2.3 Trdnost in elasticnost

2.3 TRDNOST IN ELASTIČNOST 27 

2.3 Trdnost in elastičnost 

V naravi popolnoma togih teles ni. Pri statiki in dinamiki predpostavljamo popolnoma toga telesa 

zaradi enostavnosti izračunov. Nauk o trdnosti in elastičnosti trdnih teles obravnava obnašanje elementov, 

ki prenašajo obremenitve in se zaradi tega deformirajo. Trdnost materialov je notranji odpor 

najmanjših delcev, ki se upirajo porušitvi in spremembi notranjih kohezijskih sil. Te sile delce vežejo 

in ohranjajo strukturo snovi. 

Zunanje obremenitve in momenti povzročajo na materialnem nosilcu notranje sile, ki se zoperstavljajo 

zunanjim. V primeru dovolj velike trdnosti se material minimalno deformira, hkrati pa se hkrati 

vzpostavi ravnotežje med zunanjimi in notranjimi silami. Nauk o trdnosti in elastičnosti študira navedene 

odnose in razvija orodja in metode s katerimi moremo nosilnim elementom določiti optimalne 

dimenzije. Cilj je zagotavljanje primarne funkcionalnosti ob zagotovitvi varnosti in ekonomičnosti 

konstrukcije. 

2.3.1 Definicija notranjih napetosti 

Predstavljajmo si, da je trdno elastično telo obremenjeno z zunanjimi silami, ki jih tvorijo sile obremenitve 

in sila gravitacije F1,F2,...Fn. Te sile so pri mirovanju v ravnotežju. 

Telo prerežemo z ravnino S na kateri si izberemo točko P . Iz točke potegnemo normalno na ravnino 

�n. Z rezom je telo razdeljeno na dva dela, in sicer na spodnji (I.) ter zgornji (II.) del. Zgornji del 

namišljeno odstranimo, njegovo delovanje na spodnji del pa reduciramo na ploskev S. Delovanje s 

katerim gornji del deluje na spodnjega se kaže v enakomerno porazdeljeni sili, ki deluje preko celotnega 

prereza S. To veličino, ki je sila na enoto površine, imenujemo napetost. Rezultanto zunanjih 

sil reduciramo v točko P , njen vpliv pa lahko porazdelimo po prerezu S, kateremu se upirajo notranje 

sile. Če je bil sistem v stacionarnem stanju, potem bo v stacionarnem stanju tudi po redukciji sil na 

ploskev S. 

x 

z 

o 

�F1 

�F2 

�FP 

�n 

P 

I. 

II. 

�Fj 

�F3 

s 

y 

�Fn 

Slika 2.17: Trdno elastično telo, na katerega delujejo zunanje sile, prerezano na dva dela 

x 

o 

z 

�F1 

�p 

d � F 

�F2 

τ 

�n 

ϕ σ 

I. 

ds 

�F3 

s 

y

28 Poglavje 2. STATIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES V MIROVANJU 

V točki P na diferencialni površini ds deluje sila d � F , česar posledica je splošna napetost �p. Projekcija 

napetosti �p na normalo predstavlja natezno napetost, ki jo označimo z grško črko σ, projekcija 

napetosti �p na ravnino S pa predstavlja strižno napetost, ki jo označimo z grško črko τ. Dimenzija 

napetosti je N/m 2 . Če je normalna napetost usmerjena v smeri +�n, jo imenujemo natezno in označimo 

s simbolom +σ, če pa je usmerjena v smeri −�n, jo imenujemo tlačna in označimo s simbolom 

−σ. Tangencialna napetost, ki želi telo pristriči po ploskvi S, se imenuje strižna napetost. Njena 

usmerjenost ne vpliva na predznak in je vedno pozitivna, torej označena s simbolom +τ. 

Splošna napetost imenovana tudi specifična obremenitev �p v točki P je: 

�p = d� F 

ds 

kjer je d � F elementarna notranja sila. (2.24) 

Nateg oz. normalna napetost σ ter strig oz. tangencialna napetost τ pa sta: 

σ = �p cos ϕ 

τ = �p sin ϕ 

2.3.1.1 Središče tlaka in težišče ravninskega lika 

|�p| = √ σ 2 + τ 2 (2.25) 

Kadar tlak ali nateg deluje enakomerno preko neke površine S, potem lahko nadomestimo to delovanje 

z rezultančno silo, ki prijemlje v težišču ravninskega lika in ima velikost: 

F = σ 

A 

[ N 

m 2m2 = N] (2.26) 

Koordinate težišča določimo preko momentne enačbe, saj mora biti učinek momenta enakomerno 

porazdeljene obremenitve enak učinku momenta rezultančne sile F . 

yi 

o 

xi 

x 

A 

p 

dAi 

Slika 2.18: Enakomerno razporejena obremenitev 

y 

yi 

xi 

Ploskovni moment je enak vsoti posameznih momentov: 

n� 

Ar = dAiri 

i=1 

Iz česar določimo koordinate težišča: 

x = 

y = 

�n i=1 xi dAi 

�n i=1 dAi 

�n i=1 yi dAi 

�n i=1 dAi


2.3.1.2 Napetostni tenzor 

Če bi skozi točko P na sliki 2.20 izbrali drugo ravnino, bi ploskev imela drugo normalo �n ′ . Ker je 

splošna napetost �p enaka, dobimo drugačen kot ϕ ′ ter drugačno tlačno in strižno komponento napetosti 

σ ′ in τ ′ . Skozi točko lahko potegnemo neskončno ravnin, torej lahko dobimo tudi neskončno različnih 

napetosti. Vsa množica možnih napetosti σ in τ predstavlja napetostno stanje v točki P . Možno je 

dokazati, da se napetostno stanje v točki P glede na koordinatni sistem o;x,y,z da opisati z devetimi 

elementi, pri čemer ima šest elementov še lastnost, da sta dva in dva elementa enaka. Prostorsko 

stanje napetosti je tako določeno s šestimi elementi. Skupina devetih elementov se imenuje napetostni 

tenzor, elementi pa tenzorske komponente. 

Izberimo ploskev ds, ki je vzporedna ravnini z − y. Napetostim, ki delujejo na ploskev, pripišimo 

indekse po pravilu, da prvi indeks označuje smer normale na ravnino, drugi indeks pa označuje smer 

vzdolž katere napetost deluje. Torej σ(smer normale)(smer delovanja). 

Za primer na sliki označimo normalno napetost kot σxx oz. krajše σx, ker je x smer normale na 

ravnino. Tangencialno napetost τx, ki leži v ravnini s in ima dve komponenti, ki delujeta vzdolž z in 

y osi koordinatnega sistema, označimo kot τxz in τxy. 

x 

σx 

z 

o 

ds 

P 

�p 

Slika 2.19: Napetostne komponente, ki delujejo na ravnini z − y 

Podobno lahko skozi točko P položimo ravnino, ki je vzporedna z ravnino x − z in dobimo 

komponente napetosti σy,τyx in τyz. V primeru, da skozi točko P položimo ravnino, ki je vzporedna 

z ravnino x − y, pa dobimo napetosti σz,τzx in τzy. To je devet komponent napetostnega tenzorja, ki 

popolnoma opisuje napetostno stanje v točki P . Točko lahko obravnavamo kot infinitizimalno kocko, 

katere dimenzija je zmanjšana z limitiranjem proti nič. Takšna točka ima šest ploskev na katerih 

delujejo sile vzdolž osi koordinatnega sistema. 

Na vsako ploskev delujejo tri komponente napetosti, skupaj torej osemnajst. Vsaka ploskev ima 

nasprotno ploskev, na kateri delujejo tudi tri komponente, ki pa so nasprotno usmerjene, da je ohranjeno 

ravnotežje. Ker je sistem v ravnotežju mora veljati vseh šest ravnotežnih pogojev; trije za sile 

in trije za momente. Če predpostavimo, da so dolžine stranic kocke enake ∆x, ∆y in ∆z, lahko 

τxz 

y 

τxy 

τx


σy 

τ yz 

σx 

∆y 

τ yx 

τxz 

τxy 

τ zy 

σz 

τzx τzy 

z 

P 

τ xy 

x y τ xz 

τ zx 

σz 

Slika 2.20: Napetosti, ki delujejo v točki P , na ploskvah infinitizimalne kocke 

zapišemo ravnotežno enačbo za momente okoli osi z: 

� Mzi = 0 : τxy(∆y∆z)0.5∆x+τ xy(∆y∆z)0.5∆x −τyx(∆x∆z)0.5∆y −τ yx(∆x∆z)0.5∆y = 0 

kar je enako 

iz česar sledi 

τyx 

∆x 

σx 

τyz 

σy 

∆z 

2 τxy(∆y∆z)0.5∆x − 2 τyx(∆x∆z)0.5∆y − y = 0 

τxy = τyx 

Podobno lahko izpeljemo tudi iz ostalih dveh momentnih enačb: 

� Mxi = 0 ⇒ τyz = τzy 

� Myi = 0 ⇒ τzx = τxz 

Na podlagi izpeljanega velja izrek, ki pravi, da sta dve tangencialni napetosti, ki se srečata na pravokotnem 

robu in imata torej obrnjen red indeksov, po velikosti vedno enaki. 

