Wykłady IV, V, VI, VII i VIII

More documents

Recommendations

Info

Ad (ii) Niechaj H bȩdzie dope̷lnieniem Ker χ w G (1) , tak że G (1) = Ker χ ⋊ H . (4.10) Wówczas χ indukuje kanoniczny izomorfizm χ H ≡ χ∣ H ∶ H → ≅ G (2) ∶ h → χ(h). Istotnie, χ H jest surjekcj¸a, bo z racji surjektywności χ i wobec istnienia rozk̷ladu (4.10) ∀ g∈G (2) ∃ (k,h)∈Ker χ×H ∶ g = χ(k ⋅ (1) h) = χ(k) ⋅ (2) χ(h) = χ H (h) , a ponadto χ H jest injekcj¸a, gdyż – wobec Ker χ ∩ H = {e (1) } i dla dowolnego h ∈ H – χ H (h) = e (2) ⇐⇒ h ∈ Ker χ ∩ H ⇐⇒ h = e (1) . W tej sytuacji jedynym odwzorowaniem spe̷lniaj¸acym warunek χ○χ −1 R = id G (2) jest χ−1 H (odwzorowanie któregokolwiek z punktów G (2) w Ker χ∖{e (1) } prowadzi̷loby do utraty injektywności z̷lożenia χ ○ χ −1 R ). Widzimy zatem, że każdemu dope̷lnieniu H j¸adra χ w G(1) odpowiada jednoznacznie określona prawostronna odwrotność χ −1 R gdyż I odwrotnie, jeśli teraz χ −1 R = χ−1 H . ∶ G(2) → G (1) jest prawostronn¸a odwrotności¸a χ, to koniecznie G (1) = Ker χ ⋊ Im χ −1 R , g ∈ Ker χ ∩ Im χ −1 R ⇐⇒ ∃ h∈G (2) ∶ ( g = χ −1 R (h) ∧ χ(g) = e (2) ) ⇒ h = χ ○ χ −1 R (h) = χ(g) = e (2) ⇒ g = χ −1 R (e (2) ) = e (1) , a ponadto dowolny element g ∈ G (1) ma rozk̷lad g = [g ⋅ (1) Inv (1) (χ −1 R ○ χ(g))] ⋅ (1) χ −1 R ○ χ(g) ∈ Ker χ ⋅ (1) Im χ −1 R . Wnosimy st¸ad, że każda prawostronna odwrotność zadaje dope̷lnienie Ker χ w G (1) . □ W nastȩpnym kroku zbadamy relacje pomiȩdzy grupami ilorazowymi wynikaj¸ace z relacji zawierania pomiȩdzy odnośnymi dzielnikami normalnymi grupy danej. Twierdzenie 8. (Trzecie twierdzenie o izomorfizmie) Niechaj (G, φ 2 , φ 1 , φ 0 ) bȩdzie grup¸a i niech H 1 ⊃ H 2 bȩd¸a jej dzielnikami normalnymi. Istnieje kanoniczny izomorfizm (G/H 2 )/(H 1 /H 2 ) ≅ G/H 1 . Dowód: Zauważmy, że H 2 jest w oczywisty sposób dzielnikiem normalnym H 1 . Istotnie, gH 2 g −1 = H 2 dla dowolnego g ∈ G, w szczególności wiȩc dla każdego g ∈ H 1 ⊂ G. Można zatem zdefiniować H 1 /H 2 jako grupȩ (ilorazow¸a). Określmy odwzorowanie χ ∶ G/H 2 → G/H 1 ∶ gH 2 → gH 1 . Powyższa definicja ma sens, bo dla dowolnego reprezentanta g 1 ∈ gH 2 zachodzi g 1 = g ⋅ h dla pewnego h ∈ H 2 , zatem wobec H 2 ⊂ H 1 jest g 1 H 1 = (g ⋅ h)H 1 = gH 1 . ̷Latwo widać, że jest to homomorfizm grup, o j¸adrze gdyż Ker χ = { gH 2 ∣ g ∈ H 1 } ≡ H 1 /H 2 , χ(gH 2 ) = H 1 ⇐⇒ gH 1 = H 1 ⇐⇒ g ∈ H 1 . Wobec surjektywności χ teza przyjmuje teraz oczywist¸a postać por. Tw. 3. (G/H 2 )/Ker χ ≅ Im χ , □ Niniejszy dzia̷l, poświȩcony abstrakcyjnym w̷lasnościom kategorii grup, zamkniemy opisem transportu ci¸agów dok̷ladnych typu (4.3) wzglȩdem homomorfizmów grup. 22
