Lokaskýrsla í Eðlisfræði II vor 2008. - Háskóli Íslands

Inngangur
Frá örófi alda hafa menn velt fyrir sér eðli ljóss. Hvernig berst ljós til augna okkar? Er
ferðahraði þess óendanlegur? Ef hann er ekki óendanlegur, er hann alltaf sá sami? Þetta
eru merkilegar spurningar sem margir hafa gert atlögu að með tilraunum. Lengst af var
árangurinn af skornum skammti vegna takmarkaðrar tækni sem mönnum stóð til boða.
Nútíma eðlisfræðingar og eðlisfræðinemar eru örlítið betur settir en félagar okkar í fornöld,
nákvæm mælitæki hafa gert það mögulegt að komast að því að ljóshraðinn sé endanlegur
og meira að segja að koma tölum á gildi hans.
Hér á eftir verður fjallað um tilraun sem framkvæmd var við Háskóla Íslands vorið 2008,
með áherslu á að finna brotstuðla mismunandi efna við mismunandi aðstæður og tengingu
brotstuðuls við hraða ljóss í því efni.
Líkön
Maxwell
Samkvæmt jöfnum Maxwells má lýsa ljóshraða í efni út frá ljóshraða tómarúms með
v = 1
√ µε =
1
n √ µ0ε0
þar sem ε er rafsvörunarstuðull efnisins og µ er segulsvörunarstuðull þess. Raf- og seg-
−12 F
ulsvörunarstuðlar tómarúms eru ε0 = 8.85 · 10 m og µ0
−7 N
= 4π · 10 A2 (auk þess sem
brotstuðull tómarúms er n = 1), en þar nær ljósið þeim hámarkshraða sínum sem kallaður
er c og er skilgreindur sem 299792458 m
s [1].
Lögmál Snells
Þegar ljósgeisli fer úr einu efni yfir í annað getur ljósbrot átt sér stað. Því er lýst með
lögmáli Snells,
n1 sin(θ1) = n2 sin(θ2) (2)
þar sem ni eru brotstuðlar efnanna og θi eru stefnuhorn inn- og útfallsgeislanna miðað
við línu sem liggur þvert á skurðflöt efnanna. Þetta gefur frekari hugmynd um hvað átt
er við með brotstuðli.
Samband brotstuðuls og þrýstings
Breyting á rákafjölda í víxlmæli Michelsons (sjá uppstillingu síðar) er gefin með
ds = −2L
dλ.
λ2 þar sem s er rákafjöldi, λ er bylgjulengd ljóss og L er lengd hylkis sem ljósið ferðast um.
Vel þekkt er að
n = c
v
1
= λ0
λ
(1)

sem leiðir til
dn = −λ0
dλ.
λ2 Með því að sameina jöfnur fyrir ds og dn fæst (ef gert er ráð fyrir því að línulegt samband
sé á milli ds og dp, þ.e.a.s. að
ds = k · dp (3)
að
⇒
⇒
(p = 760 mmHg = 76 cmHg)
⇒
⇒
n
1
ds = 2L
dn (4)
λ0
dn = kλ0
2L dp
dn = kλ0
2L
p
0
n − 1 = kλ0
2L p
n = kλ0
p + 1 (5)
2L
sem gefur möguleika á að reikna brotstuðul n út frá lengd hylkis, þrýstingi, bylgjulengd
og sambandi ds og dp.
Samband rákafjölda og færslu spegils
Samband rákafjölda sem sést í víxlmæli Michelsons s, bylgjulengdar λ og færslu spegils
z er gefið með jöfnunni
s = 2z
λ
sem snúa má upp í jöfnu til að lýsa λ:
þar sem k er hlutfall s og z.
Uppsetning
Prisma og hornamælir
λ = 2
k
Í fyrri hluta tilraunar er geislabeinir notaður til þess að beina ljósgeisla frá kvikasilfurslampa
að prisma sem komið er fyrir á hornamæli. Í prismanu brotnar ljósgeislinn, svo
stefnubreyting á sér stað, braut geislans breytist sem nemur horninu δ, kallað vikhorn.
Sjónpípu er stillt up á þann hátt að hún geti numið geislann sem brotnar. Í sjónpípunni
má þá sjá línulitróf kvikasilfurs, sem er þekkt.
2
dp
(6)

