Inverzna Newton-Eulerjeva dinamicna analiza

Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Inverzna Newton-Eulerjeva dinamična analiza
Laboratorijski praktikum
Roman Kamnik
Ljubljana, 2006.

Poglavje 1
Momenti v sklepih gibajoče se osebe
Vrtilne momente, ki delujejo v sklepih gibajoče se osebe, je moč določiti preko
preračunavanja inverzne dinamike mišično-skeletnega mehanizma med gibanjem
(Bresler and Frankel, 1950). Momente, ki delujejo v sklepu med dvema togima
telesoma je moč določiti, če je znana kinematika gibanja obeh teles in če so poznane
vse sile, ki na telesi delujejo. Tako je mogoče določiti momente med gibanjem
osebe s pomočjo poenostavljenega mišično-skeletnega modela, ki ga tvorijo
toga telesa segmentov povezana s poenostavljenimi sklepnimi povezavami. Za ta
namen uporabljamo večsegmentni dinamični model. Primer modela s petnajstimi
segmenti je predstavljen na sliki 1.1.
V petnajstsegmentnem modelu, ki je predstavljen na sliki 1.1, so upoštevane
naslednje poenostavitve:
• stopala, golena, stegna, medenica, gornji del trupa, nadlakti, podlakti, roki
v ožjem smislu in glava so predstavljena kot toga telesa,
• sklepi med segmenti so predstavljeni kot preprosti kinematični pari, in sicer:
– s sklepi z dvema rotacijskima prostostnima stopnjama gibanja so povezani
gleženjski in zapestni sklepi,
– s sklepi z eno rotacijsko prostostno stopnjo gibanja so povezani kolenski,
komolčni, lumbosakralni in vratni sklepi,
– kolčni in ramenski sklepi so povezani s sferičnimi sklepi s tremi prostostnimi
stopnjami gibanja,
• v določenih primerih, npr., ko se oseba z rokami opira na oporni pripomoček,
ki se ne premika, lahko predpostavimo tudi simetrijo antropometričnih
in kinematičnih parametrov glede na sagitalno ravnino.
1

Glava
Nadlaket
Gornji del
trupa
Podlaket
Roka
Medenica
Stegno
Goleno
Stopalo
Slika 1.1: Primer petnajstsegmentnega mišično-skeletnega modela osebe
1.1 Rekurzivna Newton-Eulerjeva inverzna dinamična
analiza
V biomehanskih analizah gibanja človeškega telesa se pogosto uporablja poenostavljen
dinamični model, ki je definiran kot večsegmentni sistem togih teles konstantnih
mas medsebojno povezanih z idealiziranimi sklepi. Gibanje sistema togih
teles obravnava Newton Eulerjeva dinamična analiza, katere enačbe opisujejo
posebej premo in rotacijsko gibanje vsakega segmenta v sistemu. Newtonova mehanika
gibanja togega telesa temelji na treh osnovnih dejstvih:
• Vsaka akcija ima za posledico enako nasprotno usmerjeno reakcijo. Torej,
če telo A deluje na telo B s silo f in momentom τ , potem telo B deluje
nazaj na telo A s silo −f in momentom −τ.
• Vsota vseh sil, ki delujejo na telo, je enaka spremembi gibalne količine
telesa.
• Vsota vseh momentov, ki delujejo na telo je enaka spremembi vrtilne količine
telesa.
2