Napetostno stanje v točki P , ki je opisano z devetimi napetostmi, lahko zapišemo v matrični 

obliki. Matriko imenujemo napetostni tenzor: 

⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ 

⎢ 

⎣ 

dfx 

dAx 

dfx 

dAy 

dfx 

dAz 

dff 

dAx 

dfy 

dAy 

dfy 

dAz 

dfz 

dAx 

dfz 

dAy 

dfz 

dAz 

⎥ 

⎦ = 

⎣ 

σx τxy τxz 

τyx σy τyz 

τzx τzy σz 

V matriki nastopajo natezne ali tlačne napetosti po diagonali, izven diagonale pa tangencialne oz. 

strižne. Glede na gornji izrek obstaja simetrija preko glavne diagonale, zato govorimo o simetričnem 

tenzorju, ki vsebuje šest neodvisnih spremenljivk. 

⎦


Pri ravninskem stanju napetosti, ki nastopi, če se napetosti pojavijo v ravnini, namesto kocke 

obravnavamo ploskev z dimenzijami ∆x∆y in infinitizimalno debelino δ. Ravnotežje za ravninski 

element je zagotovljeno z: 

� Fxi = 0 

� Fyi = 0 

� Mzi = 0 

Z izpeljavo ravnotežnih enačb po gornjem zgledu ugotovimo, da sta tangencialni napetosti, ki se 

srečujeta na pravokotnih robovih ploskve, enaki τxy = τyx. Normalni napetosti pa sta σx in σy. Tako 

napetostni tenzor za ravninsko stanje vsebuje le štiri komponente, pri čemer sta diagonalni enaki: 

� σx τxz 

τyx σy 

Napetost je matematični pojem, ki je definiran kot sila, ki deluje na orientirano površino v neki 

točki. Napetostno stanje v točki opisuje napetostni tenzor z ozirom na določen koordinatni sistem. 

Ker je lahko koordinatni sistem postavljen poljubno, je tudi napetostnih tenzorjev za isto točko v 

nosilcu več. 

V nekaterih primerih je izračun napetosti v enem koordinatnem sistemu bolj primeren kot npr. v 

drugem. Lep primer tega je pravokotna struktura, ki je zlepljena iz dveh kosov pod nekim kotom. 

Ker je lepilo odpornejše na tangencialne obremenitve v primerjavi z normalnimi, je zanimivo določiti 

kolikšen delež sil obremenitve rezultira v smeri tangencialno in normalno na rez. 

f 

f 

f 

P 

P 

τxy 

' 

P 

Slika 2.21: Napetosti v točki P izražene glede na različne koordinatne sisteme 

V problemih biomehanike se zaradi primernosti poleg Kartezijevega uporabljajo tudi drugi koordinatni 

sistemi. Tako je npr. pri analizi srčno-žilnega sistema zaradi cevaste oblike ožilja primerna 

τxy 

σx 

σ ′ x 

� 

y' 

y 

α 

f 

x' 

x


uporaba cilindričnih koordinat. Podobno je pri analizi celičnih struktur ali npr. mehurja najprimernejša 

uporaba krogelnih koordinat. Ne glede na uporabljeni koordinatni sistem pa dogovorjena notacija 

za napetosti σ(smer normale)(smer delovanja) drži. V cilindričnih koordinatah (r,θ,z) ima tenzor 

naslednjo obliko in pomen: 

⎡ 

⎣ 

σrr τrθ τrz 

τθr σθθ τθz 

τzr τzθ σzz 

⎤ 

⎦ dr 

σzz 

σθθ 

τzθ 

τθz 

Slika 2.22: Napetosti izražene v cilindričnem koordinatnem sistemu 

V krogelnih koordinatah (r,θ,φ) pa tenzor dobi naslednjo obliko: 

⎡ 

⎣ 

σrr τrθ τrφ 

τθr σθθ τθφ 

τφr τφθ σφφ 

⎤ 

⎦ 

σθθ 

σrr 

sff 

σrr 

sff 

σθθ 

dz 

τzθ 

τθz 

dθ 

σθθ 

σzz 

σθθ 

σrr 

τrθ 

τθr 

σθθ 

τθr 

P 

τrθ 

σrr


2.3.2 Transformacija napetosti med koordinatnimi sistemi 

Če želimo analizirati poljubno orientirano ravninsko napetostno stanje v notranjosti nosilca, kot je to 

prikazano na sliki 2.21, okoli točke P izrežemo diferencialno prizmo, na kateri študiramo napetosti. 

Cilj je transformirati napetosti iz koordinatnega sistema x−z v koordinatni sistem x ′ −y ′ , ki je zavrten 

za kot α. 

dy 

σxx 

τxy 

α 

τyx 

dx 

ds 

τxy' 

σyy 

σxx' 

Sistem je v ravnotežju, zato lahko zapišemo ravnotežno enačbo za sile vzdolž smeri x ′ : 

� Fx ′ = 0 : σ′ xxδds − (σxxδdy) cosα − (τyxδdy) cos α− 

δ 

y' 

−(σyyδdx) sin α − (τxyδdy) sin α = 0 

Če uporabimo enakosti dx = ds sin α, dy = ds cos α in τxy = τyx ter izraz okrajšamo s površino δds, 

dobimo: 

σ ′ xx = σxx cos 2 α + σyy sin 2 α + 2τxy sin α cos α (2.27) 

Z upoštevanjem trigonometričnih izrazov 

cos 2 α = 

dobi enačba (2.80) obliko 

oz. 

1+cos 2α 

2 , sin 2 α = 

1−cos 2α 

2 , sin 2α = 2sinα cosα (2.28) 

σ ′ 1+cos 2α 1−cos 2α 

xx = σxx + σyy + τxy sin 2α 

2 

2 

σ ′ xx = σxx+σyy 

2 

+ σxx−σyy 

2 

cos 2α + τxy sin 2α 

y 

α 

x' 

x 

(2.29)


Podobno zapišemo ravnotežno enačbo za sile, ki delujejo vzdolž smeri y ′ : 

� Fy ′ = 0 : τ ′ xzδds + (σxxδdy) sin α − (τxyδdy) cos α− 

−(σyyδdx) cos α + (τyxδdy) sin α = 0 

Z uporabo gornjih že uporabljenih enakosti in trigonometričnih izrazov izpeljemo: 

τ ′ xy = 2 sin α cosα � � σyy−σxx 2 2 + (cos α − sin α)τxy 

2 

oz. 

τ ′ xy = σyy−σxx 

2 

sin 2α + τxy cos 2α 

(2.30) 

Enačbi (2.29) in (2.30) predstavljata orodje za določitev napetosti v poljubnem Kartezijevem koordinatnem 

sistemu, ki je za kot α zavrten glede na prvotni koordinatni sistem in ima z njim skupno 

izhodišče. Tako je ravnotežje sil potrebno določiti le enkrat v koordinatnem sistemu, ki je za to 

najprimernejši. Podobne transformacijske enačbe veljajo tudi za tridimenzionalni problem. 

2.3.3 Glavne napetosti in maksimalen strig 

Ker je v isti točki nosilnega elementa možno določiti različne napetosti z ozirom na izbiro koordinatnega 

sistema, torej glede na kot α, nas zanima ali je možno poiskati tak koordinatni sistem v katerem 

bodo nastopale maksimalne oz. minimalne normalne in tangencialne napetosti. Izračun ekstrema 

zahteva določitev prvega odvoda glede na kot α, ki ga izenačimo z nič: 

oz. 

dσ ′ xx 

dα = σxx − σyy 

2(−sin2α) + τxy2(cos2α) = 0 (2.31) 

2 

sin 2α 

cos 2α = 

τxy 

σxx − σyy/2 

= tan 2α (2.32) 

Kar pomeni, da maximalna ali minimalna normalna napetost σ ′ xx nastopi pri kotu α, ki mu pripišemo 

indeks p: 

αp = 1 

2 tan−1 

� � 

2τxy 

σxx − σyy 


Ekstremne napetosti imenujemo glavne napetosti, indeks p pa izhaja iz angleške besede principal. 

Iz gornje enačbe sledi, da kadarkoli je tangencialna napetost τxy = 0, je kot αp = 0, kar pomeni, da 

sta napetosti σxx in σyy maksimalni ali minimalni vrednosti. Nadalje, če sta normalni napetosti enaki 

(σxx = σyy), iz enačbe sledi, da je tan 2αp = ∞. V tem primeru je 2αp = π/2 oz. αp = π/4, saj gre 

funkcija tangens v neskončnost pri vrednosti π/2. Za vse ostale vrednosti napetosti kot αp določimo 

iz enačbe(2.34). Funkcija tangens ima periodo π, zato velja 

tan(2α ± kπ) = tan(2(α ± kπ 2τxy 

)) = 

2 σxx − σyy 

k = 0, 1, 2,... (2.34)


Za nas sta pomembni prvi dve rešitvi, in sicer, pri k = 0 dobimo kot α1 ter pri k = 1 kot α2 = 

α1 ± π/2. Če vstavimo vrednosti kotov α1 in α2 v enačbi za izračun napetosti σ ′ xx in τ ′ xx ((2.29) in 

(2.30)) , dobimo glavni napetosti σ1 = σ ′ xx|max/min in σ2 = σ ′ yy|max/min ter pripadajoči tangencialni 

napetosti τxy = τyx. 

