DynamickÃ¡ pevnost a Å¾ivotnost Jur IV

České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní 

Dynamická pevnost a životnost Jur. IV 

1/27 

Dynamická pevnost a životnost 

Jur IV 

Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý 

Poděkování: 

Děkuji prof. Ing. Jiřímu Kunzovi, CSc za laskavé svolení s 

využitím některých obrázků z jeho knihy “Aplikovaná lomová 

mechanika, ČVUT, 2005“ v této přednášce. 

josef.jurenka@fs.cvut.cz



2/27 

Literatura 

• J. Kunz: Aplikovaná lomová mechanika, ČVUT, 2005 

• J. Kunz: Základy lomové mechaniky, ČVUT, 2000 

• J. Němec: Prodlužování životnosti konstrukcí a předcházení jejich haváriím, Asociace 

strojních inženýrů v České republice, 1994 

• J. Kučera: Úvod do mechaniky lomu I : vruby a trhliny : nestabilní lom při statickém 

zatížení, 1. vyd. Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2002 

• J. Kučera: Úvod do mechaniky lomu II : Únava materiálu, Ostrava : Vysoká škola báňská 

- Technická univerzita Ostrava, 1994 

• V. Moravec, D. Pišťáček: Pevnost dynamicky namáhaných strojních součástí, Ostrava : 

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006 

• D Broek: Elementary Engineering Fracture Mechanics, 1. ed. Martinus Nijhoff Publ., 

Boston 1982 

• D Broek: The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, 

Dordrecht, The Netherlands, 1988 

• Růžička, M., Fidranský, J. Pevnost a životnost letadel. ČVUT, 2000. 

• Růžička, M., Hanke, M., Rost, M. Dynamická pevnost a životnost. ČVUT, 1987. 

• Pook, L. Metal Fatigue – What it is, why it matters. Springer, 2007.



3/27 

Elasto-plastická lomová mechanika (EPLM) 

 

 

Použití lineární lomové mechaniky (LELM), resp. kritérií lineární lomové mechaniky je 

podmíněno splněním předpokladu malé velikosti plastické zóny r p * na čele trhliny v 

porovnání s délkou trhliny a. 

Tato podmínka bývá splněna v případech, kdy k lomu dochází při napětích, které jsou 

výrazně menší než mez kluzu materiálu za podmínek rovinné deformace (v 

podmínkách rovinné napjatosti, kdy velikost plastické zóny je větší, je možné aplikovat 

LELM, pouze pokud napětí při lomu je opět výrazně menší než mez kluzu). 

Potom lze materiál (z pohledu stability trhliny) charakterizovat lomovou houževnatostí. 

 

Případy, kdy nelze použít přístup přes LELM jsou: 

V případě materiálů s nízkou lomovou houževnatostí v kombinaci s velmi 

krátkými trhlinami. 

V případě materiálů s vysokou lomovou houževnatostí.



4/27 

Elastoplastická 

lomová 

mechanika 

(EPLM)



5/27 

 

CTOD (Crack Tip Opening Displacement) - Definice 

Rozevření trhliny COD (Crack Opening Displacement) 

pro RN a elastický materiál 

platí: 

COD 

4 

E 

2 2 

x 2v 

a x . 

4 2 

* 2 

x a 

r x . 

COD p 

 

E 

(i) 

CTOD na čele trhliny délky a za předpokladu 

CTOD na čele trhliny v případě elastického 

chování materiálu je rovno hodnotě COD v 

bodě x = a, což je CTOD = 0. 

CTOD 

CTOD 

RN 

RD 

4 

 

E 

4 

 

2a 

r 

* 

p 

*2 

p 

malé plastické zóny je rovno hodnotě COD v 

bodě x = a, což při uvažování Irwinovy korekce 

r p *



6/27 

CTOD – plastická zóna malého rozsahu 

CTOD 

4 

 

2ar 

 

* 

* 

RN 

E 

p 

p p0.2 

2 

Dosazením dostáváme vztah mezi CTOD a rp* 

CTOD 

RN 

8 

R 

 

E 

p0.2 

Posunutí souřadného systému substituce x = a + rp* - r do 

vztahu (i) a za předpokladu r



7/27 

Hodnotu lze získat měřením závislosti CTOD na FIN K. 