Na podlagi dejstva dva lahko zapišemo enačbo, ki opisuje premo gibanje togega
telesa:
d(mv)
= f, (1.1)
dt
kjer je m masa segmenta, v hitrost gibanja težišča telesa in f vsota vseh sil, ki
delujejo na telo. V primeru, da se masa telesa s časom ne spreminja se enačba
(1.1) poenostavi v dobro znano obliko:
f = ma, (1.2)
kjer a = ˙v nastopa kot pospešek težišča telesa.
Podobno je na podlagi dejstva tri moč zapisati izraz za rotacijsko gibanje telesa:
d(I 0 ω 0 )
= τ 0 , (1.3)
dt
kjer matrika I 0 predstavlja matriko vztrajnostnih momentov telesa, vektor ω 0 vektor
kotnih hitrosti in vektor τ 0 vektor vsote momentov delujočih na telo. Vse
veličine v enačbi (1.3) so izražene glede na osi osnovnega koordinatnega sistema
in imajo zato pripisan indeks 0. V tem primeru pa vztrajnostni tenzor telesa I 0 ni
konstanten in se spreminja z gibanjem telesa skupno s spreminjanjem orientacije,
zaradi česar se krožno gibanje bistveno razlikuje od premega gibanja. Zato raje
pripnemo relativni koordinatni sistem na telo in izrazimo matriko vztrajnostnih
momentov I i glede na osi relativnega koordinatnega sistema. Ker je relativni koordinatni
sistem fiksno pripet na telo, vztrajnostna matrika ne glede na gibanje
telesa ostaja konstantna. Vztrajnostni matriki, izraženi v osnovnem ter relativnem
koordinatnem sistemu, sta povezani z izrazom:
I 0 = RI i R T , (1.4)
v katerem matrika R predstavlja rotacijsko matriko, ki podaja orientacijo koordinatnega
sistema pripetega na telo glede na osi osnovnega koordinatnega sistema.
V postopku izpeljave Newton-Eulerjeve enačbe za rotacijsko gibanje je potrebno
odvajanje vrtilne količine in s tem tudi rotacijske matrike R. Pri tej operaciji
si pomagamo z vpeljavo antisimetričnih matrik, ki imajo nekatere ugodne
lastnosti. Neka matrika M je antisimetrična, če zanjo velja:
M T + M = 0 (1.5)
V obliki antisimetrične matrike je možno zapisati tudi vektor. Vektorju a s
komponentami [a x ,a y ,a z ] priredimo antisimetrično matriko z obliko:
⎡
0 −a z
⎤
a y
M(a) = ⎣ a z 0 −a x
⎦ (1.6)
−a y a x 0
3

Antisimetrična matrika M(a) izkazuje sledeče lastnosti, ki jih bomo koristno
uporabili pri izpeljavi Newton Eulerjevih dinamičnih enačb:
• Lastnost 1: Linearnost
M(αa + βb) = αM(a) + βM(b) (1.7)
• Lastnost 2: Produkt antisimetrične matrike M(a), ki opisuje vektor a, in
poljubnega vektorja p je enak vektorskemu produktu vektorjev a in p.
M(a)p = a × p (1.8)
• Lastnost 3: Za primer ortogonalne rotacijske matrike R velja:
RM(a)R T = M(Ra) (1.9)
• Lastnost 4: Za ortogonalne matrike, kakršne so tudi vse rotacijske matrike,
lahko dokažemo, da je odvod rotacije R enak produktu matrike R ter antisimetrične
matrike, ki opisuje trenutni vektor kotne hitrosti relativnega koordinatnega
sistema, ki rotira glede na osnovni koordinatni sistem:
Ṙ = M(ω)R (1.10)
Če zapišemo še povezavo med vektorjema kotnih hitrosti, izraženima glede na
osnovni in relativni koordinatni sistem, ki je ω 0 = Rω i oz. ω i = R T ω 0 , lahko
izrazimo vrtilno količino telesa h izraženo v osnovnem koordinatnem sistemu s
pomočjo veličin izraženih v relativnem koordinatnem sistemu:
h 0 = I 0 ω 0 = RI i R T Rω i = RI i ω i (1.11)
Z odvajanjem vektorja vrtilne količine h 0 glede na enačbi (1.3) in (1.10) tako
dobimo navor τ 0 , ki deluje na telo:
τ 0 = ḣ0 = ṘI iω i + RI i ˙ω i = M(ω 0 )RI i ω i + RI i ˙ω i (1.12)
Moment, ki deluje na telo pa je možno izraziti tudi glede na relativni koordinatni
sistem:
τ i = R T τ 0 = R T M(ω 0 )RI i ω i + R T RI i ω˙
i = M(R T ω 0 )I i ω i + I i ˙ω i , (1.13)
τ i = ω i × (I i ω i ) + I i ˙ω i (1.14)
4

Enačbi (1.2) in (1.4) predstavljata temelj za rekurzivno obravnavo sil in momentov
v sklepih n-segmentnega mehanizma. Rekurzivni postopek je zasnovan
na opisu dinamičnega ravnovesja sil in momentov postopno za vsak segment posebej.
V postopku rekurzivne obravnave segmenta za segmentom medsebojne
učinke med segmenti, ki nastopajo v sklepih, obravnavamo s pomočjo zakona o
akciji in reakciji. Slika 1.2 ponazarja grafično predstavitev veličin in parametrov,
ki so pomembni za opis dinamičnega ravnovesja sil in momentov i-tega segmenta
v večsegmentnem sistemu. Vse veličine in parametri so izraženi glede na lokalni
koordinatni sistem segmenta, katerega izhodišče običajno izberemo v težišču segmenta.
−f i+1
−τ i+1
sklep i + 1
r i+1,ci
Iα i
ω i × I i ω i
z i
m i a ci
y i
r ext
τ i
f i
r i,ci
m i g
sklep i
f ext
Slika 1.2: Grafična predstavitev sil in momentov, ki delujejo na segment i
N-segmentnemu mišično-skeletnemu sistemu izberemo osnovni koordinatni
sistem, ki mu pripišemo indeks 0 ter n lokalnih relativnih koordinatnih sistemov,
za katere velja, da indeks i pripišemo koordinatnemu sistemu, ki je pripet na i-ti
segment. V togem telesu, segmentu z indeksom i na sliki 1.2, nastopajo veličine:
a ci - translacijski pospešek težišča segmenta i
5

