Dowodzenie tożsamości i nierówności

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności 1
Matematyka:Matematyka I -
ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności
Dowodzenie tożsamości i nierówności
Zadanie 1
Wykazać, że:
(1)
Wskazówka
Należy sprawdzić przez różniczkowanie, czy lewa strona (1) jest stała.
Zadanie w istocie sprowadza się do pokazania, że funkcja:
(2)
Rozwiązanie
jest równa stałej w każdym z przedziałów, w których jest określona, a następnie ustalić wartość tej stałej. To
pierwsze sprawdzimy obliczając pochodną:
(3)
W przedziałach oraz funkcja jest więc stała. W każdym z tych przedziałów stałe te mogą być
różne, a nas najpierw interesuje przypadek:
(4)
Aby ustalić wartość stałej , wystarczy obliczyć dla jakiegoś dogodnie wybranego argumentu z
rozważanego przedziału. Podstawmy np. :
(5)
W przedziale na pierwszy rzut oka takiego wygodnego argumentu nie widać, ale można tym razem
wykorzystać fakt, że
(6)
W ten sposób wykazaliśmy prawdziwość (1).

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności 2
Zadanie 2
Wykazać, że:
(7)
dla .
Wskazówka
Należy sprawdzić przez różniczkowanie, czy lewa strona (7) jest stała.
Musimy najpierw pokazać, że funkcja:
(8)
Rozwiązanie
jest równa stałej, w rozważanym przedziale, a następnie ustalić jej wartość. W tym celu obliczamy pochodną:
(9)
Dla mamy: i pochodna okazuje się być równa zeru. W konsekwencji
(10)
co kończy dowód.
Zadanie 3
w przedziale . Aby znaleźć stałą , obliczmy teraz:
Wykazać, że dla każdego spełniona jest nierówność:
(11)
Wskazówka
Należy zbadać przedziały monotoniczności funkcji, którą stanowi lewa strona nierówności.
Zdefiniujmy funkcję wzorem:
(12)
Rozwiązanie
dla każdego rzeczywistego . Zauważmy także, iż . Poniżej znajdziemy przedziały monotoniczności
funkcji . W tym celu obliczamy pochodną:
(13)
Jasne jest, że ma taki sam znak, jak . W konsekwencji widzimy, że dla funkcja jest malejąca, a dla
-- rosnąca. Wynika stąd, że znaleziona powyżej wartość jest minimalną wartością przyjmowaną
przez funkcję. Poza tym punktem funkcja jest dodatnia, a zatem nierówność (11) spełniona.

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności 3
Zadanie 4
Wykazać, że dla każdego i spełniona jest nierówność:
(14)
Wskazówka
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.
Przepiszmy nierówność (14) w postaci:
(15)
Rozwiązanie
i oznaczmy symbolem lewą stronę (15). Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma miejsce zerowe dla
(16)
: . Znajdziemy teraz przedziały monotoniczności tej funkcji. W tym celu obliczamy pochodną:
Pochodna ma więc taki sam znak, jak , czyli po prostu . W efekcie widzimy, iż dla funkcja
jest malejąca, a dla -- rosnąca. Wynika stąd, że wartość jest minimalną wartością przyjmowaną
przez tę funkcję. Poza tym punktem funkcja jest dodatnia, a zatem nierówność (14) spełniona.
Zadanie 5
Wykazać, że dla każdego spełniona jest nierówność:
(17)
a dla nierówność jest odwrotna.
Wskazówka
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.
Rozwiązanie
Przenieśmy prawą stronę nierówności (17) na lewo i zdefiniujmy:
(18)
Widzimy, że funkcja ta ma miejsce zerowe dla : . Aby znaleźć jej przedziały monotoniczności,
obliczamy pochodną:
(19)
Wyrażenie to jest zawsze dodatnie (poza punktem ), więc funkcja jest rosnąca. Oznacza to, że w przedziale
spełniona.
przyjmuje ona wartości ujemne, a w przedziale -- dodatnie. Nierówność (17) jest zatem

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności 4
Zadanie 6
Wykazać, że dla każdego spełniona jest nierówność:
(20)
Wskazówka
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.
Zdefiniujmy funkcję wzorem:
(21)
Rozwiązanie
Łatwo zauważyć, że zachodzi: . Sprawdzimy, czy na prawo od tego punktu funkcja jest malejąca. W tym
celu obliczamy pochodną:
(22)
Dla wyrażenie to jest ujemne, co oznacza, że funkcja jest malejąca. W przedziale przyjmuje więc
ona wartości ujemne, czyli nierówność (20) jest spełniona.
Zadanie 7
Wykazać, że dla każdego spełniona jest nierówność:
(23)
Wskazówka
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.
Zdefiniujmy tym razem funkcję wzorem:
(24)
Rozwiązanie
Łatwo zauważyć, że zachodzi: . Sprawdzimy, czy na lewo od tego punktu funkcja jest rosnąca, co
oznaczać będzie, że musi tam ona przyjmować ujemne wartości. Obliczamy pochodną:
(25)
Oczywiste jest, że w przedziale pochodna ta przyjmuje wartości dodatnie, skąd wynika, że nierówność (23)
jest spełniona.

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności 5
Zadanie 8
Wykazać, że dla każdego prawdziwa jest nierówność:
(26)
Wskazówka
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji.
Definiujemy funkcję w formie:
(27)
Rozwiązanie
Zauważmy, że . Sprawdzimy teraz przedziały monotoniczności funkcji. Pochodna funkcji ma postać:
(28)
Dla pochodna ta jest dodatnia, a zatem sama funkcja rosnąca. Z kolei dla pochodna staje się
ujemna, czyli funkcja malejąca. W punkcie przyjmuje więc ona swoją największą wartość równą 0. W
efekcie nierówność (26) jest spełniona.

Źródła i autorzy artykułu 6
Źródła i autorzy artykułu
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=8755 Autorzy: Torado
Licencja
Attribution-Share Alike 3.0 PL
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl