3różneliczbypierwszep,q,r,p


Takaanalizapozwoliłatakżenauzupełnienielistyskończonychgrupprostychlistątzw.sporadycznychgrupprostych,tzn.takichgrup,którenie 

występująwżadnejznieskończonychseriiSGP. 

W1895Cole,wczasiepracnadopisemtranzytywnychgruppermutacji,odkryłnieznanąwcześniejgrupęprostą.Okazałosięjednak,żebyłato 

jednazpięciutranzytywnychgruppermutacjiodkrytychw1861rokuprzez 

E.Mathieu.Pozostałeczterygrupyrównieżokazałysięgrupamiprostymi. 

Ustaliłtonaprzełomielat1899–1900Miller.NajmniejszazgrupMathieu 

M11marząd7920,natomiastrządnajwiększejM24przekracza240milionów.GrupyMathieuokazałysiępierwszymi,którychniedałosięzaliczyćdo 

żadnejnieskończonejrodzinygrupprostych.Następnągrupęsporadyczną 

znalazłdopierow1966rokuZvonimirJankoanalizująclokalnąstrukturę 

grupprostych,którychkażda2-podgrupaSylowajestabelowa,apewnainwolucjamacentralizatorizomorficznyzZ2×PSL2(q).Wciągunastępnych 

dziesięciulatlistętąuzupełnionookolejnychdwadzieściagrup.Ostatnią 

zgrupsporadycznych,jakieznaleziono,okazałasięgrupaomonstrualnym 

rzędzierównym2 46 ·3 20 ·5 9 ·7 6 ·11 2 ·13 3 ·17·19·23·29·31·41·47·59·71.Ztego 

powodunazwanojągrupąMonstrum(Monstergroup).Jejkonstrukcjaoraz 

dowódjednoznacznościzakończyłklasyfikacjęSGP. 

Kwestiajednoznacznościgrupustalonegorzędustanowiłaistotnyfragmentklasyfikacji.JużDicksonpokazał,żeistniejenieskończeniewielepar 

nieizomorficznychgrupprostychorównychrzędach.Najmniejsząztakich 

parjest(PSL3(4),A8)rzędu20160,awspólnyrządgrupnastępnejpary 

jestrówny4585351680.Poniższetwierdzeniepodajenieskończonąlistętakichpar. 

Twierdzenie13.Dladowolnejliczbynaturalnejnmamy|PSp2n(q)|= 

|PΩ2m+1(q)|.Ponadto,jeślim3,toPSp2n(q) ∼ =PΩ2m+1(q)( 7 ). 

Listaparnieizomorficznychgrupprostychtegosamegorzędu,podana 

przezDicksona,okazałasiękompletna,wrazzzakończeniemklasyfikacji. 

WtrakciepracnadklasyfikacjąSGPpostawionowieleinnychuzupełniającychpytań,naktóreodpowiedźznalezionowrazzjejzakończeniem. 

Otoodpowiedzinaniektóreznich. 

Twierdzenie14.Grupaautomorfizmówzewnętrznychskończonejgrupyprostejjestrozwiązalna. 

Twierdzenie15.JeśliskończonagrupaGmaautomorfizmbezpunktów 

stałych=1,toGjestrozwiązalna. 

Twierdzenie16.Każdaskończonagrupaprostama2-elementowyzbiór 

generatorów. 

( 7 )Znaczeniesymbolijestpodanewnastępnymrozdziale.


Twierdzenie17.JeśliGjest4-tranzytywnąprostągrupąpermutacji, 

toGjestizomorficznazAn,n5,lubzjednązgrupprostychMathieu 

różnychodM22. 

Wielenowychwynikówuzyskiwanychwteoriigrupskończonychodwołujesiędotwierdzeniaklasyfikacyjnego,jakchoćbyrozwiązanieOsłabionego 

ProblemuBurnside’a([2]),zaktóreE.ZelmanovotrzymałMedalFieldsa 

w1994roku.Jednakżeistniejecałkiemsporagrupaspecjalistów,którzy 

zrezerwąodnosząsiędoklasyfikacjisugerując,żejeślinawetTwierdzenie1 

zawierapełnąlistęSGP,toistniejąlukiwdowodzie.Trudnotychwątpliwościniepodzielać,skoroodzapowiedziprzedstawieniazwartejprezentacjidowoduupłynęłojużdwadzieścialat,azzapowiadanejseriimonografiiukazała 

sięzaledwiejednatrzecia.WięcejnatemathistoriiklasyfikacjiSGP,wnieco 

bardziejspecjalistycznymjęzyku,możnaznaleźćwartykule[11],któryukazałsięjużpowysłaniuniniejszegoopracowaniadoRedakcjiWiadomości 