Výzkum v této oblasti ukazuje, že hodnota se pravděpodobně pohybuje v rozmezí: 

 

 

4 

2



8/27 

CTOD – měření v laboratoři 

Při měření musí být těleso, resp. trhlina zatížena resp. otevřena: 

 

 

 

Přímé optické měření na fotografiích ústí trhliny (většinou pouze povrchové měření). 

Nepřímé optické měření pomocí „odlitků“ tvaru trhliny. 

Měření na metalografických výbrusech (různé pozice podél čela trhliny, nutné fixování 

rozevření trhliny odpovídající zatížení tělesa). 

Použitelnost těchto způsobů měření na reálných konstrukcí je značně obtížné a většinou 

nemožné.



9/27 

CTOD – stabilita trhliny (Plastická zóna malého rozsahu) 

 

Trhlina bude stabilní pokud: 

CTOD CTOD c 

Problém: Použití podmíněno měřením CTOD a stanovením CTOD c ! – v praxi se 

proto vužívají transformační vztahy mezi CTOD a jinými kriterii, které lze 

jednodušeji určit. 

Využítí vztahů mezi CTOD a K: 

 

CTOD 

c 

RD 

2 

1 KIc 

 

E 

 

2 

2 

1v 

1 Kc 

, CTOD 

c 

 

RN 

Rp0.2 

E Rp0. 

2 

Výpočet CTOD z naměřené hodnoty COD (RN) – z definic COD a CTOD: 

 

2 

2 

 

* 2 * *2 

COD x E 

 

2 2 

p 

2 

p p 

4 

COD x a r x ar r 

x a 

E 

4 

 

4 16 

a x 

* *2 2 

CTOD 2a r 

 

RN 

p 

rp 

ii CTOD COD x 

RN 

2 

E 

E 

 

2 2 2 

(ii)

COD(x=0) 



10/27 

 

Výpočet CTOD z experimentálně naměřené hodnoty COD: 

CTOD 

CTOD 

RN 

RD 

 

 

COD 

COD 

2 

2 

2 2 2 

16 

 

a 

x 

x 

E 

2 

2 2 2 2 2 

16 

 

1 

v a 

x 

x 

E 

2 

a 

Není třeba uvažovat velikost plastické zóny před čelem trhliny a není třeba určovat 

koeficient . Je možné použít tento postup pro určení CTOD c .



11/27 

CTOD (Plastická zóna velkého rozsahu) 

Využití u materiálů s vysokou lomovou houževnatostí a u materiálů s nízkou lomovou 

houževnatostí v oblasti krátkých trhlin, kde napětí při lomu dosahují meze kluzu je 

možné určit CTOD c a uvažovat tuto veličinu jako materiálovou charakteristiku. 

 

Materiály s nízkou lomovou houževnatostí v oblasti krátkých trhlin: 

CTOD 

Různé délky trhliny, různá hodnota 

kritického napětí, při kterém dochází k 

lomu. 

c 

RD 

Hodnota CTOD c by měla být v 

obou případech stejná. 

 

 

1K 1v 1 K 

 

E R 

2 2 

Ic 

2 

c 

, CTODc 

 

RN 

 

p0.2 E Rp0.2 

Umožňuje nepřímo určit hodnotu lomové 

houževnatosti K Ic i na tělesech, které 

nevyhovují podmínkám RD pro normalizované 

zkoušky lomové houževnatosti z důvodu malé 

délky trhliny nebo materiálových vlastností.



12/27 


 

Materiály s vysokou lomovou houževnatostí - Určování CTOD: 

Nelze stanovit hodnotu lomové houževnatosti K Ic 

přímým měřením lomu předchází zplastizování 

nosného průřezu! jednou z možností hodnocení 

houževnatosti materiálu, resp. odporu materiálu 

proti šíření trhlin je určení CTOD c . 

