1. Rovnice, nerovnice a soustavy

Rovnice, nerovnice a soustavy 9
1.19. Řešené příklady.
1. Řešte v R rovnici
5 2
+
3x − 1 3x + 1 +
4
9x2 = 0 .
− 1
Řešení: Aby zlomky měly smysl, musí platit x = ± 1
. Řešení rovnice budeme hledat v množině
3
D = R \ − 1
1
, .
3 3
Po vynásobení společným jmenovatelem dostaneme
Protože − 1
3
2. Řešte v R rovnici
/∈ D , rovnice nemá řešení.
5(3x + 1) + 2(3x − 1) + 4 = 0, x = − 1
3 .
x + 2
x
− (x + 1)(x − 2)
x(x + 2)
= 2 3
+
x + 2 x .
Řešení: Předpokládáme x = 0 , x = −2 , takže D = R \ {0, −2} . Odstraníme zlomky, upravíme
a dostaneme
Rovnice je splněna pro všechna x ∈ D .
3. Řešte v R rovnici
s parametrem a ∈ R .
x 2 + 4x + 4 − x 2 + x + 2 = 2x + 3x + 6
x x
−
3a + x x − 3a =
5x + 6 = 5x + 6
0 = 0 .
a 2
9a 2 − x 2
Řešení: D = R\{−3a, 3a} . Obě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatelem a upravíme:
Provedeme diskusi vzhledem k parametru a :
x(3a − x) + x(3a + x) = a 2
3ax − x 2 + 3ax + x 2 = a 2
6ax = a 2
• Je-li a = 0 , potom 0 · x = 0 a dané rovnici vyhovuje každé x ∈ R \ {0} .
• Je-li a = 0 , je x = a2 a
, tj. x =
6a 6 .
4. Řešte v R rovnici |3x − 2| − |5 + x| = 2 − |x| .
Řešení: Nulové body výrazů 3x − 2 , 5 + x , x a jejich znaménka v příslušných intervalech
znázorníme na číselné ose:
3x − 2 − − − +
5 + x − + + +
Řešíme na čtyřech intervalech I, II, III a IV:
x − − + +
I −5 II 0 III
2
3
IV