1. Rovnice, nerovnice a soustavy

Rovnice, nerovnice a soustavy 15
Pro x tedy dostáváme rovnice:
2 log x = 8 , 2 log x = 2 3 , log x = 3 , x = 1000 ;
2 log x = 1
3
, log x · log 2 = − log 3 , log x = −log
3 log 2 .
Řešením rovnice jsou čísla x = 1000 a x = 10 − log 3/ log 2 .
23. Řešte goniometrické rovnice:
Řešení:
1 + sin x
a)
1 − sin x = 3 , b) 2 sin2 x − 5 cos x + 1 = 0 ,
c) sin x + cos 2x = 1 , d) cos x + √ 3 sin x = 2 ,
e) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x .
a) Rovnici řešíme za podmínky 1 − sin x = 0 , tj. v oboru x ∈ R \
dostáváme:
1 + sin x
1
= 3 , 1 + sin x = 3 − 3 sin x , 4 sin x = 2 , sin x =
1 − sin x 2 ,
x = π
6
5
+ 2kπ , x = π + 2kπ, k ∈ Z .
6
π
+ 2kπ; k ∈ Z . Postupně
2
b) Použijeme vzorec (4.1)z odst. 4.6. Z rovnice vyloučíme sin x a dostaneme kvadratickou rovnici
pro cos x :
2 sin 2 x − 5 cos x + 1 = 0 , 2 − 2 cos 2 x − 5 cos x + 1 = 0 ,
2 cos 2 x + 5 cos x − 3 = 0
⎧
⎪⎨
1
4
cos x =
⎪⎩
(−5 + √ 25 + 24) = 1
=⇒ x = ±π + 2kπ , k ∈ Z
2 3
1
4 (−5 − √ 25 + 24) = −3 , což není možné.
c) Použijeme vzorec (4.4) z odst. 4.6 pro kosinus dvojnásobného úhlu, potom z rovnice vyloučíme
cos x a dostaneme kvadratickou rovnici pro sin x :
sin x + cos 2x = 1 , sin x + cos 2 x − sin 2 x = 1 ,
sin x − 2 sin 2 x = 0
sin x(1 − 2 sin x) = 0
sin x(1 − 2 sin x) = 0 =⇒ sin x = 0 ∨ sin x = 1
2
sin x = 0 =⇒ x = kπ , k ∈ Z ;
⎧
sin x = 1
2 =⇒
⎪⎨ x =
⎪⎩
π
+ 2kπ , k ∈ Z
6
x = 5
π + 2kπ , k ∈ Z
6
d) Podle příkladu 5 z odst. 4.10 platí
√ √
3 sin x + cos x = 3 + 1 sin (x + ϕ) = 2 sin x + π
.
6