Twierdzenie 9. (O homomorficznym przeciwobrazie normalnego ci¸agu dok̷ladnego) W notacji Def. 22, 29 oraz 30 i dla dowolnego dzielnika normalnego H (2) ⊂ G (2) istnieje kanoniczny monomorfizm indukowany który czyni przemiennym diagram χ ∶ G (1) /χ −1 (H (2) ) ↣ G (2) /H (2) , 1 χ −1 (H (2) ) j χ −1 (H (2) ) G (1) π G (1) /χ −1 (H (2) ) G (1) /χ −1 (H (2) ) 1 χ χ χ . 1 H (2) j H (2) G (2) π G (2) /H (2) G (2) /H (2) 1 W szczególności jeśli χ jest epimorfizmem, to wówczas χ jest izomorfizmem. Dowód: Zauważmy najpierw, że χ −1 (H (2) ) jest podgrup¸a G (1) . Istotnie, h 1 , h 2 ∈ χ −1 (H (2) ) ⇐⇒ χ(h 1 ), χ(h 2 ) ∈ H (2) , ale H (2) jest grup¸a, zatem wtedy także χ(h 1 ⋅ (1) h 2 ) = χ(h 1 )⋅ (2) χ(h 2 ) ∈ H (2) ⇒ h 1 ⋅ (1) h 2 ∈ χ −1 (H (2) ). Ponadto h ∈ χ −1 (H (2) ) ⇐⇒ χ(h) ∈ H (2) ⇒ χ (Inv (1) (h)) = Inv (2) (χ(h)) ∈ H (2) ⇒ Inv (1) (h) ∈ χ −1 (H (2) ). Bez trudu przekonujemy siȩ, że rozważana podgrupa jest normalna, bowiem g ∈ G ⇒ χ (g ⋅ (1) χ −1 (H (2) ) ⋅ (1) Inv (1) (g)) = χ(g) ⋅ (2) H (2) ⋅ Inv (2) (χ(g)) = H (2) , przy czym ostatnia równość wynika st¸ad, że H (2) jest dzielnikiem normalnym, i implikuje inkluzjȩ g ⋅ (1) χ −1 (H (2) ) ⋅ (1) Inv (1) (g) ⊂ χ −1 (H (2) ), co wobec dowolności g potwierdza wypowiedzian¸a tezȩ. Jako że podgrupa H (2) jest normalna, możemy zdefiniować grupȩ ilorazow¸a G (2) /H (2) i rozważyć z̷lożenie homomorfizmów J¸adrem tego ostatniego jest G (1) χ → G (2) π G (2) /H (2) → G (2) /H (2) . Ker (π G (2) /H (2) ○ χ) = χ−1 (H (2) ) , a to dlatego że wobec równości Ker π G (2) /H (2) = Im j H (2) zachodzi (dla dowolnego g ∈ G(1) ) π G (2) /H (2) ○ χ(g) = H(2) ⇐⇒ χ(g) ∈ H (2) ⇐⇒ g = χ −1 (H (2) ) . St¸ad wynika – na mocy Tw. 4 – istnienie kanonicznego monomorfizmu (indukowanego) G (1) /χ −1 (H (2) ) ≡ G (1) /Ker (π G (2) /H (2) ○ χ) ↣ G(2) /H (2) , który oznaczamy jako χ. Przemienność diagramu jest teraz treści¸a definicji χ – istotnie, χ to w świetle Tw. 4 (jedyny) monomorfizm spe̷lniaj¸acy warunek χ ○ π G (1) /χ −1 (H (2) ) = π G (2) /H (2) ○ χ , por. (4.5). Dla dowodu ostatniej czȩści twierdzenia wystarczy policzyć, dla χ surjektywnego i dla dowolnego g ∈ G (1) , χ (gχ −1 (H (2) )) = π G (2) /H (2) ○ χ(g) = χ(g)H(2) , oto bowiem z racji za̷lożonej surjektywności χ, Im χ = G (2) , jest χ(G (1) )H (2) Im χ = G (2) /H (2) , co wobec injektywności χ daje tezȩ. = G (2) /H (2) , czyli □ Przyk̷lad(y) 24. Niechaj G (1) = Z (z dodawaniem) i G (2) = Z/6Z (z dodawaniem modulo 6), a ponadto niech χ = π Z/6Z bȩdzie rzutem kanonicznym. Wybierzmy podgrupȩ (normaln¸a) {[0] 6 , [2] 6 , [4] 6 } ⊂ Z/6Z, w oczywisty sposób izomorficzn¸a z Z/3Z. Zachodzi π −1 Z/6Z ({[0] 6, [2] 6 , [4] 6 }) = 2Z . 23
Page 1 and 2: ALGEBRA IR - WYK̷LADY IV, V, VI, V
Page 3 and 4: γ(t) = γ(1 − t) . Na tym etapie
Page 5 and 6: (PG1) φ 2 ∶ H ×2 → H ⊂ G; (
Page 7 and 8: (i) (transport elementu neutralnego
Page 9 and 10: Stwierdzenie 25. W notacji Def. 22,
Page 11 and 12: Przyk̷lad(y) 20. Grupa alternuj¸a
Page 13 and 14: Dowód: Pierwsza czȩść twierdzen
Page 15 and 16: Powstaje naturalne pytanie o strukt
Page 17 and 18: kartezjańskie zbiorów. O wiele ci
Page 19 and 20: Stwierdzenie 34. Przyjmijmy notacj
Page 21: zatem N ⋅ (1) Ker χ jest dope̷l

Wykłady IV, V, VI, VII i VIII

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?