Nejobecnější metodou 

určování CTOD v 

těchto případech je 

měření COD(x) ve 

dvou různých 

místech trhliny: 

a 

COD 

r 

 

COD 

1 

2 

 

1 

2 

CTOD 

W 

a 

x a r W 

a 

x r W 

a 

CTOD 

COD 

1 

 

 

x 

aCOD 

x 

a 

2 

x 

2 

x 

1 

2 

1 

r 

 

CTOD 

r je tzv. 

rotační 

součinitel, 

během 

úprav bude 

eliminován 

CTOD 

, , R n p0,2



13/27 

B; 

a; 

Určování CTOD c : 


Hodnota CTOD c by měla odpovídat okamžiku lomu problém s definicí tohoto 

okamžiku. 

Lomu předchází etapa pomalého stabilního růstu trhliny obtížná detekce. 

CTOD c může odpovídat maximálnímu zatížení, nicméně pro nepřímé určování K Ic je nutné 

stanovit CTOD in odpovídající okamžiku počátku stabilního šíření měření normalizováno. 

• Při nepřímém určování K Ic pomocí měření CTOD in je nutné dodržen podmínky RD 

rozměrová nezávislost. 

2 2 

2 

K 

 

1 

1 

 

Ic 

v 

v 

W a CTOD 

 

in 

E R 

p0,2 

E 

R 

p0,2 

 

 

K 

R 

Ic 

p0,2 

 

 

 

2 

E = 2e5 MPa 

Rp0.2 = 900 MPa 

v = 0,3 

B; 

a; 

 

W 

a 

 

 

 

2,5 

K 

R 

Ic 

p0,2 

 

 

 

2 

LLM 

EPLM 

B; 

a; 

 

W 

a 

 

 

0,1 

 

K 

R 

Ic 

p0,2 

 

 

 

2 

Hodnota je předmětem dalších výzkumů – rozměry vzorků cca 25x menší.



14/27 


Faktory ovlivňující hodnotu CTOD c (CTOD in ): 

• Teplota: s klesající teplotou klesá houževnatost a tedy i odpor proti šíření trhliny. 

(rostoucí charakter CTOD c s teplotou pouze v oblasti středních teplot) 

• Rychlost deformace: se zvyšující se rychlostí deformace klesá CTOD c . 

• Délka trhliny: s klesajícím poměrem a/W roste hodnota CTOD c . 

• Tloušťka tělesa: s klesající tloušťkou CTOD c obecně roste + vliv prostředí a 

materiálu. 

• Geometrie a způsob zatěžování: neplatí geometrická invariantnost problémy 

při přenosu výsledků získaných na laboratorních tělesech na reálná díla.



15/27 

J 

 

 

 

dU 

dV 

Ti 

 

 

J-integrál 

Dojde-li k plastické deformaci většího rozsahu, nelze kriteria LLM použít, neb větší 

plastická zóna významně ovlivní stav napětí v okolí čela trhliny. 

J-integrál patří mezi energetická lomová kriteria EPLM a je zobecněním hnací síly 

trhliny G, jejíž výpočet vycházel z elastického řešení stavu napjatosti před čelem 

trhliny a jejíž použití bylo spojeno se splněním předpokladu malé plastické zóny na čele 

trhliny. 

dU 

 

dV 

 

 

0 

 

 

dy 

T 

 

 

ij 

d ij 

x 

u 

x 

T 

y 

v 

x 

T 

z 

w 

x 

 

ds 

 

je objemová hustota deformační energie, 

i-tá složka vektoru tahové síly kolmého 

k integrační cestě, 

u , v, 

w 

jsou složky vektoru posunutí, 

ds 

je elementární úsek křivky . 

Hodnota J-integrálu představuje 

hnací sílu ve směru osy X působící 

na nehomogenity (trhlinu a 

plastickou zónu) uvnitř určité 

oblasti.



16/27 

J-integrál - Definice 

 

 

V případě libovolné uzavřené křivky v materiálu je 

J-integrál roven nule! 

 

 

1 

 

 

CD 

 

 

 

2 

0. 

