Račun mejne nosilnosti plošč po metodi porušnih linij

MK II – 11/12, 8.vaja
8. vaja: RAČUN MEJNE NOSILNOSTI AB PLOŠČ PO METODI
PORUŠNIH LINIJ
Vsebina 8.vaje:
1. ZASNOVA ........................................................................................................................................... 2
2. OBTEŽBA ........................................................................................................................................... 2
3. OBREMENITEV IN DIMENZONIRANJE PLOŠČ ...................................................................... 3
3.1. POZ P1 – štiristransko podprta AB plošča ...................................................................................... 3
3.1.1. Zasnova in obtežba .................................................................................................................................... 3
3.1.2. Obremenitev (uporaba Hahn-ovih razpredelnic) ...................................................................................... 3
3.2. POZ P2 – dvostransko podprta AB plošča: ..................................................................................... 4
3.2.1. Zasnova in obtežba .................................................................................................................................... 4
3.2.2. Obremenitev (uporaba Stiglat/Wippel-ovih razpredelnic) ........................................................................ 4
3.3. Dimenzioniranje P1 in P2 ................................................................................................................ 6
3.4. Skica armature ................................................................................................................................. 8
4. ANALIZA NOSILNOSTI PLOŠČ PO METODI PORUŠNIH LINIJ .......................................... 9
4.1. Določitev porušnega mehanizma ..................................................................................................... 9
4.2. Račun virtualnega dela zunanjih in notranjih sil ............................................................................. 9
4.2.1. Virtualno delo zunanjih sil za P1 ............................................................................................................ 10
4.2.2. Virtualno delo notranjih sil za P1 ........................................................................................................... 12
4.2.3. Virtualno delo zunanjih sil za P2 ............................................................................................................ 14
4.2.4. Virtualno delo notranjih sil za P2 ........................................................................................................... 14
1

MK II – 11/12, 8.vaja
1. ZASNOVA
S pomočjo analize plošč po metodi porušnih linij bomo določili mejno obtežbo plošče, za katero
poznamo geometrijo, robne pogoje ter razporeditev in količino armature! Debelina plošče znaša
h = 16 cm.
Potrebna količina armature plošče je bila določena po metodi mejnega stanja nosilnosti prereza, pri
čemer smo največje obremenitve plošče izračunali s pomočjo Hahn-ovih oziroma Stiglat/Wippel-ovih
razpredelnic.
7.00
vrtljivo podprti rob
4.00
prosti rob
7.00 4.00
UPORABLJENI MATERIALI:
- beton C25/30: f ck = 2.5 kN/cm 2
- ojačilna armatura: S 500 f yk = 50 kN/cm 2 (rebraste arm. palice, mrežna armatura)
2. OBTEŽBA
Stalna obtežba:
talna obloga (naravni kamen): 2 cm
cementni estrih: 5 cm
toplotna + zvočna izolacija: 5 cm
AB plošča: 16 cm
omet: 2 cm
0.0228 =
0.0524 =
0.1625 =
0.0218 =
0.56 kN/m 2
1.2 kN/m 2
0.05 kN/m 2
4.0 kN/m 2
0.36 kN/m 2
g = 6.17 kN/m 2
2

MK II – 11/12, 8.vaja
Koristna obtežba:
3.0 kN/m 2
q = 3.0 kN/m 2
Projektna obtežba:
q Ed = 1.35 g + 1.5 q
q Ed = 12.83 kN/m 2
3. OBREMENITEV IN DIMENZONIRANJE PLOŠČ
3.1. POZ P1 – štiristransko podprta AB plošča
3.1.1. Zasnova in obtežba
vrtljivo podprti rob
q d
7.00
4.00
3.1.2. Obremenitev (uporaba Hahn-ovih razpredelnic)
= l y /l x = 7/4 = 1.75
K d = q Ed l x l y = 12.8347 = 359 kN
pozitivni momenti v polju: predpostavimo 50 % vpetost
vrtljivo podprti rob
q d
M xy
= 1/2 + 1/2
M
ym
l
y
M xm
delno vpeti rob (50%)
l
x
3