Matematycznych.NapoczątkuartykułuR.Solomonzapowiadaukazaniesię 

pracyM.AschbacheraiS.D.Smithawyjaśniającejostatniemerytoryczne 

wątpliwości.SolomonuznajejązaostatecznezakończenieklasyfikacjiSGP. 

3.Skończonegrupyproste.Wmiaręprzejrzystaprezentacjaskończonychgrupprostychwkrótkimartykuleprzeglądowymadresowanymdo 

szerszegoodbiorcyniejestłatwa,jeżeliwogólemożliwa.Nieudałosięnam 

znaleźćzadowalającegosposobunatakąprezentację,dlategoograniczymy 

siędopobieżnegoprzedstawieniatylkoniektórychaspektównapodstawie 

[6]i[7]. 

3.1.Nieskończoneseriegrupprostych.Tabela1zawierapełnąlistęnieskończonychseriiSGPwrazzrzędamiposzczególnychgrup.Dwiepierwszeserieniewymagająprzedstawiania,ponieważwkursowychwykładachalgebrynaogółpodawanyjestopisichpodstawowychwłasności.Następne 

szesnaścieseriitogrupytypuLiego.Parametramidecydującymiorzędzie 

grupysąstopieńnorazmocqskończonegociała Fq.Dlagrupoznaczonych 

symbolamiFiGparametrnprzyjmujetylkojednąwartość(odpowiednio 

4i2),adlagrupoznaczonychsymbolemE–trzywartości:6,7lub8. 

WszystkiegrupytypuLiegomożnaskonstruowaćjakogrupyilorazoweodpowiedniejpodgrupygrupymacierzystopniannadciałemFq.GrupywymienionewpierwszychdziewięciuseriachnazywająsięgrupamiChevalleya 

lubnieskręconymigrupamiprostymitypuLiego.Jednolityopistychgrup 

jakoanalogonówprostychgrupLiegonadciałem Cjestpodanyw[12]. 

GrupaSLn(q)jestzbioremwszystkichmacierzystopniannadciałem 

q-elementowym,którychwyznacznikjestrówny1.Maonanaogółnietrywialnecentrum,złożonezmacierzyskalarnychowyznaczniku1.Grupa 

An−1(q)=PSLn(q)jestgrupąilorazowągrupySLn(q)przezjejcentrum.


Tabela1.Nieskończoneserieskończonychgrupprostych 

Oznaczenie Inneużywane Rząd 

grupy oznaczenia 

Zp 

An,n5 Altn 

An−1(q),n2 PSLn(q),Ln(q), 

L + n(q) 

Bn(q),n2 PΩ2n+1(q),Ω2n+1(q) 

Cn(q),n2 PSp2n(q) 

Dn(q),n3 PΩ + 2n (q),D+ n(q) 

E6(q) E + 6 

E7(q) 

p 

1 

2n! 1 n−1 (n,q−1)(q−1) i=0 (qn−q i ) 

1 

(2,q−1) qn2 n i=1 (q 2i −1) 

1 

(2,q−1) qn2 n i=1 (q 2i −1) 

1 

(4,qn−1) qn(n−1) (q n −1) n−1 i=1 (q2i−1) 1 

(3,q−1) q36 (q 2 −1)(q 5 −1)(q 6 −1)(q 8 −1) 

·(q 9 −1)(q 12 −1) 

1 

(2,q−1) q63 (q 2 −1)(q 6 −1) 

·(q 8 −1)(q 10 −1)(q 12 −1) 

·(q 14 −1)(q 18 −1) 

E8(q) q 120 (q 2 −1)(q 8 −1)(q 12 −1) 

·(q 14 −1)·(q 18 −1) 

·(q 20 −1)(q 24 −1)(q 30 −1) 

F4(q) q 24 (q 2 −1)(q 6 −1)(q 8 −1)(q 12 −1) 