ω i - kotna hitrost i-tega koordinatnega sistema
α i - kotni pospešek i-tega koordinatnega sistema
g i - gravitacijski pospešek
f i - sila, ki jo izvaja i − 1 segment na i-ti segment v sklepu i
f i+1 - sila, ki jo izvaja i-ti segment na i + 1 segment v sklepu i + 1
f ext - zunanja sila, ki deluje na i-ti segment
τ i - navor, ki ga izvaja i − 1 segment na i-ti segment v sklepu i
τ i+1 - navor, ki ga izvaja i-ti segment na i + 1 segment v sklepu i + 1
R i+1
i - rotacijska matrika, ki predstavlja rotacijo koordinatnega sistema i+1
glede na i-ti koordinatni sistem
R i o - rotacijska matrika, ki predstavlja rotacijo koordinatnega sistema i glede
na osnovni koordinatni sistem
m i - masa segmenta i
I i - vztrajnostna matrika segmenta i, ki predstavlja vztrajnostne momente
segmenta glede na osi lokalnega koordinatnega sistema i z izhodiščem v
težišču segmenta
r i,ci - vektor, ki kaže od središča sklepa i do težišča segmenta i
r i+1,ci - vektor, ki kaže od središča sklepa i + 1 do težišča segmenta i
r ext - vektor, ki kaže od prijemališča zunanje sile do težišča segmenta i
Kot rečeno, Newton-Eulerjeva formulacija opisuje gibanje segmenta na podlagi
ravnotežja sil in momentov, ki delujejo nanj. Enačbi ravnotežja sil in momentov
se z uporabo enačb (1.2) in (1.4) za segment, ki je vpet med dva sklepa in na
katerega deluje dodatna zunanja sila, glasita:
f i − R i+1T
i f i+1 + R iT
0 f ext + m i g i = m i a ci (1.15)
τ i − R i+1T
i τ i+1 + f i × r i,ci + (R iT
0 f ext ) × r ext − R i+1T
i f i+1 × r i+1,ci =
= I i α i + ω i × (I i ω i ) (1.16)
6

V enačbi (1.16) ne nastopa sila gravitacije, ki ima prijemališče v težišču segmenta.
Ker se v težišču nahaja tudi izhodišče lokalnega koordinatnega sistema,
gravitacijska sila deluje z ročico nič in zato ne povzroča momenta na segment.
Iz enačb (1.15) in (1.16) je razvidno, da je potrebno za določitev vektorjev
momentov in sil v sklepu i poznati:
• sile in prijemališče sil, ki delujejo na površini segmenta (f ext ,r ext,ci ),
• položaj, hitrost ter pospešek gibanja koordinatnega sistema in s tem težišča
segmenta (R i+1
i ,R i o,a ci ,ω i ,α i ),
• maso segmenta (m i ) ter položaje središč sklepov na segmentu (r i,ci ,r i+1,ci ),
• vztrajnostno matriko segmenta (I i ),
• ter sile in momente, ki delujejo v sosednjem sklepu (f i+1 ,τ i+1 ).
Kinematične parametre in zunanje sile (alinei 1 in 2) je pri študijah gibanja
človeka potrebno določiti neposredno z meritvami, medtem ko so parametri alinej
3 in 4 značilni za človeško telo in jih je moč določiti s pomočjo antropometričnih
podatkov dosegljivih v literaturi. Newton-Eulerjeva analiza je v osnovi rekurzivni
postopek, ki ločeno obravnava segment za segmentom od začetnega do končnega,
zato so sile in momenti sosednjega sklepa iz zadnje alineje določeni v predhodnem
koraku postopka.
7