Ker je tangens kota v trikotniku enak razmerju nasprotiležne in priležne stranice, lahko enačbo 

(2.33) trigonometrijsko interpretiramo kot je to prikazano na spodnji sliki. 

Iz slike sledi 

kjer je hipotenuza trikotnika enaka 

Podobno zapišemo še 

2α 

h 

σxx−σyy 

2 

τxy 

Slika 2.23: Trigonometrijska interpretacija enačbe (2.34) 

h = 

sin 2αp = τxy 

h 

� 

�σxx 

�2 − σyy 

2 

+ τ 2 xy 

cos 2αp = (σxx − σyy)/2 

h 

Če uporabimo gornji relaciji za sin 2αp in cos 2αp v enačbi (2.29) dobimo: 

σ ′ xx|min/max = σ ′ xx(α = αp) = σxx + σyy 

2 

+ σxx − σyy 

2 

x 

� � 

(σxx − σyy)/2 

h 

+ τxy 

� � 

τxy 

h 





V gornjem izrazu lahko drugi in tretji člen združimo na skupni imenovalec ter ulomek pomnožimo z 

ena, to je s kvocientom h 

h : 

σ ′ xx|min/max = σxx + σyy 

2 

� 

((σxx − σyy)/2) 

+ 

2� 

h 

+ τ 2 h 

xy 

h 

(2.39)


iz česar izpeljemo enačbo za dve glavni napetosti 

σ1,2 = σ ′ xx,yy|min/max = σxx + σyy 

2 

± 

� 

�σxx 

�2 − σyy 

2 

+ τ 2 xy 

(2.40) 

Tangencialno napetost pri kotu α = αp dobimo tako, da vstavimo αp v enačbo (2.30): 

τ ′ � � �τxy 

σyy − 

� � � 

σxx 

(σxx − σyy)/2 

xy(α = αp) = 

+ τxy 

= 0 (2.41) 

2 h 

h 

iz česar sledi, da je strižna napetost pri minimalni ali maksimalni vrednosti normalne napetosti vedno 

enaka nič. Z drugimi besedami, v primeru glavnih napetosti delujejo samo natezne ali tlačne napetosti 

vzdolž glavnih osi, brez striga. 

V primeru, da nas zanima vprašanje, podobno kot za normalne napetosti, pri katerem kotu α 

doseže tangencialna napetost maksimalno ali minimalno vrednost, moramo odvajati izraz (2.30) glede 

na kot α in ga izenačiti z nič: 

ali 

dτ ′ xy 

dα = σyy − σxx 

2 

(cos 2α)2 + τxy(− sin 2α)2 = 0 (2.42) 

sin 2α 

cos 2α = (σyy − σxx)/2 

τxy 

= tan 2α (2.43) 

Če označimo kot α pri katerem strig doseže maksimum ali minimum z indeksom s, dobimo: 

2αs = tan −1 

� � 

σyy − σxx 

2τxy 

(2.44) 

Iz enačbe je razvidno, da kadar sta normalni napetosti σyy in σxx enaki, je kot αs = 0, napetost τ ′ xy 

pa doseže ekstrem. Kadar je τxy enak nič, velja 2αs = π/2 oz. αs = π/4. Če se spomnimo, da je 

strig enak nič v stanju glavnih napetosti, spoznamo, da sta kota αs in αp medsebojno zamaknjena za 

π/4 oz. 45o . Z vpeljavo izraza za αs v enačbo (2.30) in uporabo trigonometričnih relacij s slike 2.23, 

dobimo 

kar lahko drugače zapišemo kot 

τ ′ xy|min/max = τ ′ xy(α = αs) = σyy − σxx 

2 

τ ′ xy|min/max = ± 

� �σyy − σxx 

2 

� � 

σyy − σxx 

� 2 

2h 

+ τ 2 xy 

τxy 

+ τxy 

h 

Gornji izraz je zaradi kvadriranja lahko enak izrazu (2.36) za hipotenuzo trikotnika h 

τm = τ ′ � 

�σxx 

�2 − σyy 

xy|min/max = ± 

+ τ 

2 

2 xy 

(2.45) 

(2.46) 

(2.47)


Tukaj sta važni dve stvari. Prvič, pri kotu α = αs normalne napetosti niso nič (kot je to primer za 

strig pri α = αp). Drugič, v primeru glavnih napetosti pri α = 0 sta glavni napetosti kar σxx in 

σyy, medtem ko je τxy = 0. V tem primeru je ekstremna vrednost striga τm = τ ′ xy|min/max preprosto 

polovica razlike med glavnima napetostima: 

τm = τ ′ xy|min/max = ± σ1 − σ2 

2 

(2.48) 

Na koncu povzamimo postopek za določitev maksimalnih napetosti v notranjosti nosilnega elementa: 

• najprej iz ravnotežnih enačb določimo napetosti σxx,σyy in τxy, 

• s tranformacijskimi enačbami izračunamo σ ′ xx,σ ′ yy in τ ′ xy za katerikoli kot α, 

• ekstrem za normalne napetosti določimo z operacijo dσ′ xx 

dα 

= 0, kar da za razultat kot αp, 

• s pomočjo trigonometrije poiščemo maksimalne napetosti σ ′ xx(αp) = σ ′ xx|min/max,τ ′ xy = 0,σ ′ yy(αp) = 

σ ′ yy|min/max, 

• ekstrem za tangencialne napetosti pa določimo z operacijo dτ ′ xz 

dα 

= 0, kar da za rezultat kot αs, 

• s pomočjo trigonometrije poiščemo maksimalno tangencialno napetost τ ′ xy(αs) = τ ′ xy|min/max, 

pri čemer pa normalni napetosti σ ′ xx(αs) in σ ′ yy(αs) nista nič.


2.4 Deformacije 

To poglavje obravnava realne lastnosti materialov, ki se praktično vsi, pod vplivom zunanjih obremenitev 

na nateg, tlak ali strig, deformirajo. Deformacije - spremembe oblike - povzročata normalna in 

tangencialna napetost σ in τ. Poznamo dve vrsti deformacij, in sicer: 

• elastične in 

• plastične deformacije. 

V primeru plastičnih deformacij se material, po prenehanju obremenitve, povrne nazaj v izhodiščno 

stanje. V tem primeru gre za reverzibilen pojav. Material se v osnovno stanje vrača preko istih 

točk kot pri raztegovanju - torej ne nastopa histereza. V primer plastičnih deformacije se material 

ne povrne v začetno obliko, kot jo je imel pred obrementivijo. V naravi navadno ne najdemo čisto 

elastičnih ali čisto plastičnih materialov; običajno se pojavlja kombinacija obojih. 

2.4.1 Deformacija pri nategu 

Natezne sile povzročajo normalne natezne napetosti σ, zaradi katerih pride do deformacije. 

l 

l0 

S 

S0 

Slika 2.24: Deformacije pri nategu 

F 

Za nateg velja: 

l0 → l ; l > l0 

S0 → S ; S < S0 

Rezultirajoči raztezek: 

∆l = l − l0 ; ∆l > 0 

Rezultirajoča kontrakcija: 

∆S = S − S0 ; ∆S < 0 

Pri nategu nastopa specifični raztezek ǫ, ki je definiran kot relativna sprememba dolžine. ǫ je torej 

raztezek dolžine normiran na prvotno dolžino in je zato brezdimenzijsko število. 

ǫ = ∆l 

l0 

= l − l0 

Če je ǫ znan, lahko iz njega izračunamo prvotno dolžino l: 

l0 

(2.49) 

l = l0(1 + ǫ) (2.50)

2.4 DEFORMACIJE 39 

Specifična kontrakcija prereza ψ je kontrakcija prereza normirana na prvotni prerez. Je brezdimenzijsko 

število in vedno nastopa kot pozitivno število (ψ > 0). Zato jo pri nategu zapišemo z negativnim 

predznakom. 

−ψ = ∆S 

= S − S0 

(2.51) 

Če je ψ znan, lahko izračunamo presek S: 

2.4.2 Tlačna deformacija 

S0 

S0 

S = S0(1 − ψ) (2.52) 

Tlačne deformacije nastopijo pri delovanju tlačnih sil. Kadar npr. valj iz Aluminija obremenimo na 

tlak s silo F , se zaradi tega ta sesede in odebeli. 

l 

l0 

Slika 2.25: Deformacije pri tlačnem delovanju 

S 

S0 

F 

Pri tlačnem delovanju velja: 

l0 → l ; l < l0 

S0 → S ; S > S0 

Rezultirajoči skrček: 

∆l = l − l0 ; ∆l < 0 

Rezultirajoča ekspanzija: 

∆S = S − S0 ; ∆S > 0 

Pri tlaku dobimo specifični skrček ǫ, ki je, tako kot zgoraj, definiran kot relativna sprememba 

dolžine. ǫ naj bo vedno pozitivno število (ǫ > 0), zato ga zapišem z negativnim predznakom. 

−ǫ = ∆l 

l0 

= l − l0 

Če je ǫ znan, lahko iz njega izračunamo prvotno dolžino l: 

l0 

(2.53) 

l = l0(1 − ǫ) (2.54)


Specifična ekspanzija prereza ψ je kontrakcija prereza normirana na prvotni prerez. Je brezdimenzijsko 

in pozitivno število (ψ > 0). 