G2(q) q 6 (q 2 −1)(q 6 −1) 

2 An(q),n2 PSUn+1(q),Un+1(q), 

2 B2(q),q=2 2n+1 

L − n+1 (q) 

2 Dn(q),n2 PΩ − 2n (q),D − n(q) 

1 

(n+1,q+1) qn(n+1) 2 n+1 i=2 (qi−(−1) i ) 

Sz(q), 2 B2( √ q) q 2 (q−1)(q 2 +1) 

1 

(4,q n +1) qn(n−1) (q n +1) 

· n−1 

i=1 (q2i −1) 

3 D4(q) q 12 (q 2 −1)(q 6 −1)(q 8 +q 4 +1) 

2 G2(q),q=3 2n+1 

R(q), 2 G2( √ q) q 3 (q−1)(q 3 +1) 

2 F4(q),q=2 2n+1 2 F4( √ q) q 12 (q−1)(q 3 +1)(q 4 −1)(q 6 +1) 

2 E6(q) E − 6 (q) 

1 

(3,q+1) q36 (q 2 −1)(q 5 +1)(q 6 −1)(q 8 −1) 

·(q 9 +1)(q 12 −1) 

GrupęortogonalnąmożnazdefiniowaćjakopodgrupęogólnejgrupyliniowejGLn(q),złożonąztychmacierzy,któredziałającnan-wymiarowejprzestrzeniliniowejnadFqniezmieniająwartościustalonejniezdegenerowanejformykwadratowej.Wszystkieformykwadratowenadciałemliczb


zespolonychsąrównoważneidlategodladowolnejliczbynaturalnejngrupa 

SOn(C)macierzyortogonalnychowyznaczniku1jestokreślonajednoznacznie.NadciałamiskończonymiFqistniejązawszedwienierównoważneformykwadratowe,wyznaczającedwiegrupymacierzyortogonalnychowyznaczniku1oznaczanesymbolamiSO 

+ n(q)iSO − n(q).Dlaparzystychwartościn 

tegrupysąnieizomorficzne,dlanieparzystychwartościn–pokrywająsię 

isąoznaczanesymbolemSO + n (q)(lubSOn(q)).Grupytenaogółniesą 

proste.IchkomutantyoznaczamysymbolamiΩ + (q)iΩ − (q),przyczym 

|SO ± n (q):Ω± (q)|=1,2lub4.CentrumgrupyΩ ± (q)jesttrywialnelub 

dwuelementowe.Jejgrupailorazowaprzezcentrumjestoznaczanasymbolami,odpowiednio,PΩ 

+ (q)iPΩ − (q),ijestgrupąprostą.Otrzymujemy 

zatemtrzyróżneserie: 

Bn(q)=PΩ2n+1(q), Dn(q)=PΩ + 2n (q), 

2 Dn(q)=PΩ − 2n (q). 

PierwszedwieserienależądonieskręconychgruptypuLiego,aostatnia– 

doskręconychgruptypuLiego,doktórychnawiążemyniecodalej. 

GrupyCn(q)=PSpn(q)definiowanesąanalogicznie.Wogólnejgrupie 

liniowejrozważamypodgrupęSpn(q)wszystkichmacierzysymplektycznych, 

tzn.takich,któredziałającnaprzestrzenisymplektycznej,tzn.przestrzeni 

liniowejwrazzokreślonąnaniejniezdegenerowanądwuliniowąformąalternującą,niezmieniająwartościtejformy.GrupailorazowagrupySpn(q) 

przezjejcentrumjestgrupąCn(q). 

PozostałepięćseriigrupChevalleya,toanalogonywyjątkowychgrup 

prostychLiegonad C. 