MK II – 11/12, 8.vaja
K 1 1
d
359 1 1
M
xm, d
16.5 kNm/m
1 2b
2
mxm
mxm
2 20.3 23.2
K 1 1
d
359 1 1
M
ym, d
5.6 kNm/m
1 2b
2
mym
mym
2 66.4 62.3
K 1 1
d
359 1 1
M
xy, d
13.0 kNm/m
1 2b
2
mxy
mxy
2 27.1 28.2
negativni momenti ob podporah: predpostavimo 100 % vpetost
vrtljivo podprti rob
q d
l y
M ye
l x
Kd
359
M
ye, d
24.2 kNm/m izravnava s sosednjo ploščo!
m 14.8
2b
ye
3.2. POZ P2 – dvostransko podprta AB plošča:
3.2.1. Zasnova in obtežba
4.00
prosti rob
4.00
3.2.2. Obremenitev (uporaba Stiglat/Wippel-ovih razpredelnic)
= l y /l x = 4/4 = 1.0
K d = q d l x l y = 12.8344 = 205.3 kN
A d = aK d , M xy = M so,su = 0.5 A d
4

MK II – 11/12, 8.vaja
pozitivni momenti v polju in na prostem robu: predpostavimo 50 % vpetost
delno vpeti rob (50%)
M xm
M ym
M yrm
l
y
= 1/2 + 1/2
M xrm
l x
M xy
Ad
M
M
M
xr, d
xm, d
xy, d
M
M
M
yr,d
ym,d
so,su
K 1 1
d
205.3 1
10 8
2
mxr
mxr
2 9.1
Kd
205.3
12.3 kNm/m
10
m 16.7
xm
K
0.5
2
d
1
17.8 kNm/m
15.6
10 8 205.3
a
a 0.5
0.25
0.155
20.8
kNm/m
negativni momenti ob podporah: predpostavimo 100 % vpetost
vpeti rob
2
M yem
0.83 l y
M xe-min
l y
M xer
Kd
205.3
M
yem, d
21.3 kNm/m izravnava s sosednjo ploščo!
m 9.65
8
yem
Kd
205.3
M
xe-min,d
26.3 kNm/m izravnava s sosednjo ploščo!
m
8
xe-min
7.81
Kd
205.3
M
xer, d
25.6 kNm/m
m 8.01
8
xer
l x
5

MK II – 11/12, 8.vaja
3.3. Dimenzioniranje P1 in P2
Interakcijski diagram mejne nosilnosti prečnega prereza plošče:
6

MK II – 11/12, 8.vaja
Preglednica za dimenzioniranje pravokotnega prečnega prereza na osno-upogibno obremenitev:
7

MK II – 11/12, 8.vaja
3.4. Skica armature
POZ P1
spodnja arm.
zgornja arm.
POZ P2
spodnja arm.
zgornja arm.
8

MK II – 11/12, 8.vaja
4. ANALIZA NOSILNOSTI PLOŠČ PO METODI PORUŠNIH LINIJ
Analiza plošč po metodi porušnih linij nam omogoča, da določimo mejno obtežbo plošče pri znani
geometriji, robnih pogojih in armiranju plošče.
Postopek: 1. predpostavimo porušnico: porušni mehanizem je običajno odvisen od geometrijskih
parametrov, ki jih izberemo tako, da določajo minimalno mejno obremenitev plošče
2. porušno ploščo obtežimo z virtualno obtežbo (w = 1.0)
3. izračunamo virtualno delo zunanjih (W z ) in notranjih sil (W n )
4. iz zveze W z = W n izračunamo mejno obtežbo (q crit ) obravnavane plošče
4.1. Določitev porušnega mehanizma
Napotki: 1. rušnice so običajno ravne in so osi vrtenja porušnega mehanizma
2. rušnice se morajo končati na robu plošče
3. osi vrtenja ležijo vzdolž podprtih robov plošče, sekajo nepodprte vogale in prečkajo stebre
4. osi vrtenja sosednjih togih odsekov imajo skupno presečiščno točko (lahko v
neskončnosti)
5. vzdolž vpetih robov plošče poteka negativna rušnica
4.2. Račun virtualnega dela zunanjih in notranjih sil
Virtualno delo zunanjih sil:
δWz
qδwdA
območja A
Virtualno delo notranjih sil: δWn
Mn
ds
s
ali
vzdolž
rušnic
δW n
yM
x
dy
xM
y
dx
, M
x
As, x
fyk zs
vzdolž
y
x
rušnic
9