ψ = ∆S 

= S − S0 

(2.55) 

Če je ψ znan, lahko izračunamo prvotni prerez S: 

2.4.3 Poissonov koeficient in število 

S0 

S0 

S = S0(1 + ψ) (2.56) 

Poissonov koeficient in število opisujeta razmerje med osnimi in prečnimi deformacijami. Če obremenimo 

elastični kvader z natezno silo vzdolž longitudinalne osi, se ta podaljša in skrči. 

Specifični raztezek je definiran kot: 

F F 

c0 

c 

Slika 2.26: Osne in prečne deformacije pri nategu 

c = c0 + ∆c ⇒ c = c0(1 + ∆c 

c0 ) 

a = a0 − ∆a ⇒ a = a0(1 − ∆a 

a0 ) 

b = b0 − ∆b ⇒ b = b0(1 − ∆b 

b0 ) 

ǫ = ∆c 

c0 

a 

a0 

b 

b0 

(2.57) 

Predpostavimo homogen in izotropen material, kar pomeni, da so lastnostni v vseh smereh enake. V 

tem primeru je prečni specifični skrček, ki mu pripišemo index p, enak: 

Z upoštevanjem gornjih relacij zapišemo: 

−ǫp = ∆a 

a0 

= ∆b 

b0 

c = c0(1 + ǫ) 

a = a0(1 − ǫp) 

b = b0(1 − ǫp) 

(2.58)


Ob predpostavki homogenega in izotropnega materiala, je razmerje med specifičnim raztezkom in 

prečnim specifičnim skrčkom ǫ in ǫp konstanta, neglede na velikost sile in ostalih parametrov. 

Poissonov koeficient µ je definiran kot razmerje: 

ǫ 

ǫp 

µ = ǫp 

ǫ 

= konstanta (2.59) 

µ 1 (2.61) 

Poglejmo si, kako je specifična kontrakcija ψ odvisna od prečnega specifičnega skrčka ǫp (ψ = 

f(ǫp)): 

−ψ = S−S0 

S0 

= ab−a0b0 

a0b0 

= a0(1−ǫp)b0(1−ǫp)−a0b0 

a0b0 

= 1 − 2ǫp + ǫ 2 p − 1 (2.62) 

Ker je ǫp majhen, je njegov kvadrat ǫ 2 p še manjši (ǫp >> ǫ 2 p). Zato izraz poenostavimo: 

−ψ = −2 ǫp 

ψ = 2 ǫp = 2 ǫ µ = 

2 ǫ 

m 

(2.63) 

Če kvader v vzdolžni smeri c obremenimo na tlak, dobimo enak rezultat, z razliko, da takrat velja: 

2.4.4 Volumska deformacija 

S = S0(1 + ψ) namesto S = S0(1 − ψ) kot pri nategu. (2.64) 

Volumska deformacija je definirana kot deformacija prostornine pri enoosni obremenitvi kvadra: 

c 

c0 

F F 

Slika 2.27: Volumska deformacija 

a 

a0 

b 

b0 

Volumska deformacija: 

∆V = V − V0


Specifična volumska deformacija e je pri tem definirana kot: 

e = ∆V 

V0 

= V − V0 

V0 

(2.65) 

kjer je V0 = a0 b0 c0 volumen pred obremenitvijo in V = a b c volumen pri obremenitvi. Velja 

enakost: 

V = a b c = a0(1 − ǫp) b0(1 − ǫp) c0(1 + ǫ) (2.66) 

V tem primeru lahko e izrazimo kot: 

e = a0 b0 c0(1 − ǫp) 2 (1 + ǫp) − a0 b0 c0 

= (1 − ǫp) 

a0 b0 c0 

2 (1 + ǫp) − 1 = 

= 1 − 2 ǫp + ǫ 2 p + ǫ − 2 ǫ ǫp + ǫ 2 p ǫ − 1 (2.67) 

Zaradi majhnosti zanemarimo kdvadratne člene ǫ 2 p in ǫǫp: 

e . = ǫ − 2 ǫp = ǫ − 2ǫ 

m 

(2.68) 

kar nas privede do izraza za specifično volumsko deformacijo, kjer je ta izražena s poissonovim 

številom m in specifičnim raztezkom ǫ: 

Iz enačbe (2.69) je razvidno da: 

e = ∆V 

V 

m − 2 

= ǫ (2.69) 

m 

• če je m = 2, bo volumski raztezek enak nič (v naravi takšnega materiala ni) 

• če je m > 2, se bo volumen pod vplivom enoosne obremenitve povečal 

• če je m < 2, se bo volumen pod vplivom enoosne obremenitve zmanjšal 

V področju elastičnosti veljajo lastnosti linearnosti in superpozicije. 

2.4.5 Deformacija pri tangencialnih napetostih 

Tangencialne napetosti τ, ki so posledica strižnih in torzijskih sil, povzročajo deformacije. Tangencialna 

napetost, ki deluje na kvader, ki je pritrjen na podlago, povzroči, da se kvader deformira v 

paralelogramsko obliko. 

Kot γ je mera deformacije, ki nastane zaradi tangencialnih napetosti. Zato ga imenujemo specifična 

tangencialna deformacija.


y 

x 

A 

C 

γ 

A ′ 

B 

γ 

D 

Slika 2.28: Tangencialna deformacija 

2.4.6 Deformacijski tenzor 

B ′ 

Ker gre običajno za majhne 

kote, lahko deformacijski kot 

γ izrazimo kot: 

tanγ = ∆x 

y 

AA ¯ 

= ′ BB ¯ 

AC ¯ 

= ′ 

BD ¯ 

Za majhne kote velja: 

tanγ . = γ 

V realnosti idealnih obremenitev ni, saj vedno nastopa kombinacija normalnih in tangencialnih napetosti. 

Kombinirano deformacijo opišemo z deformacijskim tenzorjem. Obravnavajmo diferencialno 

majhno volumsko telo, posebej za normalne in posebej za tangencialne napetosti. 

2.4.6.1 Normalne napetosti in deformacije 

Telo, ki je obremenjeno po vseh treh smereh, se tudi deformira v vseh treh smereh. Slika predstavlja 

infitizimalno majhno kocko narisano v ravnini x − y. 

duy 

2 

σx 

dx 

y 

σy 

σy 

dy 

dux 

2 

σx 

x 

dy + duy 

Slika 2.29: Deformacije pri normalnih napetostih 

Na telo delujejo natezne napetosti: 

σ1 = σx 

σ2 = σy 

σ3 = σz 

ki povzročijo pomike: 

dux = ǫxdx 

duy = ǫydy 

duz = ǫzdz 

Specifične deformacije so zaradi medsebojnega delovanja različnih sil izražene s parcialnimi od-


vodi: 

2.4.6.2 Tangencialne napetosti in deformacije 

ǫx = ∂ux 

∂x ; ǫy = ∂uy 

∂y ; ǫz = ∂uz 

∂z 

(2.70) 

V poglavju o ravninskih napetostih smo definirali enačbo τ = f(ϕ), po kateri se pojavi maksimalna 

tangencialna napetost ob prisotnosti glavnih napetosti σ1 = σx in σ2 = σy v dveh ravninah pod kotom 

ϕ = ±45 o . V primeru, ko je σ1 natezna, σ2 pa tlačna napetost, po velikosti pa sta si enaki |σ1| = |σ2|, 

velja: 

±τmax = σ1 = σ2 

Situacijo lahko ponazorimo z Mohrovim krogom 

napetosti: 

Koordinatno ploskev ds = dx ·dy postavimo v kordinatni sistem in obremenimo s tangencialnimi 

napetostmi τij (indeks i predstavlja ploskev na katero napetost deluje, indeks j pa smer delovanja). 

Zaradi tangencialnih napetosti se pravokotna ploskev deformira v paralelogram, kvadratna pa v romb, 

kakor to prikazuje slika 2.30. 

Specifične tangencialne deformacije označimo z enakimi indeksi kot napetosti: 

. 

tanǫxy = ǫxy = ∂ux 

∂y 

. 

tanǫyx = ǫyx = ∂uy 

∂x 

Pri tem velja enakost ǫij = ǫji. 

Seštevek obeh specifičnih deformacij nam da deformacijski kot γ: 

γxy = ǫxy + ǫyx = 2 ǫyx 

σ2 

τ 

τmax 

−τmax 

Če ta postopek razširimo še na preostali dve ravnini (z-y in y-x), dobimo sitem enačb: 

ǫxy = ǫyx → γxy = 2 ǫxy 

ǫyz = ǫzy → γyz = 2 ǫyz 

ǫxz = ǫzx → γxz = 2 ǫxz 

σ1 

45 o 

σ 

(2.71)


−τxy 

σ1 

ǫxy 

dux 

σ2 

ǫyx 

τyx 

dx 

45 o 

45 o 

σ2 

−τyx 

Slika 2.30: Deformacija ploskve dxdy zaradi delovanja tangencialnih napetosti 

2.4.6.3 Kombinacija tangencialnih in normalnih napetosti ter deformacija 

Kadar pride do kombinirane deformacije (ǫ in γ) zaradi kombiniranega delovanja tangencialnih in 

normalnih napetosti, vpeljemo deformacijski tenzor: 

� � 

� ǫx ǫxy ǫxz� 

� � 

�ǫyx 

ǫy ǫyz� 

� � 

(2.72) 

� � 

ǫzx ǫzy ǫz 

Deformacijski tenzor opisuje povezavo med napetostmi in deformacijami v vseh smereh. Tenzor 

vsebuje devet elementov, a ker velja enakost ǫij = ǫji, jih v bistvu vsebuje le šest. 