Dladowolnegociałaskończonego F q 2,mającegoq 2 elementów,odwzorowanieϕ:x→x 

q jestautomorfizmemrzędu2.WgrupieGLn(q 2 )rozważmy 

podgrupęGUn(q)elementówstałychzewzględunadziałanieautomorfizmuαtejgrupyzdefiniowanegowzorem 

(1) α(X)=((X) t ) −1 , 

gdzieXjestmacierzą,którejwyrazysąobrazamiodpowiednichwyrazów 

macierzyXzewzględunadziałanieautomorfizmuϕ,natomiastY →Y t 

jestoperacjątransponowaniamacierzy.Nazywamyjągrupąunitarną.Niech 

SUn(q)=GUn(q)∩GLn(q 2 )i 2 An(q)=PSUn(q)będziejejgrupąilorazową 

przezjejcentrum.JesttogrupaprostanależącadoskręconychgrupprostychtypuLiego.Analogicznepostępowaniepozwalaotrzymaćwspomniany 

wcześniejskręconywariant 2 Dn(q)grupyortogonalnejzgrupyD2n(q)oraz 

grupę 2 E6(q)zgrupyE6(q).Tąsamądrogąotrzymujemyrównieżgrupę 

3 D4(q)zgrupyD4(q)zastępującautomorfizmϕautomorfizmemrzędu3 

ciałaF q 3danegowzoremx→x 3 . 

SkręconewariantygrupBn(q),F4(q)iG2(q)istniejątylkodlaszczególnychwartościniq.Odpowiedniautomorfizmzadanywzorem(1)można 

znaleźćtylkowprzypadkachn=2,q=2 2k+1 dlagrupyBn(q),q=2 2k+1


dlagrupyF4(q)iq=3 2k+1 dlagrupyG2(q).Wpierwszymprzypadku 

otrzymujemygrupySuzukiSz(2 2k+1 )= 2 B2( √ 2 2k+1 ),awdwóchpozostałych–grupyRee 

2 F4(2 2n+1 )iR(3 2k+1 )= 2 G2( √ 3 2k+1 ).Odnotujmy,że 

grupęSuzukiSz(2 2k+1 )możnazdefiniowaćjakopodgrupęgrupyB2(2 2k+1 ) 

generowanąprzezwszystkiemacierzepostaci 

⎡ 

1 

⎤ 

0 0 0 

⎢ 

⎣ 

a 1 0 0⎥ 

⎦ 

a 1+θ +b a θ 1 0 

a 2+θ +ab+b θ b a 1 

orazmacierzedonichtransponowane,gdziea,b,c∈F 2 2k+1,natomiastθjest 

automorfizmemciała F 2 2k+1takim,żeθ 2 =2(tzn.x θ2 

=x 2 dlax∈F 2 2k+1). 

3.2.Sporadycznegrupyproste.Prezentacjadwudziestusześciusporadycznychgrupprostychjestniemniejtrudna,niżgruptypuLiego.Dlatego 

takżeograniczymysiędoichpobieżnegoscharakteryzowania.Chętnychdo 

zapoznaniasięzjednolitymopisemwszystkichsporadycznychSGPodsyłamydo[1].Wszystkiesporadycznegrupyproste,opróczgrupMathieu,byłyodkrywanewkilkuetapach.Najpierw,napodstawiepewnejkonkretnejwłasnościjużznanychgrupprostych,próbowanorozstrzygnąćproblemopisuwszystkichgrupprostychmającychtęwłasność.Toprowadziłoczasamidoobserwacjisugerującychistnienie,opróczznanychgrup,jeszczeinnychgrupprostych.Konkretyzacjatychobserwacjidoprowadzaładoopisukluczowychwewnętrznychwłasnościewentualnejnowejgrupyprostej,wtymwłasnościp-podgrupSylowa,rzędugrupy,czasamijejtablicycharakterówitd.Tewłasnościzkoleistanowiłypodstawędokonstrukcjigrupy,tzn.jejrealizacjijakogrupyautomorfizmówpewnejstruktury,podgrupyogólnejgrupy 

liniowej,czyteżpodgrupygrupypermutacji.Ostatnimaktemodkryciabył 

dowódtego,żewłasnościopisanejeszczeprzedkonstrukcjąjednoznacznie 

określająnowągrupęprostą. 

Wlatach1860–61E.Mathieuodkryłpięćk-tranzytywnychgruppermutacji,k 

>2,nieizomorficznychanizgrupamisymetrycznymiSnani 

alternującymiAn.Przypomnijmy,żepodgrupaGgrupyS(X)wszystkich 

permutacjizbioruXjestk-tranzytywna,jeślidladowolnychróżnowartościowychciągów(x1,x2,...,xk)i(y1,y2,...,yk)elementówzbioruXistnieje 

elementg∈G,któryprzeprowadzaelementxinaelementyi,i=1,...,k. 