Mynd 1: Táknmynd af uppsetningu hornamælis. Vikhorn δ (stefnubreyting ljósgeislans)
er sýnt.
Mynd 2: Ferill ljósgeisla í gegn um prisma. Vikhorn δ og topphorn α eru sýnd.
Þar sem markmið þessa liðar er að finna samband brotstuðulsins n og bylgjulengdarinnar
λ er nauðsynlegt að hafa jöfnu sem lýsir sambandi n og vikhornsins δ. Sú jafna er gefin
fyrir þær aðstæður sem reiknað er með (prisma stillt upp svo að ferill ljósgeislans inni í
prismanu verði samhverfur um miðlínu eins topphorns geislans) og hún er
n =
sin( α+δ
2 )
sin( α
2 )
þar sem α = 60 ◦ 00 ′ ± 1 ′ er hér topphorn prismans.
Frekari lýsingu á framkvæmd þessa liðar má sjá í undirkafla 2.3 í vinnuseðli [2].
Víxlmælir Michelsons
Víxlmælir Michelsons ber saman tvo ljósgeisla sem leggja af stað samtímis frá sömu uppsprettu,
en borist hafa eftir mismunandi leiðum. Geislarnir eru aðskildir með hálfspegli A
sem settur er upp á þann hátt að annar geislinn berst beint í gegn um spegilinn að spegli
C, endurkastast að spegli A og þaðan að mælitæki staðsett í E. Hinn geislinn endurkastast
af A á spegil D eftir ferli sem myndar 90 ◦ horn við línu milli ljósgjafa og spegils C, og af
D til mælitækisins. Geislinn ADA verður fyrir auka ljósbroti ef miðað er við geisla ACA
og er Spegill B er notaður til að leiðrétta þau áhrif.
Á leið ADA-geislans er komið fyrir hylki sem má fylla með hvort heldur sem er lofti
eða CO2, en ACA-geislinn fær að halda áfram óáreittur og þjónar því sem viðmið fyrir
3
(7)

Mynd 3: Táknmynd af uppsetningu víxlmælis Michelsons.
ADA-geislann. Vegna mismunandi aðstæðna við ferð geislanna kemur fram fasamunur
milli þeirra sem mælitækið getur numið sem rákamynstur.
Spegill D er tengdur við míkrómæli á þann hátt að sé míkrómælirinn færður færist spegillinn
um fimmtung þeirrar vegalengdar, þ.e.a.s.
x = z
5
þar sem z er færsla spegils og x er færsla míkrómælis. Frekari lýsingu á framkvæmd
liðarins má sjá í kafla 3 í vinnuseðli.[2]
Mælingar og niðurstöður
Prisma og Hornamælir
Til að reikna brotstuðul n þarf að nota jöfnu (7) sem og upplýsingar um vikhorn. Slíkar
upplýsingar má finna á gröfum 4 og 5. Valdar eru tvær bylgjulengdir (577,1 nm og 404,7
nm) til að reikna hraðamun í efnunum tveimur, gleri og vatni. Með því að nota jöfnu (1)
fást eftirfarandi stærðir:
Við λ = 577,1 nm fæst
sem er hraði ljóss í vatni,
vvatn = 2251 · 10 5 5 m
± 7 · 10
s
vgler = 1851 · 10 5 5 m
± 2 · 10
s
sem er hraði ljóss í gleri og að lokum
sem er mismunur á hraða ljóss í gleri.
Við λ = 404,7 nm fæst á sama hátt
vvatn − vgler = 400 · 10 5 5 m
± 9 · 10
s
vvatn = 2232 · 10 5 5 m
± 7 · 10
s
4