τxy 

σ1 

duy 

dy


2.4.7 Podajanje in merjenje deformacij in napetosti 

Za realna telesa velja, da so specifične deformacije rezultat delovanja tangencialnih in normalnih 

napetosti. 

ǫ = f(σ,τ) 

γ = f(σ,τ) 

V posebnih kalibriranih primerih se da doseči, da posamezne odvisnosti izločimo in so tako deformacije 

odvisne le od ene vrste obremenitve, ki pa jih določimo s pomočjo meritev: 

ǫ = f(σ) 

γ = f(τ) 

Za merjenje specifičnih deformacij materiala v odvisnosti od napetosti uporabljamo normalizirano 

poskusno palico okroglega premera dolžine 220 mm in premera 20 mm. Med eksperimentom je 

F 

35 20 

25 70 220 70 25 

Slika 2.31: Normalizirana preizkusna palica 

preizkusna palica vpeta v preizkusni stroj, ki palico obremeni z znano silo. S pomočjo preciznih 

merilnikov za merjenje raztezkov (optični - ločjivost do 1/1000 mm, laserski - ločljivost do 1/10000 

mm) so izmerjene spremembe dolžine palice. Meritve opravimo v več točkah. Na ta način dobimo 

funkcijsko odvisnost ∆l = f(F), iz katere pa lahko izračunamo funkcijsko odvisnost ǫ = f(σ), saj 

sta specifični raztezek in normalna napetost definirana kot: 

ǫ = ∆l 

l0 

d 

S0 

σ = F 

S0 

F 

(2.73) 

Izmerjene karakteristike so za vsak material drugačne, razlagamo pa jih lahko na dva načina: 

s pomočjo fizikalne ali s pomočjo tehnične razlage. Pri tehnični razlagi sta specifični raztezek in 

normalna napetost v določeni točki definirana glede na začetni vrednosti S0 in l0: 

ǫi = li − l0 

l0 

σ = Fi 

S0 

(2.74) 

medtem ko sta pri fizikalni razlagi specifični raztezek in normalna napetost v določeni točki definirana 

glede na prejšnjo točko: 

ǫi = li − li−1 

σ = 

li−1 

Fi 

(2.75) 

Si 

Razlike med obema razlagama so majhne za obremenitve v elastičnem področju. Do znatnih razlik 

pa prihaja pri obremenitvah v plastičnem področju, kjer je fizikalna razlaga natančnejša.


2.4.7.1 σ − ǫ diagram 

Slika 2.34 predstavlja tipičen σ − ǫ diagram za enoosno obremenitev materiala. Zanimivi sta dve 

področji diagrama: 

−σP 

σP 

0 

σ 

P 

območje elastičnosti 

območje tečenja območje vlečenja 

S 

B 

σS σB = k ′ 

Slika 2.32: σ − ǫ diagram 

• Področje 0-P je področje elastičnosti, v katerem se po prenehanju delovanja napetosti σ material 

povrne v prvotno stanje po isti premici. V tem področju so raztezki ǫ proporcionalni natezni 

napetosti σ, proces obremenjevanja in razbremenjevanja pa je reverzibilen. 

• Področje P-Z je področje plastičnega obnašanja materiala, kjer deformacije niso več proporcionalne 

napetostim in deformacijsko stanje ni več reverzibilno. To pomeni, da se material 

pri obremenjevanju in razbremenjevanju obnaša različno po različnih krivuljah. Deformacija 

ostane za stalno. V plastičnem področju najprej nastopi stanje tečenja, kjer diagram zaniha, 

nato pa stanje vlečenja, kjer pri majhnih obremenitvah nastopijo velike deformacije. 

Z 

σZ 

ǫ


Značilne točke σ − ǫ diagrama: 

P - meja elastičnosti, do koder je obnašanje elastično in linearno 

S - navidezna meja elastičnosti, do koder je obnašanje nelinearno, a še vedno elastično 

B - natezna trdnost materiala σB - je najvišja napetost, ki jo izmerimo pri materialu, označimo jo tudi 

s k ′ . 

Z - porušna napetost σZ - najvišja napetost, ki jo material prenese 

Podobno kot natezno obremenitev obravnavamo tudi obremenitve na tlak. V tlačnem delu diagrama 

preučujemo funkcijsko odvisnost −σ = f(−ǫ). Za nekatere materiale je v elastičnem področju 

diagram simetričen. Pri izbiri materiala, pri projektiranju na obremenitve, je važno da obremenitve 

ne presežejo meje elastičnosti, torej da ne pride do trajnih deformacij. 

V področju 0-P, v področju elastičnosti, velja proporcionalnost. Koncept linearne elastičnosti je 

prvi uvedel Robert Hook leta 1678 z definicijo zakona s prevedenim naslovom “razteg je proporcionalen 

sili” (lat. ut tensio sic vis). Hookov zakon pravi, da je razmerje med napetostjo in deformacijo 

konstantno. 

E = σ 

ǫ 

� N 

m 2 

� 

(2.76) 

Konstanto E, ki opisuje proporcionalen odnos med napetostjo in deformacijo, imenujemo modul elastičnosti 

ali tudi Youngov modul, ki ima zaradi brezdimenzijskosti specifične deformacije enako 

dimenzijo kot napetost. Deformacijo v elastičnem področju izračunamo s pomočjo modula elastičnosti 

kot: 

ǫ = ∆l σ F 

F l0 

= = → ∆l = (2.77) 

l E SE E S 

Modul elastičnosti E je pravzaprav tista napetost pri kateri se dolžina materiala podvoji (če je ∆l = l0, 

je ǫ = 1 in E = σ/1). 

2.4.7.2 τ − γ diagram 

Tangencialne deformacije, ki so posledica delovanja tangencialne napetosti τ ponazorimo s τ − γ 

diagramom. Številsko odvisnost pridobimo z meritvami v določenem številu točk, ki jih vnesemo v 

diagram. Na sliki 2.33 je prikazana tipična oblika diagrama. 

V linearnem področju diagrama velja, da so specifične tangencialne deformacije γ linearno odvisne 

od tangencialne napetosti τ. Proporcionalnost tudi v tem primeru izrazimo s pomočjo Hookovega 

zakona: 

G = ∆τ 

∆γ 

� N 

m 2 

� 

(2.78) 

Elastično konstanto G imenujemo strižni modul elastičnosti. Modul ima dimenzijo napetosti in 

predstavlja tisto tangencialno napetost, ki povzroči specifično tangencialno deformacijo γ = 1. Takšna 

deformacija nastopi pri zasuku 1rad.


2.4.7.3 Določitev modulov elastičnosti E in G 

τ2 

τ1 

τ 

γ1 

γ2 

Slika 2.33: τ − γ diagram 

Modul elastičnosti E, ki velja za nateg ali tlak, določimo iz σ − ǫ diagrama. V linearnem področju 

diagrama izberemo dve točki in odčitamo vrednosti napetosti ter deformacije. Modul E je tangens 

naklonskega kota α premice linearnega področja. 

M1(ǫ1,σ1); M3(ǫ3,σ3) 

E = σ 

ǫ 

= tanα 

E = σ3 − σ1 

ǫ3 − ǫ1 

σ3 

σ2 

σ1 

0 

σ 

M1 

α 

ǫ1 ǫ2 ǫ3 

M3 

γ 

Slika 2.34: σ − ǫ diagram 

Strižni modul G velja za strig in torzijo. Načeloma ga lahko določimo podobno kot modul E, iz 

diagrama τ − γ. V tem primeru velja: 

G = τ 

γ = τ3 − τ1 

γ3 − γ1 

Meritev je v tem primeru manj točna, ker je kot težje izmeriti z veliko natančnostjo v primerjavi 

z razdaljo. Zato je v uporabi metoda, ki modul elastičnosti G za dani material določi preko preko 

znanega Poissonovega števila. Predstavljajmo si ploščo materiala na spodnji sliki, ki je obremenjena 

na nateg. 

