2.3 Trdnost in elasticnost

34 Poglavje 2. STATIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES V MIROVANJU
Podobno zapišemo ravnotežno enačbo za sile, ki delujejo vzdolž smeri y ′ :
� Fy ′ = 0 : τ ′ xzδds + (σxxδdy) sin α − (τxyδdy) cos α−
−(σyyδdx) cos α + (τyxδdy) sin α = 0
Z uporabo gornjih že uporabljenih enakosti in trigonometričnih izrazov izpeljemo:
τ ′ xy = 2 sin α cosα � � σyy−σxx 2 2 + (cos α − sin α)τxy
2
oz.
τ ′ xy = σyy−σxx
2
sin 2α + τxy cos 2α
(2.30)
Enačbi (2.29) in (2.30) predstavljata orodje za določitev napetosti v poljubnem Kartezijevem koordinatnem
sistemu, ki je za kot α zavrten glede na prvotni koordinatni sistem in ima z njim skupno
izhodišče. Tako je ravnotežje sil potrebno določiti le enkrat v koordinatnem sistemu, ki je za to
najprimernejši. Podobne transformacijske enačbe veljajo tudi za tridimenzionalni problem.
2.3.3 Glavne napetosti in maksimalen strig
Ker je v isti točki nosilnega elementa možno določiti različne napetosti z ozirom na izbiro koordinatnega
sistema, torej glede na kot α, nas zanima ali je možno poiskati tak koordinatni sistem v katerem
bodo nastopale maksimalne oz. minimalne normalne in tangencialne napetosti. Izračun ekstrema
zahteva določitev prvega odvoda glede na kot α, ki ga izenačimo z nič:
oz.
dσ ′ xx
dα = σxx − σyy
2(−sin2α) + τxy2(cos2α) = 0 (2.31)
2
sin 2α
cos 2α =
τxy
σxx − σyy/2
= tan 2α (2.32)
Kar pomeni, da maximalna ali minimalna normalna napetost σ ′ xx nastopi pri kotu α, ki mu pripišemo
indeks p:
αp = 1
2 tan−1
� �
2τxy
σxx − σyy
(2.33)
Ekstremne napetosti imenujemo glavne napetosti, indeks p pa izhaja iz angleške besede principal.
Iz gornje enačbe sledi, da kadarkoli je tangencialna napetost τxy = 0, je kot αp = 0, kar pomeni, da
sta napetosti σxx in σyy maksimalni ali minimalni vrednosti. Nadalje, če sta normalni napetosti enaki
(σxx = σyy), iz enačbe sledi, da je tan 2αp = ∞. V tem primeru je 2αp = π/2 oz. αp = π/4, saj gre
funkcija tangens v neskončnost pri vrednosti π/2. Za vse ostale vrednosti napetosti kot αp določimo
iz enačbe(2.34). Funkcija tangens ima periodo π, zato velja
tan(2α ± kπ) = tan(2(α ± kπ 2τxy
)) =
2 σxx − σyy
k = 0, 1, 2,... (2.34)