1.2 Vztrajnostni parametri segmentov telesa
Analiza dinamičnih parametrov gibanja človeškega telesa zahteva poznavanje mas
in vztrajnostnih momentov posameznih segmentov telesa. Običajno vztrajnostne
parametre povzamemo po literaturi (npr. [6]). Vztrajnostni moment masnega
delca, ki rotira okrog neke osi, je določen kot produkt mase in kvadrata pravokotne
razdalje do osi rotacije. Analogno je vztrajnostni moment telesa, ki rotira
okrog neke osi a, določen kot vsota produktov infinitizimalnih mas in kvadratov
njihovih razdalj do osi rotacije (i a = ∑ m i li 2 ). Enakovredno lahko izrazimo
vztrajnostni moment telesa tudi kot produkt radija vrtenja (ang. radius of gyration)
in celotne mase telesa (i a = mka). 2 V literaturi so za telo, ki ima v težišču
fiksno pripet koordinatni sistem, podani trije vztrajnostni momenti glede na vrtenje
okrog posameznih osi koordinatnega sistema. Če osi koordinatnega sistema
potekajo vzdolž prostih osi so deviacijski momenti enaki nič in vztrajnostna matrika
segmenta ima obliko:
⎡ ⎤ ⎡
⎤
i x 0 0 mkx 2 0 0
I = ⎣0 i y 0⎦ = ⎣ 0 mky 2 0 ⎦ (1.17)
0 0 i z 0 0 mkz
2
Tabela 1.3 podaja mase segmentov, izražene v procentih celotne mase telesa,
in faktorje radijev vrtenja, izražene v procentih celotne dolžine segmenta, povzete
po De Levi. Gornji del trupa je avtor razdelil v dva dela in podal podatke za
vsak del ločeno. Tako je masa gornjega dela trupa vsota obeh delov trupa ter
vztrajnostni momenti vsota vztrajnostnih momentov obeh delov trupa. Parametri
za oba ločena dela trupa so navedeni v tabeli pod parametri za gornji del trupa.
8

Slika 1.3: Vztrajnostni parametri segmentov človeškega telesa
9

1.3 Rekurzivni postopek izračuna sil in momentov
v sklepih
Newton-Eulerjeva inverzna dinamična analiza temelji na rekurzivnem izračunu sil
in momentov v posameznih sklepih večsegmentne strukture. Postopek izračuna
poteka od začetnega segmenta, ki je običajno v dotiku z okolico, preko segmentov
vpetih med dva sklepa do končnega segmenta. Zunanje sile in momenti lahko
delujejo na katerikoli segment v verigi s poljubnim prijemališčem, važno je le,
da silo poznamo oziroma jo znamo izmeriti. Telo osebe, ki se opira na roke,
tvori zaprto kinematično verigo, kar pomeni, da je struktura vsaj na dveh koncih
v dotiku z okolico. Kinematična veriga osebe je razvejane oblike, ki jo tvorijo
veje štirih ekstremitet. Zaradi tega sil in momentov po celotni verigi ni možno
računati iz poljubne smeri, saj je sistem pri razvejitvi matematično nedoločen.
Sile in momente zato za spodnji del telesa določimo iz smeri desnega stopala
proti medenici, kjer v kolčnem sklepu preslikamo izračunane veličine z desnega
sklepa v levega. Gornji del telesa pa obravnavamo iz smeri desne roke v ožjem
smislu proti gornjemu delu trupa, kjer v ramenskih sklepih opravimo preslikavo
izračunanih parametrov desnega sklepa v levi sklep. Celotni postopek izračuna
je grafično ponazorjen na sliki 1.4. Obremenitve, ki nastopajo v lumbosakralnem
sklepu so na ta način izračunane z dveh različnih smeri.
10

središa
sile in momenti
v vratu
Slika 1.4: Grafična ponazoritev Newton-Eulerjeve metode izračuna momentov v
sklepih
11

Literatura
[1] L. A. Geddes, L. E. Baker, Principles of Applied Biomedical Instrumentation,
[2] R. S. C. Cobbold, Transducers for Biomedical Measurements: Principles
and Applications
[3] D. A. Winter, Biomechanics of Human Movement Winter, John Wiley and
Sons, New York, 1979.
[4] R. Contini, Body Segment Parameters, Part ii. Artificial Limbs, Vol. 16, No.
1, pp. 1-19, 1972.
[5] V. Zatsiorsky, V. Seluyanov, The Mass and Inertia Characteristics of the
Main Segments of the Human Body. Biomechanics VIII-B, edited by Matsui,
H. and Kabayashi, K., pp. 1152-1159, Human Kinetics, Champaign,
Illinois, 1983.
[6] P. De Leva, Adjustments to Zatsiorksy-Seluyanov’s segment inertia parameters
J. Biomech., vol. 29, pp. 1223-1230, 1996.
12