ǫ


a 

a2 

a 

a1 

α 

α 

γ/2 

γ/2 

A 

C 

B 

A' 

C' 

B' 

σ 

α = π γ 

− 

4 2 

a1 = a(1 + ǫ) 

a2 = a(1 − ǫp) = a(1 − µǫ) 

Pri obremenitvi plošče kvadratne oblike se vzdolžna stranica podaljša na a1 = a(1 + ǫ), prečna 

pa skrajša na a2 = a(1 − ǫp). Ker je prečni specifični skrček ǫp enak produktu µǫ, pri čemer je µ 

poissonov koeficient za dani material, je stranica enaka tudi a2 = a(1 − µǫ). Iz slike je moč zapisati 

naslednje povezave: 

tanα = tan(45 O − γ/2) = tan 45O − tanγ/2 

1 + tan 45O (2.79) 

· tanγ/2 

Ker so raztezki majhni, so tudi koti majhni. Zato velja tanγ/2 . = γ/2. 

tan α = 

Tangens kota α pa lahko določimo tudi drugače: 

tanα = A′ C ′ 0.5a2 

= 

OC ′ 0.5a1 

1 − tanγ/2 

1 + tanγ/2 

= 0.5a(1 − µǫ) 

= 2 − γ 

2 + γ 

0.5a(1 + ǫ) 

= 1 − µǫ 

1 + ǫ 

Če gornji enačbi (2.80) in (2.81) izenačimo in križno množimo, dobimo izraz: 

(2.80) 

(2.81) 

(1 − µǫ)(2 + γ) = (2 − γ)(1 + ǫ) (2.82) 

Prispevki produktov ǫγ in µǫγ so majhni, zato jih zanemarimo. Tako dobimo: 

2 − 2µǫ + γ = 2 − γ + 2ǫ (2.83) 

2γ = 2ǫ + 2µǫ (2.84) 

kar nam da izraz za deformacijski kot γizražen s Poissonovim koeficientom µali številom m: 

če upoštevamo še 

γ = ǫ(1 + µ) = ǫ(1 + 1 + 1 

) = ǫm 

m m 

ǫ = σ 

E 

in γ = τ 

G 

(2.85) 

(2.86)


dobimo: 

τ + 1 σ 

= γ = ǫm = 

G m E 

Iz gornje enačbe izrazimo strižni modul elastičnosti G: 

G = m 

m + 1 

τ 

σ 

m + 1 

m 

(2.87) 

E (2.88) 

2.4.8 Dimenzioniranje na čisti nateg - pojem dopustne napetosti 

Dimenzioniranje pomeni določitev dimenzij elementa danega materiala, ki prenaša določene obremenitve. 

Dimenzije so določene glede na kriterija minimalne porabe materiala in prenašanja obremenitev 

v območju elastičnih deformacij. Običajno je pri dimenzioniranju upoštevan tudi varnostni 

faktor. Predpišemo torej t.i. dopustno napetost, ki ustreza pričakovani največji obremenitvi skupaj s 

faktorjem varnosti in je še nižja od napetosti σp na meji elastičnosti.


Primer: 

Nosilni element iz jekla prereza S obremenimo s silo F. Določiti želimo presek in raztezek za kvadratni 

in okrogli profil. 

S 

S 

a 

F 

l0 = 1m 

a 

d 

∆l 

F = 210N sila obremenitve 

σdop = k ′ = 140N/mm 2 

Ejeklo = 2 · 10 5 N/mm 2 

dopustna napetost 

elastični modul 

Presek: 

σ = F F 

→ S = = 1.5 mm2 

S σ 

� 

π d2 4S 

Sokrogel = → d = = 1.382 mm 

4 π 

Skvadraten = a 2 → a = √ S = 1.225 mm 

Raztezek: 

ǫ = ∆l 

l → ∆l = ǫ l0 = σ 

E l0 = 0.7 mm


2.4.9 Teorija čistega upogiba 

Čisti upogib nosilnega elementa nastopi, če je nosilec obremenjen samo z dvojico sil. V realnosti 

poleg dvojice sil nastopajo tudi druge obremenitve, zato poleg upogiba delujejo še nateg, torzija in 

strig. 

T 

A 

Mupogibni 

Qprecna 

A 

a 

+ 

F1 

F1 

l 

Mmax = F1 a 

Q = 0 

F2 

F2 

M = −F1 x M = F1 x 

obremenitev le na upogib 

a 

- 

B 

x 

B x 

Vsota sil v vertikalni smeri: 

� Fy = A − F1 − F2 + B = 0 

Vsota momentov glede na točko T: 

� M = −a F1 − (a + l) F2 + (2 a + l) B = 0 

ob predpostavki F1 = F2 

so vse sile enake FA = FB = F1 = F2 

Obravnavajmo element dx izrezan iz sredine nosilnega elementa, ki je ukrivljen z radijem ρ. 

Na področju F1−F2 se bo kvadradni nosilni 

element zaradi upogibne obremenitve 

deformiral. Črta vzdolž katere se nosilni 

element deformira se imenuje deformacijska 

krivulja. Na notranji strani 

se pojavijo skrčki, na zunanji pa raztezki 

elementa. 

F1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + 

ρ 

element dx 

element dx 

Zaradi lažje matematične obravnave obravnavajmo samo polovico elementa. Situacija je predstavljena 

na sliki 2.35. Glede na Navier-jevo hipotezo, ki pravi da je nosilni element, ki je pred obremenitvijo 

ravninski tudi pod obremenitvijo ravninski, lahko tudi po obremenitvi rešujemo ravninski 

problem. Desno sta predstavljena diagrama deformacij in diagram napetosti v točki A. 

skrčki 

raztezki 

F2


+e1 

−e2 

y 

C 

C ′ −ǫ2 

A 

AB ′ = dx 

̺ 

D 

D ′ 

H 

H ′ 

dx 

+ǫ1 +ǫ1 

B 

dϕ 

G 

G ′ 

B ′ 

−e2 

+e1 

DIAGRAM 

DIAGRAM 

DEFORMACIJ 

(ǫ,y) 

NAPETOSTI 

(σ,y) 

−ǫ2 

ǫ = 0 

ǫ 

−σ2 

y y 

Slika 2.35: Deformiran infinitizimalni del nosilca ter napetosti in deformacije v točki A 

S slike so razvidni: 

AB ′ sredinska linija oz. nevtralna os. To je linija brez deformacij, kjer so napetosti in deformacije 

enake nič. 

∆ACC ′ je trikotnik kotnih skrčkov. 

∆ADD ′ je trikotnik kotnih raztezkov. 

Koordinatni sistem je pozicioniran v točki A 

Največji skrček −ǫ2 

Največji raztezek +ǫ1 

Linearne deformacije nosilca so proporcionalne glede na oddaljenost od nevtralne osi, kjer pri 

y = 0nastopaǫ = 0 in σ = 0. Maksimalna natezna napetost σ1 nastopa na konveksni strani (y = 

+e1), medtem ko maksimalna tlačna napetost σ2 nastopa na konkavni strani (y = −e2). Napetosti so 

pravokonte (normalne) na prerez in so prav tako proporcionalne glede na koordinato y. 

y 

σ 

+σ1 

x


Glede na Hookov zakon so deformacije v linearnem območju proporcionalne napetostim. Povezuje 

jih modul elastičnosti: 

pri razdalji y : σ = Eǫ 

pri razdalji + e1 : σ1 = Eǫ1 

(2.89) 

pri razdalji − e2 : σ2 = −Eǫ2 

Iz podobnih trikotnikov v diagramu (ǫ,y) je možno razbrati, da velja enakost: 

ǫ 

ǫ1 

= y 

e1 

(2.90) 

iz katere lahko določimo deformacijo za točko v notranjosti nosilca, ki je za y oddaljena od nevtralne 

osi: 

ǫ = ǫ1 

y (2.91) 

Podobno iz podobnih trikotnikov v diagramu (σ,y) dobimo enakost: 

σ 

σ1 

iz katere lahko določimo napetost v notranjosti nosilca, ki je za y oddaljena od nevtralne osi: 

e1 

= y 

e1 

(2.92) 

σ = σ1 

y (2.93) 

Napetosti in deformacije v nosilcu nastopijo zaradi delovanja upogibnega momenta M. Če želimo 

analizirati povezavo med momentom in napetostmi, to lahko storimo preko analize ravnotežnega 

stanja. Sile in momenti teh sil morajo namreč biti v ravnotežju z rezultanto in momentom zunanjih sil, 

če te reduciramo na prerez. Situacija je prikazana na spodnji sliki. Za analizo je zanimivo ravnotežje 

M 

e1 

−σ2 

x 

+σ1 

−e2 

A T x A ′ 

dS dS 

Slika 2.36: Ravnotežno stanje ob zunanjem momentu 

vzdolž osi x, saj vzdolž te osi nastopajo natezne in tlačne napetosti, ki so posledica ploskovnih sil 

e1 

dN = σdS (2.94) 

y 

y 

S 

z


pri čemer se napetost σ spreminja glede na enačbo (2.93). Ker na prerezu ne deluje tudi rezultanta 

sila, ima ravnotežna enačba obliko: 

� 

� � 

Fxi = dN = σdS = σ1 

� 

ydS = 0 (2.95) 

Napetost σ1 in razdalja e1 nista enaki nič, zato mora veljati 

S 

� 

S 

S 

e1 

S 

ydS = 0 (2.96) 

Izraz na levi strani gornje enačbe predstavlja statični moment ploskve S glede na os z in je enaka nič 

kadar os z prebada težišče lika. Ker je os z hkrati tudi nevtralna os, lahko na podlagi gornje ugotovitve 

naredimo zaključek o legi nevtralne osi: Nevtralna os z ničelnimi deformacijami in napetostmi ob 

čistem upogibu poteka skozi težišče lika prereza, kadar se material obnaša po Hookovem zakonu in 

na prerez ne delujejo dodatne sile. Povedano velja za prereze, ki so simetrični glede na os y. 

