2.3 Trdnost in elasticnost

36 Poglavje 2. STATIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES V MIROVANJU
iz česar izpeljemo enačbo za dve glavni napetosti
σ1,2 = σ ′ xx,yy|min/max = σxx + σyy
2
±
�
�σxx
�2 − σyy
2
+ τ 2 xy
(2.40)
Tangencialno napetost pri kotu α = αp dobimo tako, da vstavimo αp v enačbo (2.30):
τ ′ � � �τxy
σyy −
� � �
σxx
(σxx − σyy)/2
xy(α = αp) =
+ τxy
= 0 (2.41)
2 h
h
iz česar sledi, da je strižna napetost pri minimalni ali maksimalni vrednosti normalne napetosti vedno
enaka nič. Z drugimi besedami, v primeru glavnih napetosti delujejo samo natezne ali tlačne napetosti
vzdolž glavnih osi, brez striga.
V primeru, da nas zanima vprašanje, podobno kot za normalne napetosti, pri katerem kotu α
doseže tangencialna napetost maksimalno ali minimalno vrednost, moramo odvajati izraz (2.30) glede
na kot α in ga izenačiti z nič:
ali
dτ ′ xy
dα = σyy − σxx
2
(cos 2α)2 + τxy(− sin 2α)2 = 0 (2.42)
sin 2α
cos 2α = (σyy − σxx)/2
τxy
= tan 2α (2.43)
Če označimo kot α pri katerem strig doseže maksimum ali minimum z indeksom s, dobimo:
2αs = tan −1
� �
σyy − σxx
2τxy
(2.44)
Iz enačbe je razvidno, da kadar sta normalni napetosti σyy in σxx enaki, je kot αs = 0, napetost τ ′ xy
pa doseže ekstrem. Kadar je τxy enak nič, velja 2αs = π/2 oz. αs = π/4. Če se spomnimo, da je
strig enak nič v stanju glavnih napetosti, spoznamo, da sta kota αs in αp medsebojno zamaknjena za
π/4 oz. 45o . Z vpeljavo izraza za αs v enačbo (2.30) in uporabo trigonometričnih relacij s slike 2.23,
dobimo
kar lahko drugače zapišemo kot
τ ′ xy|min/max = τ ′ xy(α = αs) = σyy − σxx
2
τ ′ xy|min/max = ±
� �σyy − σxx
2
� �
σyy − σxx
� 2
2h
+ τ 2 xy
τxy
+ τxy
h
Gornji izraz je zaradi kvadriranja lahko enak izrazu (2.36) za hipotenuzo trikotnika h
τm = τ ′ �
�σxx
�2 − σyy
xy|min/max = ±
+ τ
2
2 xy
(2.45)
(2.46)
(2.47)