MK II – 11/12, 8.vaja
4.2.1. Virtualno delo zunanjih sil za P1
Potek rušnic ter izbrana območja:
w = 0
Ob2
Ob1
7
w = 1.0
Ob3 71- ( -)
Ob4
Ob5
7
4.00
območje Ob1:
w = 0
w = 0.333
Ob1
7
δW
z,1
1 4 7α
qδwdA
q
3 2
Ob1
w = 1.0
7( 1-- )
7
4.00
območje Ob2:
w = 0.333
Ob2
w = 0
w = 1.0
7
7( 1-- )
δW
z,2
1 2 7α
qδwdA
q
3 2
Ob2
7
4.00
10

MK II – 11/12, 8.vaja
območje Ob3:
w = 0
7
1
δW
z,3
qδwdA
q 2 71
α β
2
Ob3
w = 0.5
Ob3
w = 1.0
7( 1-- )
7
4.00
območje Ob4:
w = 0
7
δW
z,4
1 2 7β
q δw
dA
q
3 2
Ob4
w = 1.0
7(1--)
w = 0.333
Ob4
7
4.00
območje Ob5:
w = 0
7
δW
z,5
1 4 7β
qδwdA
q
3 2
Ob5
w = 1.0
7( 1--)
Ob5
w = 0.333
7
4.00
δW
z
δW
i
z, i
δW
z,1
2δW
z,2
2δW
z,3
2δW
z,4
δW
z,5
11

MK II – 11/12, 8.vaja
4.2.2. Virtualno delo notranjih sil za P1
Potek rušnic ter izbrana mrežna armatura v plošči:
Ru1
Ru2
7
1.2
1.2
+R131
2
1.2
2
Ru3
7( 1--)
+Q308
7.00
1
Ru4 Ru5
Ru6
7
3 -R503
1.75
4.00
4.00
4.00
rušnica Ru1:
2.0
1.2
Ru1
M x,439
M
x,308
7
Ru1
7
M y,308
7(1--)
7(1--)
7
7
4.00
4.00
δW
dy
1.2
7α
2.0
n,1
y,1
M
x,439
dy
M
x,308
x,1 M
y,308
d
0
1.2
0
x
rušnica Ru3:
2.0
7 7
77β
δW
n,3
y,3
M
x,308
dy
7α
Ru3
7(1--)
M
x,308
Ru3
M
y,308
7(1--)
7
7
4.00
4.00
12

MK II – 11/12, 8.vaja
rušnica Ru4:
4.00
4.00
7
7
71- ( ) -
7(1--)
M y,308
Ru4
7
Ru4
7
M x,308
2.0
7β
δW
n,4
y,4
M
x,308
dy
x,4
M
y,308
dx
0
2.0
0
rušnica Ru6:
4.00
δW
n,6
x,6
M
y,503
dx
4
0
7.00
M y,503
Ru6
δW
n
δW
i
n, i
2δW
n,1
δW
n,3
2δW
n,4
δW
n,6
13

MK II – 11/12, 8.vaja
4.2.3. Virtualno delo zunanjih sil za P2
Potek rušnic ter izbrana območja:
4.00
w = 0
4.00
x
4
4
4.00
w = 1.0
Ob1
4
w
rob
w = 0
Ob2
Ob3
4
4.00
os vrtenja
4.2.4. Virtualno delo notranjih sil za P2
Potek rušnic ter izbrana mrežna armatura v plošči:
14