Analizirajmo še ravnotežje momentov: 

iz česar sledi 

M = 

� Mzi = M − 

� e1 

e2 

ydN = 

� e1 

e2 

� e1 

e2 

ydN = 0 (2.97) 

yσdS = σ1 

e1 

� e1 

e2 

y 2 dS (2.98) 

V gornji enačbi člen � y2dS označimo z Iz in ga imenujemo vztrajnostni moment ploskve 2. reda 

okrog osi z, pri čemer je y razdalja do osi z: 

� 

Iz = y 2 dS (2.99) 

Vztrajnostni moment ploskve je geometrijska lastnost. Upoštevajoč gornjo enačbo (2.99) lahko zapišemo: 

M = σ1 

� e1 

y 2 dS = σ1 

(2.100) 

e1 

e2 

Iz 

e1 

S preureditvijo zapišemo enačbo, s pomočjo katere določimo napetost v poljubni točki: 

Napetosti σ1 in σ2 pa sta: 

σ = σ1 

y = M 

y (2.101) 

e1 

Iz 

y = −e2 : −σ2 = M 

Iz e2 

y = e1 : σ1 = M 

Iz e1 

(2.102) 

Za primere nosilcev s simetričnim prerezom, ki imajo težišče lika na sredini, velja e1 = e2 in tudi 

|σ1| = |σ2|. Za primer nosilca npr. s trikotnim prezom, kjer leži težišče lika na 1/3 višine lika h 

(e1 = 1/3h,e2 = −2/3), pa dobimo |σ2| = 2|σ1|.


2.4.9.1 Upogibnica - deformacijska središčnica 

Zakrivljena skeletnica, vzdolž katere se nosilec pod obremenitvijo deformira, sovpada z osjo x. Krivuljo 

imenujemo deformacijska krivulja ali upogibnica. Leži v ravnini x−y, opišemo pa jo s funkcijo 

y = f(x). S pomočjo spodnje slike zapišemo diferencialno enačbo upogibnice. 

e2 

A 

e1 β dx 

C D 

dϕ 

O 

B 

̺ 

Iz podobnih trikotnikov zapišemo: 

AB 

OA 

= CD 

AC 

pri čemer so razdalje enake 

⇒ CD = AB 

OA AC 

AB = dx 

OA = ̺ 

AC = β 

iz definicije specifičnega raztezka pa sledi 

CD = ǫdx 

Navedeno uporabimo v enačbi za CD in dobimo: 

ǫdx = dx β 

β ⇒ ǫ = 

̺ ̺ 

oz. ̺ = β 

ǫ 

(2.103) 

Ker je specifični raztezek z napetostjo povezan preko modula elastičnosti E in, ker za napetost 

velja enačba (2.101), lahko zapišemo tudi: 

ǫ = σ 

E 

M 

= β oz. 

EIz 

ǫ 

β 

= M 

EIz 

(2.104) 

Če za kvocient ǫ/β uporabimo izraz (2.103), dobimo povezavo med momentom in krivinskim radijem 

̺: 

1 

̺ 

= M 

EIz 

V splošnem je v geometriji enačba za krivinski radij v ravnini x − y enaka 

̺ = 

[1 − ( dy 

dx )2 ] 3/2 

d 2 y 

d 2 x 

(2.105) 

(2.106)


tangenta na upogibnico y = f(x). V tehniki običajno nastopajo majhni upogibi in 

s tem majhni koti. Zato lahko v primerjavi z 1 zanemarimo člen dy dy 

(1 >> ( dx dx )2 ). Tako se enačba 

upogibnice poenostavi v 

oz. ̺ = 1 

y ′′ 

(2.107) 

kjer je odvod dy 

dx 

̺ = 1 

d 2 y 

d 2 x 

Z uporabo enačbe (2.105) izpeljemo končno enačbo upogibnice: 

1 

̺ = d2y dx2 = y′′ = M 

EIz 

(2.108) 

v kateri nastopa moment M, ki je funkcija x-a (M = M(x)). Dvakratno integriranje da enačbo 

upogibnice y = y(x). Pri tem rabimo dve integracijski konstanti c1 in c2, ki ju določimo iz robnih 

pogojev. Upoštevamo, da sta upogiba v podporah enaka nič.


2.4.10 Izračun napetosti pri strigu 

Pri določanju strižnih napetosti velja Grasfova hipoteza. Po tej hipotezi, ki velja za simetrične prereze 

nosilcev, pri katerih je vertikalna y os simetrala, se smeri vseh tangencialnih napetosti τx na horizontalni 

tetivi AB stekajo v skupni točki P na simetralni osi (glej spodnjo sliko 2.37). Strižno napetost τx 

v poljubni točki tetive AB razstavimo v komponenti τxy in τxz. Točka P je presečišče tangencialnih 

napetosti τxa in τxb in te imajo smer tangent na konturo v točkah A in B. Napetost τxy v vseh točkah 

tetive A do B zavzame isto vrednost, saj gre v vseh primerih za isto razdaljo y. 

y 

A 

τxya 

τxa 

zi 

T 

τxza τxz 

τxy τx 

Q 

C 

D 

ϕ ϕi 

P 

y 

ds 

zi 

S 

τxzb 

τxb 

Slika 2.37: Strižne napetosti 

Iz ravnotežnega pogoja za zunanjo silo Q in notranjih ploskovnih sil v smeri y osi lahko podobno 

kot v prejšnjem primeru izpeljemo enačbo za napetost τxy, ki se glasi: 

τxy = Q 

� 

yds 

Iz 

2zi 

B 

τxyb 

z 

(2.109)


kjer je: 

2zi širina tetive AB 

Iz vztrajnostni moment celega profila glede na težiščno os z 

Q 

� 

zunanja strižna sila v smeri simetrale y 

yds statični moment ploskve, ki je pod tetivo AB 

Iz napetosti τxy lahko izračunamo napetost τxz in rezultanto τx v poljubni točki tetive AB. 

ϕ 

τxy 

τxz 

τx 

Na podlagi slike zapišemo: 

τxz = τx sin ϕ 

τxz = τxy tanϕ 

τxy = τx cos ϕ 

tanϕ = τxz 

τxy 

τx = � τ2 xy + τ2 � 

2 

xz = τxy 1 + tan ϕ 

Napetosti τxz in τx imata največjo vrednost pri velikem kotu ϕ, to je v točkah A in B, kjer velja: 

|τxza| = |τxzb| = τxy tanϕi 

� 

2 

|τxa| = |τxb| = τxy 1 + tan ϕi 

V točki C je kot ϕ enak nič, zato tudi tanϕ, kar pomeni, da je v tej točki: 

Iz trigonometrijskih razmerij velja: 

tanϕ = z 

CP 

tanϕi = zi 

CP 

τxzc = 0 

⇒ tanϕ 

tanϕi 

τxc = τxyc 

= z 

zi 

⇒ tanϕ = z 

zi 

tanϕi 

iz česar dobimo končen rezultat za določitev napetosti striga v notranjosti nosilnega elementa: 

τxz = τxy tanϕ = τxy z tan ϕi zi 

� � 

2 

τx = τxy 1 + tan ϕ = τxy 1 + ( z tanϕi) 2 

zi 

(2.110) 

(2.111)


2.4.11 Izračun napetosti pri torziji 

V ravnini profila nosilca deluje dvojica sil, ki predstavlja reducirane zunanje sile, in sicer tako, da je 

nosilec obremenjen na čisti torzijski moment. Moment torzije se pojavi vzdolž longitudinalne osi x. 

A 

F 

γ 

l 

B ′ 

Nosilec z dolžino l se bo zaradi momenta Mx deformiral spiralno okoli osi x za kot ϕ. Zaradi 

toge vpetosti na eni strani se pojavi trikotnik ∆ABB ′ , zaradi česar se prvotno ravno vlakno A − B 

deformira v vijačno vlakno A − B ′ z deformacijskim kotom γ. Določitev torzijskih napetosti temelji 

na dveh ugotovitvah. Prvič, radialni zožki, ki izhajajo iz središča kroga T za majhne kote ostanejo 

ravni tudi po obremenitvi s torzijskim momentom (Navierova hipoteza) in drugič, torzijske napetosti 

τ so proporcionalne koncentričnim ločnim zasukom v notranjosti profila (Hookov zakon). Razmere 

v ravnini x − y so prikazane na spodnji sliki: 

' 

B 

ϕ ϕ 

B 

r 

B 

Mt Mt 

T 

̺ ̺ 

ϕ 

a 

τmax 

y 

r 

τ 

x 

d̺ 

τmax 

F ′


Torzijske napetosti τ so porazdeljene po premeru kroga in so maksimalne na obodu τmax. Moment 

Mt bo zavrtel točko B v B ′ za kot ϕ, lok TB ′ bo ostal raven zaradi Navierove hipoteze, zato bodo 

tudi torzijske napetosti τ proporcionalne radiju ̺. Tako lahko iz slike zapišemo: 

τ 

τmax 

= ̺ 

r 

⇒ τ = τmax 

r ̺ 

pri ̺ = 0 : τ = 0 

pri ̺ = r : τ = τmax 

Torzijske napetosti morajo biti v ravnotežju z zunanjim momentom Mt: 

Z upoštevanjem (2.112) dobimo: 

It: 

Mt = Mx = Fa = 

Mt = τmax 

r 

� r 

0 

� r 

0 

̺τds (2.112) 

̺ 2 ds (2.113) 

Člen pod integralom je definiran kot polarni vztrajnostni moment profila glede na pol v točki T 

Ravnotežna enačba tako dobi obliko 

� r 

It = 

0 

iz česar izrazimo maksimalno torzijsko napetost: 

Mt = τmax 

r It 

τmax = Mt 

in torzijsko napetost za poljubno točko v notranjosti: 

̺ 2 ds (2.114) 

It 

(2.115) 

r (2.116) 

τ = Mt 

̺ (2.117) 

Pri torzijski obremenitvi je pomemben parameter tudi torzijski kot ϕ, ki ga izpeljemo iz geometrije 

problema, pri čemer upoštevamo, da za majhne kote velja sin ϕ . = ϕ in tanγ . = γ: 

torej 

It 

BB ′ = r sin ϕ . = rϕ = l tanγ . = lγ (2.118) 

rϕ = lγ oz. ϕ = lγ 

(2.119) 

r 

kar je povezava med torzijskim kotom ϕ in deformacijskim kotom γ. Ko bo torzijska napetost maksimalna, 

bo tudi torzijski kot maksimalen.