Líce trhliny představují volný povrch a potom platí: 

 

 

FA 

 

 

T 

0, 

y konst. 

dy 

0 0 

Pro souhlasně orientované křivky v kladném směru 

platí: 

 

 

1 

 

 

 

Hodnota J-integrálu nezávisí na integrační 

cestě, přičemž tato cesta musí začínat na jedné 

lomové ploše a končit na druhé a lomové plochy 

nejsou nijak zatíženy. 

2 

 

CD 

 

FA



17/27 

 

 

 

J-integrál má význam hnací síly trhlin i v případě výskytu větší plastické zóny na čele 

trhliny integrační cestu volíme tak, aby procházela pouze elasticky 

deformovanými oblastmi vně plastické zóny a její tvar lze optimalizovat, aby 

výpočet napětí a deformací byl co možná nejjednodušší. 

Hodnotu J-integrálu lze určit analogicky k postupu určení G na základě výpočtu 

změny potenciální energie tělesa se změnou délky trhliny. 

J 

 

d 

da 

 

A U 

 

A je práce vnějších sil 

U je deformační energie tělesa s trhlinou 

V oblasti platnosti LLM za předpokladu lineárního elastického materiálu platí: 

J G G 

nepřímé stanovení hodnoty J-integrálu na základě hodnot FIN K. 

I 

G 

II 

G 

1 v 

2 2 2 

J 1 v KI KII KIII 

, RD 

E 

 

1 2 2 2 

J KI KII 1 v K 

III 

, RN 

E 

 

III



18/27 

 

Vztah: 

J 

 

d 

da 

 

A U 

platí i pro nelineární elastický materiál a 

analogicky jako v případě odvození G lze psát 

pro dva základní typy okrajových podmínek 

vztahy: 

 

J 

U 

 

a 

 

 

 

U 

 

 

 

a 

 

F konst. v konst. 

 

Definice J-integrálu vychází z uvažování nelineárního elastického modelu 

materiálu vznik plastické zóny u reálných materiálu způsobí, že velikost uvolněné 

deformační energie nebude shodná s velikostí žluté plochy v diagramu tzn. jako JB – 

odlehčování probíhá po jiné křivce problémy při aplikaci J-integrálu při výskytu 

plastické zóny velkého rozsahu.



19/27 

J-integrál – Stabilita trhliny 

 

Kriterium stability lze vyjádřit ve tvaru: 

J 

i 

 

J 

ic 

 

i 

I,II,III 

 

přičemž hodnoty J-integrálu se často určují pomocí MKP, případně pomocí přibližných 

analytických vztahů (nejsou příliš přesné) nebo experimentálně.



20/27 

J-integrál - Příklad 

 

Jednoduchá integrační cesta okolo čela trhliny o 

poloměru r souřadnici y lze vyjádřit jako: 

y r sin 

, dy 

r cos 

d 

a element délky integrační cesty je: 

ds 

r d. 

Potom lze J-Integrál vyjádřit jako: 

J 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

y 

 

d 

 

cos 

T 

r 

d. 

x 

 

d , 

1 

T 

dy 

dx 

C1 

 

 

CC 

1 2 

2 

C2 

 

 

 

Oba koeficienty 1 a 2 jsou sice závislé na , ale bez ohledu na výraz samotný, 

můžeme J-Integrál vyjádřit jako:



21/27 

 

J 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 

1 2 

r 

Nehledě na to jaké jsou funkce úhlu , redukuje se původní vyjádření integrálu na: 

J r 

 

 

 

f 

 

 

d 

r F 

r Q. 

kde Q je bezrozměrné číslo. Výpočet lze potom provést pro a v libovolném bodě 

integrační cesty. 

Zvolíme-li: y = 0 a x = r dostaneme: 

 

J 

r 

r 

r 

Q 

Použitím Rambergovi-Osgoodovi 

rovnice pro stress-strain křivku 

 

0 

 

 

0 

n 

n 

 

 

X 

J 

1 

n 1 

n 1 Q XJ 

 

r 

r r 

 

X 

Qr 

 

Jestliže položíme n = 1 potom 

X = E lineární elastický 

materiál dostaneme 

 

r 

1 

2 

XJ EJ K K U 

2 d 

 

J 

. 