OczywiściegrupasymetrycznaSnjestk-tranzytywnadladowolnegokn. 

Możnatakżełatwodowieść,żedladowolnegokn−2,k-tranzytywnajest 

takżegrupaalternującaAn. 

NaprzełomieXIXiXXwiekuokazałosię,żegrupytesąprosteinie 

należądożadnejzeznanychwtedy,nieskończonychseriiskończonychgrup


Tabela2.Sporadycznegrupyproste 

Oznaczenie Nazwa Rząd Data 

odkrycia 

M11 Mathieu 2 4 ·3 2 ·5·11 1861 

M12 Mathieu 2 6 ·3 3 ·5·11 1861 

M22 Mathieu 2 7 ·3 2 ·5·7·11 1861 

M23 Mathieu 2 7 ·3 2 ·5·7·11·23 1861 

M24 Mathieu 2 10 ·3 3 ·5·7·11·23 1861 

J1 Janko 2 3 ·3·5·7·11·19 1966 

J2 Janko 2 7 ·3 3 ·5 2 ·7 1967 

J3 Janko 2 7 ·3 5 ·5·17·19 1969 

J4 Janko 2 21 ·3 3 ·5·7·11 3 ·23·29·31·37·41 1975 

HS Higman–Sims 2 9 ·3 2 ·5 3 ·7·11 1968 

Mc McLaughlin 2 7 ·3 6 ·5 3 ·7·11 1969 

Suz Suzuki 2 13 ·3 7 ·5 2 ·7·11·13 1969 

Ly Lyons 2 8 ·3 7 ·5 6 ·7·11·31·37·67 1971 

He Held 2 10 ·3 3 ·5 2 ·7 3 ·17 1969 

Ru Rudvalis 2 14 ·3 3 ·5 3 ·7·13·29 1972 

ON O’Nann 2 9 ·3 4 ·5·7 3 ·11·19·31 1973 

Co3 Conway 2 10 ·3 7 ·5 3 ·7·11·23 1969 

Co2 Conway 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 1969 

Co1 Conway 2 21 ·3 9 ·5 4 ·7 2 ·11·13·23 1969 

M(22) Fischer 2 17 ·3 9 ·5 2 ·7·11·13 1969 

M(23) Fischer 2 18 ·3 13 ·5 2 ·7·11·13·17·23 1969 

M(24) ′ 

Fischer 2 21 ·3 16 ·5 2 ·7 3 ·11·13·17·23·29 1969 

F3 Thompson 2 15 ·3 10 ·5 3 ·7 2 ·13·19·31 1974 

F5 Harada 2 14 ·3 6 ·5 6 ·7·11·19 1974 

F2 BabyMonster 2 41 ·3 13 ·5 6 ·7 2 ·11·13·17·19·23·31·47 1974 

F1 Monster 2 46 ·3 20 ·5 9 ·7 6 ·11 2 ·13 3 ·17·19·23·29 1974 

·31·41·47·59·71 

prostych.OznaczonojesymbolamiM11,M12,M22,M23iM24,gdziewskaźnikoznaczanajmniejszyzestopnigrupysymetrycznej,wktórejdanagrupa 

jestzawarta.


GrupyM11iM23sągrupami4-tranzytywnymi,natomiastgrupyM12 

iM24sągrupami5-tranzytywnymi.GrupyMathieusąjedynymiznanymi 

grupami4-i5-tranzytywnymi.Niewiadomo,czydlak>5istniejągrupy 

k-tranzytywnenieizomorficzneanizgrupamisymetrycznymianizalternującymi. 

GrupyMathieumożnaopisaćnawielesposobów.W[6]i[10]podane 

sąpermutacjeodpowiednichgrupsymetrycznychgenerująceposzczególne 

grupyMathieu.Np. 

Twierdzenie18.M23=〈d,e〉iM24=〈d,e,f〉,gdzied,e,foznaczają 

następującepermutacje: 

d=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23), 

e=(3,17,10,7,9)(5,4,13,14,19)(11,12,23,8,18)(21,16,15,20,22), 

f=(1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17) 

(13,22)(19,15). 