Po Hookovem zakonu sta torzijska deformacija in napetost povezana preko strižnega modula G: 

Če gornje uporabimo v (2.119) dobimo 

ϕ = lγ 

r 

γ = τmax 

G 

l 1 

= 

r G 

= 1 

G 

Mt 

It 

Mt 

It 

r (2.120) 

r = Mt 

l (2.121) 

GIz 

iz česar lahko razberemo, da torzijski kot linearno narašča z dolžino profila l in momentom Mt ter je 

obratno sorazmeren s strižnim modulom G in polarnim vztrajnostnim momentom It: 

2.4.11.1 Dimenzioniranje na torzijo 

ϕ = Mt 

l (2.122) 

GIz 

Pri preprostih primerih obremenitve, kjer obstaja linearna povezava med napetostjo in deformacijo, 

se material trajno deformira, ko napetost preseže mejo elastičnosti. 

Profil dimenzioniramo na torzijo tako, da maksimalna torzijska napetost nosilca na obodu τmax ne 

preseže maksimalne dopustne torzijske napetosti, ki jo označimo s kT 

oz. 

τmax ≤ kT ⇒ kT = Mt 

r (2.123) 

It 

r 

= Mt 

kT 

= Wt 

Slednji kvocient imenujemo polarni odpornostni moment Wt. 

Primer za poln krožni profil: 

� r 

It = 

0 

̺ 2 ds = 

� r 

0 

̺ 2 � r 

(2̺πd̺) = 2π ̺ 

0 

3 d̺ = 2π ̺4 

4 |40 = πr4 

2 

Wt = πr3 

2 

= Mt 

kT 

iz česar določimo polmer r ali premer d za polno palico: 

r = 3 

d = 3 

� 

2Mt 

kT π � 

16Mt 

kT π 

Primer za cevast krožni profil z zunanjim premerom r in notranjim premerom r0: 

It 

(2.124) 

(2.125) 

(2.126) 

(2.127)


z uvedbo r 

r0 

= n dobimo: 

It = πr4 

2 − πr4 0 

2 

It = πr4 

2 

iz česar določimo polmer r za votlo palico: 

= πr4 

2 [1 − r4 0 

r 4] 

(2.128) 

1 πr4 

[1 − 

n4] = 

2 [n4 − 1 

n4 ] (2.129) 

Wt = It 

r = 3 

r 

= Mt 

kT 

� 

n4 n4 2Mt 

−1 πkT 

2.4.12 Sočasna obremenitev na upogib in nateg oz. tlak 

(2.130) 

(2.131) 

Primer takšne vrste obremenitve je izvenosno obremenjen nosilec kot to prikazuje spodnja slika. Sila 

F deluje izven središčnice na ročici dolžine m. Če silo zreduciramo na središčnico v sili F ′ in F ′′ , 

dobimo kombinacijo upogiba (ki ga povzročata F in F ′ ) in natega (ki ga povzroča F ′′ ). 

F 

σ ′′′ 

1 

B 

F 

A 

′ 

F ′′ 

m 

o 

y 

o 

x 

σr1 

l1 

σr 

y 

y 

o 

o 

y0 

l2 

σ ′ 

σ ′′′ 

2 

σr2 

Sila F ′′ povzroča natezno napetost na površini S 

σ ′ = 

F ′′ 

S 

Diagram upogibnih obremenitev, je posledica 

delovanja momenta M = Fm (M = Fy) 

σ ′′′ 

1 - nateg, σ ′′′ 

2 - tlak 

Oba diagrama seštejemo in dobimo σr 

σr = σ ′ ± σ ′′′ 

σr1 = σ ′ + σ ′′′ 

1 = F M + S Iz l1 = F Fm + S Iz l1 

σr2 = σ ′ − σ ′′′ 

2 = F 

S 

− M 

Iz l2 = F 

S 

− Fm 

Iz l2 

V splošnem velja, da je rezultančna napetost na poljubnem mestu enaka 

σr = σ ′ + σ ′′′ = F 

S 

M 

+ y = 

Iz 

F 

S 

Fm 

+ y (2.132) 

Iz


Nevtralna os oziroma točka o se premakne v desno, kar pomeni, da se je območje tlačnih napetosti 

vsled upogiba zmanjšalo, nateznih pa povečalo. Premik nevtralne osi (razdalja oo ′ = y0) izračunamo 

iz pogoja σr = 0: 

σr = F 

S 

Fm 

+ y = 0 ⇒ − 

Iz 

1 

S 

m 

= y0 

Iz 

(2.133) 

y0 = − 1 Iz 

(2.134) 

S m 

Iz rezultata je razvidno, da je premik nevtralne osi y0 neodvisen od velikosti sile; odvisen je samo od 

ročice m in prereza S. Za majhne razdalje m bo premik y0 velik oz. m → 0 ⇒ y0 → inf. V tem 

primeru preko celega nosilca nastopi enaka napetost.


2.4.13 Sočasna obremenitev na upogib in torzijo 

Do sočasne obremenitve na upogib in torzijo pride, kadar je enostransko vpeti nosilec obremenjen na 

koncu z ekscentrično silo. Reducirana sila v os povzroča obremenitev na upogib Mu = Fx, preostali 

sili pa torzijski moment Mt = Fm. 

D 

−σx 

Mt = Fn 

Mu,max = Fl 

A 

o 

B 

σx 

C 

τxz 

Torzijska obremenitev 

Upogibna obremenitev 

l 

Za analizo so zanimiva tista mesta, ki so najbolj obremenjena. V tem primeru je to prerez na 

mestu vpetja. Upogibni moment je največji v točkah A in B. To sta tudi točki največje obremenitve, 

saj je velikost strižne napetosti τxy po celem obodu enaka. 

V točki A(x,y,z) delujeta napetosti σx in τxz. Ti napetosti določimo 

kjer so 

Mt 

σx = σux,max = Mu 

It r 

τxz = τxz,max = Mt 

2Iz r 

Mu = Fl upogibni moment, 

r razdalja od izhodišča do točke, ki nas zanima, 

2Iz = It polarni vztrajnostni moment za krog. 

r 

z 

o 

F 

m 

y 

F 

x 

(2.135) 

(2.136) 

V smeri y ni obremenitve, torej je σy = 0 in primer lahko obravnavamo kot ravninsko stanje 

napetosti v x − z ravnini z obremenitvami 

σx = Mu 

It r τxz = Mt 

2Iz r σz = 0 τzx = Mt 

2Iz r


Ker so definirane vse napetosti v x −z ravnini, lahko izračunamo glavne napetosti v točki A(x,z) 

σ1 in σ3 (indeksa 1 in 3 pomenita os x in z): 

σ1,3 = 1 

2 (σx 

� 

1 

+ σz) ± 

4 (σx − σz) 2 + τ2 xz 

(2.137) 

Ob predpostavki, da je σz = 0, dobimo 

σ1,3 = σx 

2 ± 

� σ 2 x 

4 + τ2 xz 

σ1,3 = Mu 

2Iz ± 

� 

M2 u 

4I2 + 

z 

M2 t 

4I2 r 

z 

2 

σ1,3 = r 

2Iz (Mu ± � M 2 u + M 2 t ) 

(2.138) 

Pri kompleksnem delovanju napetosti velja, da pride do porušitve nosilnega elementa, ko ena 

od glavnih napetosti doseže prag plastične deformacije preproste enoosne obremenitve, ki jo npr. 

označimo z σ0. To predvsem velja za krhke materiale. Za gornji primer torej 

σ1 ali σ3 = σ0 (2.139) 

Za voljne materiale pa velja, da pride do porušitve, ko prag plastične deformacije enostavne obremenitve 

doseže maksimalna tangecialna napetost. Ta je definirana kot polovica razlike glavnih napetosti 

(glej enačbo (??)). Torej bi v tem primeru veljalo 

σ1 − σ3 

2 

= σ0 

(2.140)

2.3 Trdnost in elasticnost

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?