2.3 Trdnost in elasticnost

56 Poglavje 2. STATIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES V MIROVANJU
pri čemer se napetost σ spreminja glede na enačbo (2.93). Ker na prerezu ne deluje tudi rezultanta
sila, ima ravnotežna enačba obliko:
�
� �
Fxi = dN = σdS = σ1
�
ydS = 0 (2.95)
Napetost σ1 in razdalja e1 nista enaki nič, zato mora veljati
S
�
S
S
e1
S
ydS = 0 (2.96)
Izraz na levi strani gornje enačbe predstavlja statični moment ploskve S glede na os z in je enaka nič
kadar os z prebada težišče lika. Ker je os z hkrati tudi nevtralna os, lahko na podlagi gornje ugotovitve
naredimo zaključek o legi nevtralne osi: Nevtralna os z ničelnimi deformacijami in napetostmi ob
čistem upogibu poteka skozi težišče lika prereza, kadar se material obnaša po Hookovem zakonu in
na prerez ne delujejo dodatne sile. Povedano velja za prereze, ki so simetrični glede na os y.
Analizirajmo še ravnotežje momentov:
iz česar sledi
M =
� Mzi = M −
� e1
e2
ydN =
� e1
e2
� e1
e2
ydN = 0 (2.97)
yσdS = σ1
e1
� e1
e2
y 2 dS (2.98)
V gornji enačbi člen � y2dS označimo z Iz in ga imenujemo vztrajnostni moment ploskve 2. reda
okrog osi z, pri čemer je y razdalja do osi z:
�
Iz = y 2 dS (2.99)
Vztrajnostni moment ploskve je geometrijska lastnost. Upoštevajoč gornjo enačbo (2.99) lahko zapišemo:
M = σ1
� e1
y 2 dS = σ1
(2.100)
e1
e2
Iz
e1
S preureditvijo zapišemo enačbo, s pomočjo katere določimo napetost v poljubni točki:
Napetosti σ1 in σ2 pa sta:
σ = σ1
y = M
y (2.101)
e1
Iz
y = −e2 : −σ2 = M
Iz e2
y = e1 : σ1 = M
Iz e1
(2.102)
Za primere nosilcev s simetričnim prerezom, ki imajo težišče lika na sredini, velja e1 = e2 in tudi
|σ1| = |σ2|. Za primer nosilca npr. s trikotnim prezom, kjer leži težišče lika na 1/3 višine lika h
(e1 = 1/3h,e2 = −2/3), pa dobimo |σ2| = 2|σ1|.