Wykłady IV, V, VI, VII i VIII

Grupa przemienna (zwana też abelow¸a) to taka, w której dzia̷lanie grupowe jest przemienne, co
wyraża diagram przemienny
G × G τ G
G × G
φ 2
G
φ 2
≡ ∀ g,h∈G ∶ φ 2 (g, h) = φ 2 (h, g) ,
a zatem taka, która jest kanonicznie izomorficzna z grup¸a do niej przeciwn¸a,
(G, φ 2 , φ 1 , φ 0 ) id G
≅ (G, φ opp
2
, φ 1 , φ 0 ) .
Przyk̷lad(y) 12.
(1) Grupa trywialna: ({e}, (e, e) → e, e → e, {●} → e).
(2) Grupa liczb zespolonych o module jednostkowym: (U(1), ⋅ C , ⋅, {●} → (1, 0)).
(3) Przyk̷lady arytmetyczne (w których opuszczamy oczywiste elementy struktury):
(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, + C ), (Q × , ⋅), (R × , ⋅), (C × , ⋅ C ), (Q >0 , ⋅), (R >0 , ⋅).
(4) Dla dowolnej grupy przemiennej (G, φ 2 , φ 1 , φ 0 ) i dowolnego zbioru niepustego S określamy
grupȩ przemienn¸a (Map(S, G), ̃φ 2 , ̃φ 1 , ̃φ 0 ), której nośnikiem jest zbiór odwzorowań z S w G
z dzia̷laniem 2-argumentowym ̃φ 2 indukowanym przez φ 2 wedle formu̷ly:
̃φ 2 (f 1 , f 2 ) ∶ S → G ∶ s → φ 2 (f 1 (s), f 2 (s)) ,
zapisanej dla dowolnych f 1 , f 2 ∈ Map(S, G), z dzia̷laniem 1-argumentowym ̃φ 1
przez φ 1 wedle formu̷ly:
̃φ 1 (f) ∶ S → G ∶ s → φ 1 (f(s)) ,
indukowanym
zapisanej dla dowolnego f ∈ Map(S, G), oraz z dzia̷laniem 0-argumentowym ̃φ 0 indukowanym
przez φ 0 wedle formu̷ly:
̃φ 0 (●) ∶ S → G ∶ s → φ 0 (●) .
(5) Przyk̷ladem grupy odgrywaj¸acej istotn¸a rolȩ w opisie topologii zbiorów, a wiȩc także w geometrii,
jest grupa podstawowa π 1 (X; x ∗ ) przestrzeni topologicznej X o bazie x ∗ ∈ X
(przestrzenie topologiczne s¸a omawiane na kursie analizy matematycznej, por., np., [Mau91,
Rozdz. II] oraz [Die68, Rozdz. XII] w po̷l¸aczeniu z [Die65, Rozdz. II]), której konstrukcjȩ pokrótce
tu opiszemy, odsy̷laj¸ac zainteresowanych dalszymi szczegó̷lami do literatury źród̷lowej, np.,
[Lee11, Rozdz. 7]. Podstawowymi obiektami s¸a tutaj ścieżki w X, tj. ci¸ag̷le odwzorowania 1
γ ∶ I ∶= [0, 1] → X ,
na które nak̷ladamy dodatkowy warunek zamkniȩtości,
γ(0) = γ(1) ,
co ogranicza nasze rozważania do pȩtli w X. Pȩtle o bazie x ∗ ∈ X to takie, dla kórych
zachodzi
γ(0) = x ∗ .
Wyróżniamy pośród nich pȩtle sta̷le (o bazie x ∗ ∈ X) postaci
ε x∗ ∶ I → X ∶ t → x ∗ .
Na zbiorze Ω(X; x ∗ ) pȩtli o bazie x ∗ ∈ X określamy operacjȩ ○ zwan¸a mnożeniem (lub
sk̷ladaniem) pȩtli, dan¸a wzorem
○ ∶ Ω(X; x ∗ ) ×2 → Ω(X; x ∗ ) ∶ (γ 1 , γ 2 ) → γ 1 ○ γ 2 ,
γ 1 ○ γ 2 (t) ∶= {
γ 1 (2t) dla t ∈ [0, 1 2 ]
γ 2 (2t − 1) dla t ∈ [ 1 2 , 1] ,
jak również operacjȩ 1-argumentow¸a zwan¸a braniem odwrotności (lub odwracaniem) pȩtli
⋅ ∶ Ω(X; x ∗ ) → Ω(X; x ∗ ) ∶ γ → γ ,
1 Pojȩcie ci¸ag̷lości jest dyskutowane na kursie analizy matematycznej, patrz, np., [Mau91, Rozdz. II § 7] i [Die65,
Rozdz. II.11].
2