Mynd 4: Brotstuðull n sem fall af bylgjulengd λ í gleri. Óvissumörk n eru sýnd. λ er gefið
í vinnuseðli og er litið svo á að óvissa þess sé hverfandi.
Mynd 5: Brotstuðull n sem fall af bylgjulengd λ í vatni. Óvissumörk n eru sýnd. λ er
gefið í vinnuseðli og er litið svo á að óvissa þess sé hverfandi.
5

sem er hraði ljóss í vatni,
vgler = 1816 · 10 5 5 m
± 2 · 10
s
sem er hraði ljóss í gleri og að lokum
vvatn − vgler = 416 · 10 5 5 m
± 9 · 10
s
sem er mismunur á hraða ljóss í gleri.
Hraðamismunur á bláu og rauðu ljósi (λ = 404,7 nm og λ = 577,1 nm) er þá
í vatni og
í gleri.
Víxlmælir Michelsons
Bylgjulengd ljóss
19 · 10 5 5 m
± 14 · 10
s
35 · 10 5 5 m
± 4 · 10
s
Reikna skal λ út frá gögnum um hvernig rákafjöldi sem sést í Michelson-mælinum breytist
eftir því sem spegillinn færist. Gögn má sjá á mynd 6. Hlutfallið k sem fram kom í jöfnu
(6) kemur fram sem hallatala bestu línu á þeirri mynd.
Með því að nota jöfnu (6) og skylda jöfnu fæst:
og þar með
k = 3, 53 ± 0, 80 1
µm
λ = 0, 57µm ± 0, 13µm
Vitað er að græn litrófslína kvikasilfurslampa hefur bylgjulengdina 546, 1nm, sem er innan
óvissumarka síðustu mælistærðar.
Ljóshraði í lofftegundum
Að lokum er að finna hina mismunandi brotstuðla sem ljós hefur í lofti og CO2. Til þess
eru ds og dp teiknuð upp og stuðullinn k úr jöfnu (3) fundinn með því að túlka hann sem
hallatölu. Þá má finna brotstuðul n út frá jöfnu (5) með því að nota k og aðrar þekktar
stærðir, þvínæst jöfnu (1) til að finna ljóshraðann.
Ef valið er k = 0.65 ± 0.09 fyrir loft er brotstuðullinn þannig
nloft = 1.000270 ± 0.000039
Einnig, með því að velja k = 0, 90 ± 0.20 fyrir CO2 fæst
nCO2 = 1, 00037 ± 0.00008
6

Mynd 6: Fjöldi ráka sem fall af færslu spegils. Óvissumörk og besta lína í gegnum
mælipunktana með hallatölu k eru sýnd.
Mynd 7: Breyting á rákafjölda ds sem fall af þrýstingsbreytingu dp í lofti. Hallatala bestu
línu k nýtist við að reikna brotstuðul n í lofti.
7

Mynd 8: Breyting á rákafjölda ds sem fall af þrýstingsbreytingu dp í CO2 líkt og á fyrra
grafi fyrir loft. ATH að framkvæmd þessa liðar tókst ekki eins og best væri á kosið, svo
“besta” línan gengur ekki í gegnum alla mælipunktana.
Samkvæmt þessum tölum er
og
vloft ≈ c − 80, 9 km
s
vCO2 ≈ c − 111 km
s
=≈ 299711535m
s
=≈ 299681575m
s
ef c = 299792458 m
s . Báðar mælingarnar koma heim og saman við gefnu gildin nloft =
1.000293 og nCO2 = 1.00045.
Heimildir
[1] Bureau International des Poids et Mesures. 2008, 10. apríl. “Unit of length (metre)”
Vefslóð:
http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter2/2-1/metre.html
[2] Háskóli Íslands. 2008, 10. apríl.“Brotstuðull og ljóshraði.” Vefslóð:
http://www.raunvis.hi.is/~ario/e2/brotst.pdf
8