InnyopistychgrupwykorzystujepojęciesystemutrójekSteinera.SystememSteineraS(k,m,n)nazbiorzen-elementowymΩnazywamytaką 

rodzinęm-elementowychpodzbiorówzbioruΩ,złożonąz n m 

k k podzbiorówtakich,żekażdyk-elementowypodzbiórzbioruΩzawierasięwdokładniejednymzpodzbiorówtejrodziny. 

Twierdzenie19.IstniejąjednoznacznieokreślonesystemytrójekSteinera 

takie,że 

S(5,6,12), S(5,8,24), S(4,5,11), S(4,7,23), S(3,6,22) 

Aut(S(5,6,12))=M12, Aut(S(5,8,24))=M24, 

Aut(S(4,5,11))=M11, Aut(S(4,7,23))=M23, 

Aut(S(3,6,22))=Aut(M22). 

Odnotujmy,żeM22mawgrupieAut(M22)indeks2. 

W1965rokuZ.Janko,analizującrodzinęgrupprostychodkrytychprzez 

Ree,odkryłpierwsząpogrupachMathieusporadycznągrupęprostą.Każda 

grupatypuReemacentralizator pewnejinwolucjiizomorficznyzZ2× 

PSL2(3 n ),ajej2-podgrupaSylowajestizomorficznazelementarnągrupą 

abelowąrzędu8.Jankozbadałwszystkiegrupyproste,którezawierającentralizatorinwolucjiizomorficznyzZ2×PSL2(p 

n ),aich2-podgrupySylowa 

sąizomorficznezZ2×Z2×Z2.Wrezultacieustalił,żealbop=3igrupajest 

typuRee,albop n =5,grupamarząd175560imajednoznacznieokreśloną 

tablicęcharakterów.Wynikiemjegorozważańjestnastępującetwierdzenie:


Twierdzenie20.JeżeliGjestgrupąprostązabelowymi2-podgrupami 

Sylowarzędu8icentralizatorpewnejiwolucjiwGjestizomorficznyzZ2× 

L2(5),to 

(a)Gjestjednoznacznieokreślonągrupąprostąrzędu175560. 

(b)GjestizomorficznazpodgrupągrupyGL7(11)generowanąprzezmacierzeY 

iZrzędu7i5: 

⎛ ⎞ 

0 1 0 0 0 0 0 

⎜0 

0 1 0 0 0 0⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜0 

0 0 1 0 0 0⎟ 

⎜ ⎟ 

Y= ⎜0 

0 0 0 1 0 0⎟, 

⎜ ⎟ 

⎜0 

0 0 0 0 1 0⎟ 

⎝ ⎠ 

0 0 0 0 0 0 1 

1 0 0 0 0 0 0 

⎛ ⎞ 

−3 2 −1 −1 −3 −1 −3 

⎜−2 

1 1 3 1 3 3⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜−1 

−1 −3 −1 −3 −3 2⎟ 

⎜ ⎟ 

Z= ⎜−1 

−3 −1 −3 −3 2 −1⎟. 

⎜ ⎟ 

⎜−3 

−1 −3 −3 2 −1 −1⎟ 

⎝ ⎠ 

1 3 3 −2 1 1 3 

3 3 −2 1 1 3 1 

Dladowoduistnieniaopisanejgrupynależałojeszczepokazać,żegrupa 

〈Y,Z〉mawłasnościopisanewpunkcie(a)powyższegotwierdzenia.Niebyło 

tołatwezadanie.DowiódłichM.A.Wardjeszczew1966roku. 

DziękiideiwykorzystanejprzezZ.Janko,polegającejnaopisiewłasności 

grupprostych,wktórychcentralizatorpewnejinwolucjimazgóryzadaną 

postać,odkrytojeszcze10dalszychsporadycznychgrupprostych:pozostałegrupyJankoJ2,J3iJ4,grupyHeldaHe,LyonsaLy,O’NannaON, 