Qr 

 

Qr 2 

r E da



22/27 

J-integrál – Stanovení kritické hodnoty 

 

Experimentální měření se provádí na normalizovaných tělesech CT a 3PB. 

B 

a 

W 

a 

B 

W 

 

Stanovení J Ic pro lineární elastický materiál: 

• Využívá se nepřímého určení na základě transformačních vztahů mezi J Ic a G Ic , 

resp. K Ic . 

J 

Ic 

G 

1v 

E 

2 

2 

Ic, resp. 

JIc 

KIc



23/27 

Univerzální metoda stanovení J Ic : 

• Východiskem je měření průběhu 

zátěžné síly F na posunutí v, potom 

plochu mezi křivkami (pro dvě 

různé trhliny) odpovídající hodnotě 

J-integrálu lze určit početně nebo 

graficky. 

• Jeden nebo několik vzorků s 

různou délkou trhliny. 

• Vyneseme-li hodnoty J-integrálu v 

závislosti na posunutí v 

(parametrem je délka trhliny) pak 

pro kritickou hodnotu posunutí v c 

můžeme určit kritickou hodnotu J c



24/27 

 

Metoda stanovení J Ic při totálním zplastizování nosného průřezu 

• Podmínkou je, že plastická deformace nastává 

pouze v kritické oblasti tělesa lokalizovaný 

plastický kloub. 

• Průběh zátěžné síly F na posuvu je potom funkcí 

rozměrů tělesa a zbytkového nosného průřezu 

(W-a), tloušťky tělesa B, materiálových vlastností 

(E, Ramberg-Osgood). 

F 

J 

 

 

B W 

 

A 

a 

 

 

 

2 3PB 

 

2 0,522 1 

 

 

a 

W 

 

 

 

CT



25/27 

 

Stanovení J Ic ,resp. J in na několika zkušebních vzorcích 

• Několik vzorků se stejnou délkou trhliny a (únavově předcyklovaná) jsou namáhány 

různou zátěžnou silou F i , každé hladině zatížení odpovídá určitý přírůstek trhliny 

a i (určena fraktografickým rozborem po statickém dolomení). 

J 

i 

 

2 

Ai 

B W 

 

a 

a 

i 

 

1 

8 

a 

 

 

i1 

a 

2 

ik 

 

8 

 

j 2 

a 

ij 

 

 

 

k = 1,…, 9

zóna protažení 



26/27 

• Dvojice naměřených hodnot J i a a i vyneseme do grafu: 

J 

1 

a 

CTOD 

2 

CTOD 

 

R p0,2 

J 2Rp a 

 

0, 2 

čára otupení 

JIc J in 

• Vztah definující čáru otupení má 

smluvní charakter a závisí mimo jiné 

na vlastnostech materiálu.



27/27 

 

Stanovení J Ic ,resp. J in na jediném zkušebním vzorku: 

• Není nutné definovat čáru otupení, ale je nutné poměrně přesně měřit délku trhliny 

(elektropotenciálová metoda) v průběhu zatěžování kritická hodnota J-integrálu 

J in je dána odklonem závislosti J=J(a). 

 

Faktory ovlivňující hodnotu J Ic , resp. J in 

• struktura materiálu 

• teplota 

• rychlost deformace 

• rozměry tělesa a délka trhliny 

• agresivita prostředí



28/27 

J-integrál – Využití v praxi 

 

Experimenty ukazují, že měření J Ic zle využít jako alternativní metodu pro určování K Ic v 

případech, kdy tloušťka tělesa B nevyhovuje podmínkám pro přímé měření K Ic . 

Nicméně i při měření J Ic je nutné dodržet podmínku rovinné deformace, která je 

nezbytná pro dodržení geometrické invariantnosti. 

B; 

a; 

J 

R 

Ic 

W 

a , 25 

200 

p0,2 

 

Význam J je především v možnosti porovnávání houževnatých materiálů s ohledem na 

odpor proti šíření trhliny. Využití J pro stanovení kritických veličin c a a c je závislé na 

důkladné experimentální verifikaci a dané postupy většinou neplatí zcela obecně.

DynamickÃ¡ pevnost a Å¾ivotnost Jur IV

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?