ThompsonaF3,HaradyF5,FisheraF2(BabyMonster)iGriessa–FisheraF1 

(Monster).Opiswłasnościnowejgrupyprostej,utożsamianywliteraturze 

zjejodkryciem,wyprzedzałjejkonstrukcjęidowódjednoznacznościnawet 

okilkalat.DlaprzykładuopisgrupyJ4zostałpodanyw1975roku,adowód 

jednoznacznościw1980.PodobniebyłozgrupąMonster,którawśródwszystkichsporadycznychgrupprostychcharakteryzujesięnajwiększymrzędem 

izawieraizomorficznekopiedziewiętnastupozostałychgrupsporadycznych 

wcharakterzepodgruplubgrupilorazowychjejpodgrup.Sąto:pięćgrup 

Mathieu,trzygrupyConway’a,Suz,J2,HS,Mc,He,F2,F3,F5oraz 

trzygrupyFischera.PierwsześladyistnieniagrupyMonsterzostałyodkryte 

niezależnieprzezAmerykaninaR.L.GriessaiNiemcaB.A.Fischeraw1974 

roku.Zarazpotemdowiedziono,żekażdanietrywialnareprezentacjaliniowa 

tejgrupymastopieńniemniejszyniż196883,przyczymjestbardzoprawdopodobne,żereprezentacjaotakimstopniuistnieje.W1980rokuGriess 

skonstruowałgrupęMonsterjakogrupęautomorfizmówpewnejprzemiennej


algebryotymwymiarze.Jakwspomnieliśmywpoprzednimrozdziale,dowód 

jednoznacznościgrupyMonsterzakończyłklasyfikacjęSGP. 

GrupyJ2iHJskonstruowaliM.HalliD.Walesjakoprymitywnegrupy 

permutacjirangi3(tzn.grupypermutacjipewnegoskończonegozbioruΩ, 

którejstabilizatordowolnegopunktunależącegodoΩjestpodgrupąmaksymalnądziałającątranzytywnienatrzechrozłącznychpodzbiorach,naktórerozpadasięΩ).Intensywnebadania,wywołaneprzeztekonstrukcje,doprowadziłydoodkryciagrupHigmana–SimsaHS,SuzukiSuz,McLaughlinaMciRudvalisaRu. 

GrupyFischeraM(22),M(23)iM(24) ′ zostałyodkrytewramachcharakteryzacjigrupskończonychgenerowanychprzezklasęsprzężonościinwolucjitaką,żeiloczyndwóchdowolnychelementówtejklasymarząd1,2 

lub3.Wartododać,żegrupaFischeraF2,zwanaBabyMonster,możebyć 

otrzymanawramachpodobnejcharakteryzacjiniecoszerszejklasygrup, 

amianowiciegrupgenerowanychprzezklasęsprzężonościinwolucji,dlaktórejiloczyndwóchdowolnychelementówmarząd1,2,3lub4. 

Odnotujmynakoniec,żeJ.Conwayodkryłswojetrzysporadycznegrupy 

prosteanalizującgrupęautomorfizmówtzw.kratyLeechaowymiarze24. 

Bibliografia 

[1]M. Aschbacher, SporadicGroups,CambridgeUniv.Press,Cambridge,1994. 

[2]C. Bagiński, OproblemachBurnside’a,Wiadom.Mat.33(1997),53–74. 

[3]W. Burnside, TheoryofGroupsofFiniteOrder,CambridgeUniv.Press,Cambridge,1911. 

[4]C.W. Curtis, PioniersofRepresentationTheory:Frobenius,Burnside,Schur, 

andBrauer,Amer.Math.Soc.,LondonMath.Soc.,1999. 

[5]A.R. Forsyth, WilliamBurnside,J.LondonMath.Soc.3(1928),64–80. 

[6]D. Gorenstein, FiniteSimpleGroups.AnIntroductiontoTheirClassification, 

PlenumPress,NewYork,London,1982. 

[7]D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, TheClassificationoftheFinite 

SimpleGroupsI,II,III,Amer.Math.Soc.SurveysandMonographs40,Providence, 

RhodeIsland(1994–2001). 

[8]B. Huppert, EndlicheGruppenI,Springer,Berlin,Heidelberg,NewYork,1967. 

[9]T.Y. Lam, Representationsoffinitegroups:ahundredyears,PartI,II,Notices 

Amer.Math.Soc.45(1998),no.3-4,361–372. 

[10]J. Mozrzymas, Zastosowaniateoriigrupwfizyce,PWN,Wrocław,1976. 

[11]R.Solomon, Abriefhistoryoftheclassificationofthefinitesimplegroups,Bull. 

Amer.Math.Soc.38(2001),no.3,315–352. 

[12]R. Steinberg, LecturesonChevalleyGroups,YaleUniv.,1967.

O klasyfikacji skończonych grup prostych

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?